上册 第一章 1 菱形的性质与判定-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

特殊平行四边形 第一章 上册 第一章 特殊平行四边形 知识网络 定义：有一组邻边相等的平行四边形 轴对称图形和中心对称图形 菱形 性质 四条边都相等 对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角 四条边都相等的四边形 判定 对角线互相垂直的平行四边形 一组邻边相等的平行四边形 定义：有一个角是直角的平行四边形 轴对称图形和中心对称图形 特殊平行四边形 性质 四个角都是直角 矩形 对角线相等 直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半 有三个角是直角的四边形 判定 有一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形 轴对称图形和中心对称图形 四个角都是直角，四条边都相等 性质 正方形 两条对角线相等，并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 有一个角是直角的菱形 对角线相等的菱形 判定 对角线互相垂直的矩形 有一组邻边相等的矩形 口数学 九年级上册（北师大版） 菱形的性质与判定（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分 别是AB,BC边上的中点，连接EF若EF=V3,BD=4,求菱形ABCD 的周长 【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC,进而利用菱形的性 质和勾股定理求得边长，得出周长， 例题图 【解答】，E,F分别是AB,BC边上的中点，EF=V3,AC=2EF=2V3. :四边形ABCD是菱形，AC1BD,OA=?AC=V3,OB=BD=2 ∴.由勾股定理，得AB=VOA+OB=V7.∴.菱形ABCD的周长为4V7. 【点拨】此题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理，掌握菱形的性质是解 决本题的关键.注意：菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，求菱形边长经常借 助勾股定理 基础巩固达标闯关 1.已知菱形的周长是40cm,一条对角线长是12cm,那么这个菱形的面积是 2.如图，两个全等菱形的边长为1cm,一只蚂蚁由A点开始按 G D A→B→C→D→E→F→C→G→A的顺序沿菱形的边循环运动，行走 B C A 2025cm后停下，则这只蚂蚁停在点. 第2题图 3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线EF交对角线 AC于点E,交AB于点F,F为垂足，连接DE,则∠CDE 度 4.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是() A.对角相等 B.对角线互相平分 第3题图 C.对边平行且相等 D.对角线平分一组对角 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点 且OE=a,则菱形ABCD的周长为() A.16a B.12a C.8a D.4a 第5题图 6.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B,E,F分别为BC,CD的中 点，连接AE,AC,AF,则图中与△ABE全等的三角形有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第6题图 ② 特殊平行四边形 第一章 7.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,E,F分别是AB,AD的中点.求证：OE=OF 第7题图 能力提升坤综合拓展 8.如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥AC于点H,交CB的延长线于点F,交 AB于点G.求证：AB与EF互相平分 第8题图 9.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE= 18°.求∠CEF的度数. 第9题图 中考链接©真题演练 10.(2024·广东)如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的 中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的 面积为 11.(2024·绥化)如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8, 第10题图 AE⊥BC于点E,则AE的长是() A B.6 c号 D.12 第11题图 12.(2024·济南)如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD,垂足为点E,CF⊥AD,垂足为点 F求证：AF=CE. 第12题图 口数学 九年级上册（北师大版） 菱形的性质与判定（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,E,F为对角线AC 上的两点，且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD. 求证：四边形ABCD为菱形， 例题图 【分析】首先证△ABE≌△CDF,得到AB=CD,从而得到四边形ABCD是平行四边形， 然后证AD=CD,利用邻边相等的平行四边形是菱形的判定定理即可证出. 【解答】证明：AB∥CD,.∠DCA=∠BAC. DF∥BE,.∠DFA=∠BEC,.∠AEB=∠CFD. 又AE=CF,∴.△AEB≌△CFD(ASA),∴.AB=CD. .AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形 .AC平分∠BAD,.∠BAE=∠DAF ,∠BAE=∠DCF,.∠DAF=∠DCF.AD=CD..四边形ABCD是菱形 【点拨】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法并能灵活运用是解答本题的关键。 基础巩固飞达标闯关 :多多 1.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD互相平分，要使它变为菱形，需要添加的 条件为 (只填一个你认为正确的即可) 2.如图，已知AD是△ABC的角平分线，E,F分别是边AB,AC的中点，连接DE, DF,在不作其他辅助线的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，那 么这个条件可以是 第1题图 第2题图 第3题图 3.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形 ABCD是菱形的依据是（) A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.四边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 特殊平行四边形 第一章 4.如图，在□ABCD中，点M,N分别在AB,AD上，且AM=AN, BM=DN,MG∥AD,NF∥AB.点F,G分别在BC,CD上，MG与NF相交于B< 点E,则图中的菱形共有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 第4题图 5.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能 够判定四边形ABCD为菱形的是() A.AB=BC B.AC=BC 第5题图 C.∠B=60° D.∠ACB=60° 6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,AC,BD相交于点O.在OC上截取 OE=OA,连接BE,DE.求证：四边形ABED是菱形. 第6题图 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求 证：四边形AEDF是菱形. 第7题图 能力提升螂综合拓展 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=60°，AD平分∠FAC,CD平分∠ACE.求证：四 边形ABCD是菱形. 第8题图 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,CM⊥AB于点 M,交AD于点F,DE⊥AB于点E.求证：四边形CDEF是菱形， 第9题图 口数学 九年级上册（北师大版） *10.如图，在四边形ABCD中，BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA= OB=OD.求证： (1)∠BOD=∠C. (2)四边形OBCD是菱形. 0 第10题图 11.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,D是BC边上一点，AD的垂直平分线EF分别交 AC,AD,AB于点E,O,F,BC=2. (1)当CD=V2时，求AE的长， (2)当CD=2(V2-1)时，求证：四边形AEDF是菱形. D 第11题图 中考链接©真题演练 12.(2024·通辽)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条 件不能证明口ABCD是菱形的是() A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.0A2+OB2=AD2 D.AD2+0A2=0D2 第12题图 13.(2024.哈尔滨)四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD∥BC,OA=OC, AB=BC. (1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形. (2)如图2，AB=AC,CH⊥AD于点H,交BD于点E,连接AE,点G在AB上，连接 EG交AC于点F,若∠FEC=75°，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出四条与线段CE 相等的线段（线段CE除外）· 4 图1 图2 第13题图 特殊平行四边形 第一章 菱形的性质与判定（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，已知△ABC,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于点E, 连接CE,过点C作CF平行于BA交PQ于点F,连接AF (1)求证：△AED≌△CFD. (2)求证：四边形AECF是菱形 (3)若AD=3,AE=5,则菱形AECF的面积是多少？ 【分析】(I)由PQ为线段AC的垂直平分线，得到AE=CE,AD=CD 然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,利用“ASA”证得 例题图 两三角形全等即可.(2)根据三角形全等得到AE=CF,然后根据EF为线段AC的垂直平 分线，得到EC=EA,FC=FA,从而得到EC=EA=FC=FA,利用四边相等的四边形是菱形判定 四边形AECF为菱形.(3)根据菱形的对角线长求面积. 【解答】(1)PQ为线段AC的垂直平分线，∴.AD=CD. .CF∥AB,.∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED.∴.△AED≌△CFD. (2).△AED≌△CFD,∴.AE=CF .EF为线段AC的垂直平分线，.EC=EA,FC=FA .EC=EA=FC=FA..四边形AECF为菱形. (3)PQ为线段AC的垂直平分线，AD=3,AE=5, ∴.根据勾股定理，得ED=VAE-AD丽=4. .四边形AECF为菱形，∴.EF=2ED=8,AC=2AD=6. ,S类amr4CEF)X6x8=24, .菱形AECF的面积是24. 【点拨】本题考查菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、垂直平分线的性质以及 平行线段的性质.解题的关键是灵活运用垂直平分线和平行线的性质证明线段相等和角相等. 基础巩固达标闯关 1.如图，已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为 -4和1，则BC= OB 第1题图 2.如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调 整菱形的内角a,使衣帽架拉伸或收缩.当菱形的边长为18cm,=120° 时，A,B两点的距离为 第2题图 口数学 九年级上册（北师大版） 3.如图，菱形ABCD的周长为12cm,BC的垂直平分线EF经过点 A,则对角线BD的长为 cm. 4.下列说法中错误的是() A.平行四边形的对角线互相平分 第3题图 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.菱形的对角线互相垂直 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 5.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥ AB于点H,且DH与AC交于点G,则BH的长为() A号cm B.18 cm 5 C. 第5题图 cm D.28 cm 6.如图，四边形ABCD内有一点E,AE=BE=DE=BC=DC,AB=AD, 若∠C=100°，则∠BAD的大小是() A.50° B.60° C.65° D.80° 第6题图 7.如图，在□ABCD中，AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF (1)求证：□ABCD是菱形 (2)若AB=5,AC=6,求□ABCD的面积. 第7题图 能力提升坤综合拓展 8.如图，已知□ABCD的对角线AC,BD交于点O,且∠1=∠2. (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)F为AD上一点，连接BF交AC于点E,且AE=AF求证：AO=1(AF+AB). B 第8题图 ⑧ 特殊平行四边形 第一章 9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,已知OA=OC,OB=OD,过点 O作EF⊥BD,分别交AB,DC于点E,F,连接DE,BF,AF (1)求证：四边形DEBF是菱形. (2)设AD∥EF,AD+AB=12,BD=4V3,求AF的长. 第9题图 中考链接©真题演练 10.(2024·广西)如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角 为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 60 第10题图 第11题图 11.(2024·海南)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC 绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是 () A.1 B.1-V3 C.0 D.3-2V3 12.(2023·云南)如图，在口ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线，且 E,F分别在边BC,AD上，AE=AF (1)求证：四边形AECF是菱形 (2)若∠ABC=60°，△ABE的面积等于4V3,求平行线AB与DC间的距离. 第12题图参考答案与提示 参考答案与提示 上册 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定（第1课时） 1.96cm22.B3.604.D5.C6.B 7.证明：四边形ABCD是菱形，AD=AB,BO=DO.∠EBO=∠FD0.E,F分别是AB,AD的中点， :BE=AB,DF=AD.,BE=DE△B0E≌△DOR.,0E=OR 8.证明：：四边形ABCD是菱形，AD∥BC,AB=AD=DC=BC.又AC=AC,.△ABC≌△ADC,.∠BAC= ∠DAC.,EF⊥AC,∠AHG=∠AHE=90°.又AH=AH,∴.△AGH≌△AEH.AE=AG.:E是AD的中点，AE= ADAG=2ABMG=BG.AD/PC,∠F∠AEG.又ZAGE=∠FGB,△AEG≌△BFG.,EG=C,即AB 2 与EF互相平分. 9.解：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD.又AC=AC,∴△ABC≌△ADC,.∠ACD=∠ACB.∠B= ∠EAF=60°，∴.∠ACD=∠BAC=-∠ACB=60°，AC=AB.:∠FAC+∠CAE=∠BAE+∠CAE-60°，∴.∠FAC=∠BAE. △ABE≌△ACF..AE=AF·.∠AEF=∠AFE=∠EAF=∠B=60°..∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEC=120°..∠CEF= ∠BAE=18°. 10.1011.A 12.证明：：四边形ABCD是菱形，∴AD=CD.AE⊥CD,CF⊥AD,.∠AED=∠CFD=90°.在△AED与△CFD 中，∠AED=∠CFD,∠D=∠D,AD=CD,∴.△AED≌△CFD(AAS).∴DE=DF.∴AD-DF=CD-DE.·∴AF=CE. 1菱形的性质与判定（第2课时） 1.AB=BC或AC⊥BD2.AB=AC(或∠B=∠C或AE=AF)3.B4.C5.A 6.证明：AB=AD,BC=DC,AC⊥BD,OB=OD.OE=OA,.四边形ABED是平行四边形.又AE⊥BD, .四边形ABED是菱形. 7.证明：点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点，DE,DF是△ABC的中位线.DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形.又AD⊥BC,BD=CD,AB=AC.AE=AF.四边形AEDF是菱形. 8.证明：∠B=60°，AB=AC,∴.△ABC为等边三角形.∴AB=BC,∠ACB=∠BAC=60°.∴.∠FAC=∠ACE=120° :AD平分∠FAC,CD平分∠ACE,∴.∠CAD=∠ACD=∠DCE=6O°.∴.∠DCE=∠B=60P,∠CAD=∠ACB=60°.AB∥CD, BC∥AD..四边形ABCD是平行四边形.AB=BC,.四边形ABCD是菱形. 9.证明：∠ACB=90°，DE⊥AB,AD平分∠BAC,∴.CD=DE,∠CAD=∠DAB.·CM⊥AB,.∠DAB+ ∠AFM=90°.∠CAD+∠ADC=90°，.∠ADC=∠AFM.∠AFM=∠CFD,.∠CFD=∠ADC. .CF=CD=DE.又：CM⊥AB,DE⊥AB,.CF∥DE..四边形CDEF是菱形. 10.证明：(1)如图，延长A0到点E.OA=0B,.∠AB0=∠BAO.又∠BOE=∠AB0+ ∠BA0,∴.∠BOE=2∠BAO.同理∠DOE=2∠DAO.∴.∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO= 0 2(∠BAO+∠DAO),即∠BOD=2∠BAD.又∠C=2∠BAD,∴.∠BOD=∠C.(2)连接OC, '.OB=OD,CB=CD,OC=OC,∴.△OBC≌△ODC..∠BOC=∠DOC,∠BC0=∠DC0. C ∠B0D=∠B0C+∠D0C,∠BCD=∠BC0+∠DC0,∠BOC∠B0D,∠BC0=3∠BCD. 第10题答图 又∠BOD=∠BCD,∴∠BOC=∠BCO.∴.BO=BC.又OB=OD,BC=CD,∴.OB=BC=CD=D0..四边形OBCD是菱形. 11.(I)解：设AE=x,EF是AD的垂直平分线，AE=ED=x.又BC=AC=2,EC=2-x.在Rt△CED中，由 勾股定理得，DE-CE-CD,即之-2-(VT只解得x=子，即A=子.(2)证明：D=2(V7-1),同 (1)方法可得方程2-(2-x)2-[2(V2-1)]2.解得x=4-2V2,即AE=4-2V2.∴.EC=2V2-2.∴EC=CD 2V2-2.∠C=90°，AC=BC,.∠CDE=∠B=45°..DE∥AF又EF是AD的垂直平分线，∴AE=ED,AF=DF, EF=EF.△AEF≌△DEF.∠EDF=∠EAF=45°.∴.∠FDB=180°-∠CDE-∠EDF=90°..AE∥DR.∴.四边形AEDF是 211 数学 九年级上册（北师大版） 菱形 12.D 13.(1)证明：：AD∥BC,.∠ADO=∠CB0.在△AD0和△CB0中，∠ADO=∠CB0,∠AOD=∠COB,OA= OC,.△ADO≌△CB0(AAS)..OD=OB..四边形ABCD是平行四边形.AB=BC..四边形ABCD是菱形. (2)解：与线段CE相等的线段有AE,DE,AG,CF由(1)知，四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD, AC⊥BD,AO=CO..AE=CE.AB=AC,∴AB=BC=CD=AD=AC.∴.△ABC和△ADC为等边三角形.CH⊥AD,AH= DH,即CH为AD的垂直平分线.AE=DE.AE=DE=EC.:△ADC为等边三角形，CH⊥AD,.∠ACH=∠ACD= 30°.∠FEC=75°，∴.∠EFC=180°-∠ACH-∠FEC=75°.∴.∠EFC=∠FEC..CF=CE.△ABC和△ADC为等边三角形， ∠BAC=∠CAD=60°.CE=AE,∴∠EAC=∠ECA=30°..∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，∠AEC=180°-∠EAC- ∠ECA=120°.∴.∠AEG=∠AEC-∠FEC=45°.∴.△AGE为等腰直角三角形.∴AG=AE..∴EC=AG=AE=CF=DE. 1菱形的性质与判定（第3课时）】 1.52.54cm3.3V34.D5.B6.A 7.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=∠ADC..AE⊥BC,AF⊥CD, ∠AEB=LAFD=90°：BE=DF,∴.△AEB≌△AFD.AB=AD.∴.□ABCD是菱形.(2)解：如 图，连接BD交AC于点0.：四边形ABCD是菱形，AC-6,AC1BD.A0=-0CAC=分×6 BL E 3.AB=5,A0=3,B0=VAB-A0=V53=4BD=2B0=-8,Sm7AC-BD=24 第7题答图 8.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC..∠2=∠ACB.又∠1=∠2，.∠1=∠ACB.AB= BC..∴.四边形ABCD是菱形.(2).AD∥BC,.∴.∠AFE=∠EBC.又.AF=AE,.∠AFE=∠AEF=∠BEC.. LEBC-LBEC.:BC-CE.AC-20A-AE+CE.20A-AF+BC.OA-](AF+BC).AB-BC,AO=(AF+AB). 9.(1)证明：·.OA=OC,OB=OD,.四边形ABCD为平行四边形.AB∥CD.∠ABD=∠CDB.:∠BOE= ∠DOF,OB=OD,∴.△BOE≌△DOF(ASA).BE=DFBE∥DF,四边形DEBF是平行四边形.EF⊥BD,.四 边形DEBF是菱形.(2)解：如图，过点F作FG⊥AB于点G.,AD∥EF,EF⊥ BD,∴.∠ADB=∠BOE=90°.∴.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD+BD=AB2. AD+AB=12,BD=4V3,.ADP+(4V3)2=(12-AD)2解得AD=4,AB=8.四边 形DEBF是菱形，DE∥BF,DE=BE=BF=DE:BE∥DF,AD∥EF,.四边形AEFD E G 是平行四边形.DF=AE=BE=BF=AB=4.AE=DE=AD=4.△AED是等边三角形. 第9题答图 ∴∠AED=60°.DE∥BF,∠ABF=∠AED=60°，∴.△EBF是等边三角形.FG⊥BE,.EG=BG=2.在Rt△BGF中， BF=4,BG=2,由勾股定理，得FG=V4-2=2V3.在Rt△AGF中，AG=6,由勾股定理，得AF=VAG+FG= V6+(2V3)2=4V3. 10.8V311.D 12.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.∠BAD=∠BCD,AD∥BC.AE,CF分别是∠BAD,∠BCD 的平分线，∠BAE=∠DAE=∠BMD,∠BCF=-∠DCF-∠BCD∠D1E=∠RGE AD/BC,∠DAE=LAEB ∴∠BCF=∠AEB.∴AE∥FC..四边形AECF是平行四边形.AE=AF,∴.四边形AECF是 菱形.(2)解：如图，连接AC,由(1)得∠DAE=∠AEB,又AE平分∠BAD, ∠BAE=∠DAE=∠AEB.∴AB=EB.∠ABC=60°，.△ABE是等边三角形.∴.∠BAE= ∠AEB=∠ABE=60:△ABE的面积等于4V3,:Y5AB-4V万.AB=4AE=EB= E 第12题答图 AB=4.由(1)知，四边形AECF是菱形，.AE=CE=4.∠EAC=∠ECA.·∠AEB是 △AEC的一个外角，.∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°.∴∠EAC=∠ECA=30°.∴.∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，即AC⊥ AB.由勾股定理，得AC=VBC-AB严=V(4+4)-4=4V3..平行线AB与DC间的距离是4V3. 2矩形的性质与判定（第1课时） 1.12,62.8cm3.304.C5.C6.D 7.证明：四边形ABCD是矩形，.AB=DC,∠BAD=∠ADC=90°.PA=PD,.∠PAD=∠PDA.∠PAB= 212