下册 第一章 4 解直角三角形-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

直角三角形的边角关系 第一章 解直角三角形 自主导学Q典例精析 例题 如图1所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边 D 分别交于点D,E,F,G,已知∠CGD=42°. (1)求∠CEF的度数. 图1 (2)如图2所示，将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点 B,交AC边于点H,点H,B在直尺上的读数分别为4,13.4，求BC的长 (结果精确到0.01.参考数据：sin42°≈0.669，c0s42°≈0.743，tan42°≈ 图2 0.900) 例题图 【分析】(1)先根据直角三角形的两锐角互余求出∠CDG的度数，再根据两直线平行 的性质求出∠DEF.(2)根据读数求出HB的长度，再根据∠CBH=∠CGD=42°，利用42°的 余弦值来求解， 【解答】(1).∠CGD=42°，∠C=90°，∴.∠CDG=90°-42°=48°. .DG∥EF,.∠CEF=∠CDG=48° (2).点H,B的读数分别为4,13.4，.HB=13.4-4=9.4. ∴.BC=HB.cos42°≈9.4x0.743≈6.98.答：BC的长为6.98. 【点拨】本题考查三角函数与其他图形性质的综合应用，解题的关键是仔细分析图形， 并将其转化为解直角三角形问题， 基础巩固飞达标闯关 卡多多 1.已知，在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列 条件，求出直角三角形的其他元素. (1)a=V12,b=6. (2)a=3V2,∠B=45° ® 口数学 九年级上册（北师大版） 2.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=3.求AC和BC的长. 30° 第2题图 3.用长1.5m的铁丝做成一个等腰三角形，其中腰为底长的2倍： (1)求这个三角形底角的度数.（结果精确到0.01） (2)求这个三角形的面积.（结果精确到0.001） (参考数据：sin75.52°≈0.968，cos75.52°≈0.250，tan75.97°≈4) 能力提升坤综合拓展 -卡多 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90,D为BC上一点，AB=5,BD=1,tamB=圣.求： (1)AD的长. (2)sin a的值. B D 第4题图 @ 直角三角形的边角关系 第一章 5.如图，某超市在一楼至二楼之间安有电梯.已知天花板与地面之间平行，请你根据 图中数据计算身高为1.78m的小王乘电梯时有没有碰头危险.某运动员身高2.29m,他乘电 梯会有碰头的危险吗？（参考数据：sin27°≈6.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 二楼A「 -4m 小心碰头 4 m m 27° 一楼 第5题图 6.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E,F分别在AB,AD上，BE=DF,连接EF (1)求证：AC⊥EF (2)延长EF交CD的延长线于点G,连接BD交AC于点0.若BD=4,amG=),求A0 的长 第6题图 中考链接©真题演练 7.(2024-深圳)如图，在△ABC中，AB=BC,anB=D为BC上一点，若满足CD BD,过点D作DELAD交AC的延长线于点E,则 C R 第7题图 第8题图 8.(224临夏)如图，在△ABC中，AB=4C=5,sinB=号，则BC的长是() A.3 B.6 C.8 D.9 16 口数学 九年级上册（北师大版） 9.(2024·资阳)第14届国际数学教育大会(ICME-14)会标中心的图案 来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图所示的“弦图”是由四个全等的直 角三角形（△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大 正方形ABCD.若EF:AH=1:3,则sin∠ABE=() 第9题图 A B. c D.2V5 5 10.(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6, tan∠ACB=l. (1)求BC的长. (2)求sin∠DAE的值. ED 第10题图 11.(2024北京)如图，在四边形ABCD中，点E是AB边的中点，DB,CE交于点F, DF=FB,AF∥DC. (1)求证：四边形AFCD为平行四边形 (2)若∠EFB=90°，tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长. 第11题图 应参考答案与提示 11.解：在Rt△ABC中，∠CAB=20°，∴.BC=AB·tan∠CAB=AB.tan20°.在Rt△ABD中，∠DAB=23°，∴.BD= AB.tan∠DAB=AB.tan23°..∴CD=BD-BC=A B.tan23°-AB.tan20°=AB(tan23°-tan20)..∴AB= CD an23°-tan20°≈ 496(m).∴.此人距CD的水平距离AB约为496m. 12.解：如图，过点C作AB的垂线交AB于点D,点B在点A的 正东方向上，∠ACD=45°，∠DCB=32°.在Rt△BCD中，BC=100,DB= BC.sin32°≈52.99(m),CD=BC·cos32°≈84.80(m).在Rt△ACD中，AD= CD..AB=AD+DB~138 (m). 13.解：122.5°67.5°V2V2V2+11V2+1V2-1 45132 先作一个∠C=30°的Rt△ABC,令AC=2,AB=1,则BC=V3.延长BC至 东 点D,使CD=AC=2,故BD=V了+2，∠D=15,∠DAB=75°，tan75°=DB AB 第12题答图 V3+2,tan15°=2-V3. 14.B 4解直角三角形 1.(1)c=4V3,∠A=30°，∠B=60°.(2)b=3V2,c=6,∠A=45 2.AC=6,BC=3V3.3.(1)约75.52°.(2)0.087m2. 4解：（(I)tamB=子，可设AC=3,则BC-4,在R△ABC中，AC+BC=AB,即 E (3x)2+(4x2-5子，解得=-1（舍去），或=1.AC=3,BC=4.BD=1,.CD=3.AD=VCD44C= 8< D 3V2. 第4题答图 (2)如图，过点D作DE1AB于点E,tnB=子，可设DE=3,则BE=4,在R△BDE中，BE+DE-BD, 即(3产41.解得号（舍去）或)片0E号ma骆=怎 AD 10 5.解：如图，作CD LAC交AB于点D.在Rt△ACD中，CD=AC.tan∠CAB=4×0.51=2.04(m),2.04m> 1.78m,∴.小王不会有碰头危险.2.04m<2.29m,∴.运动员会有碰头危险. 二楼A 4m- 小心碰头三 4 m 279 图1 图2 第5题答图 第6题答图 6.(1)证明：如图1，连接BD,交AC于点O.四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,AC⊥BD,OB=OD ∴.∠BAO=∠DAO.又.BE=DF,.AE=AF,.AC⊥EF (2)解：如图2，由(1)知，AC⊥BD,AC⊥EF,∴EF∥BD.∴∠G=∠CDO.四边形ABCD是菱形， Dc=iD.0A=0cZAD0-∠c0-∠G.mG=m∠AD0-8-分0A=号00804,0-B-2.0A1 79提示：如图，过点A作AH1CB于点H,作CM1AD于点M,则C/DE M 82号，设B0=8a,则CD-5B-BC.bc=iB-0-D-13atmB 72,4H B D 5a,BH=12a..DH=BH-BD=4a,CH=a.在Rt△ACH中，AC=VA+C=V26a.在 Rt△ADH中，AD=VAP+DF=V④acos∠ADC=D明-4a-4y④.在Rt△CDM ΓADV4Ia41 第7题答图 中，w-Domc∠ADc2aaw-4D-n21Y。t-w-引8Bg.C 239 数学 九年级上册（北师大版） 10.解：(1)：AD⊥BC,.∠ADB=90°.由勾股定理，得BD=VAB-AD=VI0-6=8.在Rt△ADC 中，en∠ACB=1,∠ACB品2品1CD=AD-6BC-B0-C0-864 (2)AE是BC边上的中线，CE=号BC=7.DE=CE-CD=7-61.在Rm△ABD中，由勾股定理，得AE VDE'+AD-VP+6-V37...sin L DAE=DE=137 AE-√3737 I1.(1)证明：E是AB边的中点，∴AE=BE.DF=BF,EF是△ABD的中位线.EF∥AD,即CF∥AD.又 AF∥CD..四边形AFCD为平行四边形. (2)解：由(1)知，EF是△ABD的中位线，.AD=2EF=2.在Rt△BEF中，∠EFB-90°，tan∠FEB=3,tan∠FEB= BF,BF=EF..tan/FEB.BP3EP3.DF=FB,DFBF3.AD∥CE,∴LADF-LEFB=90°.在R△ADF中，由勾股 E 定理，得AF-VAD+DF严=V13.四边形AFCD为平行四边形，.CD=AF=V13.DF=BF,CE⊥BD,.BC=CD=V13. 5三角函数的应用 1.解：如图，过点A作AB与正东方向垂直，垂足 北 为B.在Rt△A0B中，·0A=4200m,∠A0B=90°-74°= Cr===- 16,sn∠A066.aB=A0-sin∠A06-420-snl6 ≈4200x0.2756≈1158(m)>1000(m),∴.没有触礁 B 东 的危险. 2.解：如图，延长CD交PB于点F,则DF⊥PB, 第1题答图 第2题答图 测四边形CE为矩形.BF=CE.在R△BDF中，~BD=50m,∠DBF-I5,Sn∠DBF邵，DF=BD-snI5= 50x0.259=12.95(m）,CE=BF=BD-cos15°≈50x0.966=48.30(m).在Rt△ACE中，∠ACE=10,tan∠ACE=4E ΓCEI ∴AE=CE.tan10°≈48.30x0.176=8.50(m)..AB=AE+CD+DF-8.50+1.5+12.95≈23.0(m).∴.树AB的高约为23.0m. 3.解：根据题意∠ADC=60°，∠BDC=∠DBC=45°..∴BC=DC=50(m).在Rt△ADC中，AC=CD.tan.∠ADC= 50V3m.AB=AC-BC=50(V3-1)(m). 4.解：(1).在Rt△ACD中，AC=45cm,DC=60cm,AD=V45+60=75 (cm.∴.车架档AD的长是75cm.(2)如图，过点E作EF⊥AB,垂足为点F,在 Rt△AEF中，AE=AC+CE=45+20=65,.EF=AE.sin75°=65xsin75°≈62.79≈63(cm). .车座点E到车架档AB的距离约是63cm. 5.解：如图，过点0作0C垂直于AB交AB的延长线于点C.(1)∠AOC=90°- 第4题答图 30°=60°，∴.由题意知AC=0A·sin∠A0C=30V3 n mile,0C=0Acos∠A0C=-30 n mile.. 在△B0C中，∠0CB=90°，0B=20V3 n mile,0C=30 n mile,.cos∠B0C=O5=)3. 北 ∠B0C=30°..小岛B在港口0的北偏东60°方向.(2)由(1)知BC=10V3,AB=AC- BC=20V3..两小岛A,B的距离为20V3 n mile.. 6.解：设BC=xm,在Rt△ABC中，∠CAB=180°-∠EAC=50°，tan∠CAB=B AB,AB= 02----------C BC≈BC=5BC=x.在Rt△EBD中，i=DB:EB=I:1,:BD=BE.CD+ 第5题答图 tan50°1.2-66 D-- BC=AE+1B,即244+名x解得=2，即BC=12答：水坝原来的高度为12m C 7.解：∠A0B=35°，∠BOE=55°.在Rt△B0E中，tan∠BOE=BE OE 130 OBs在△BDE,am∠BDE-能.DE- BE BE EA tan 25tan 55 tan 25 第6题答图 30.解得BE≈10.6(cm.在Rt△BDE中，sinBDE=BE ，B0--253(cm,答：点B到0P的流离大约 为10.6cm,滑动支架的长为25.3cm. 8.解：如图，作BH⊥AD于点H,CE⊥AB于点E.CA=CB,CE⊥AB,AE=EB=30.在Rt△ACE中， 240