第五章 问题解决策略：直观分析-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步练习（北师大版2024）

一元一次方程 第五章 问题解决策略：直观分析 自主导学Q典例精析 例题一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的6折出售将亏20 元，而按标价的8折出售将赚40元。 (1)每件服装的成本和标价各多少元？ (2)为了保证5%的利润，最多能打几折？ 【分析】(1)题中的等量关系是：每件服装标价的6折+20=每件服装标价的8折-40。 如果设每件服装的标价为x元，则可用下列表格表示问题中有关的量： 有关的量 标价的6折出售 标价的8折出售 打折后售价 0.6x 0.8x 服装成本价 0.6x+20 0.8x-40 也可用下列框图表示问题中有关的量： 0.6x 6折售价 0.6x+20 打折 服装标价 成本价 销售 8折售价 0.8x-40 0.8x 如果设每件服装的成本价为x元，则可用下列表格表示问题中有关的量： 有关的量 标价的6折出售 标价的8折出售 打折后售价 x-20 x+40 服装的标价 (x-20):0.6 (x+40):0.8 也可用下列框图表示问题中有关的量： x-20 6折售价 (x-20)÷0.6 打折 成本价 标价 销售 8折售价 (x+40)÷0.8 x+40 (2)题中的等量关系是： (打折后实花钱数-服装成本价)÷服装成本价=5%。 300x0.1a 300×0.1a-200 打a折 标价300元 售价 利润 利润率5% (300×0.1a-200)÷200 【解答】(1)方法1：设每件服装的标价为x元，根据等量关系，列出方程，得 0.6x+20=0.8x-40。解这个方程，得x=300。 进而0.6x+20=200。因此，每件服装的成本为200元，标价为300元。 口数学 七年级上册（北师大版） 方法2：设每件服装的成本价为x元，根据等量关系，列出方程，得 (x-20)÷0.6=(x+40):0.8。解这个方程，得x=200。 进而(x-20)÷0.6=300。因此，每件服装的成本为200元，标价为300元。 (2)为保证5%的利润，设最多能打a折，根据等量关系，列出方程，得 300x0.1a-200=5%。解这个方程，得a-7。 200 因此，为保证5%的利润，最多能打7折。 【点拨】对于较复杂的实际问题，我们可以借助表格、线段图、框图等形式，将问题的 相关量（包含未知数的代数式）形象地表示出来，这样使问题中复杂的数量关系通过几何直 观变得清晰明了。在解决问题的过程中，要选择恰当的图示或表格帮助理解问题、分析问 题。同时，还要掌握解决实际问题中常用的一些等量关系，如利润率=利润×I0%,利润= Γ成本 售价-成本，售价=成本+利润=标价×折扣，销售额=单价×销售量；路程=速度×时间。 基础巩固达标闯关 1.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速 公路。其中一段长为146m的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工。甲工程队独 立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26。已知甲 工程队每天比乙工程队多掘进2，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲、乙两个工程队还 需联合工作多少天？ 2.某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场。今 年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可 下降50%。 (1)求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元。 (2)求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆。 位 一元一次方程 第五章 3.一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10 件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等。求这种服装每件 的标价。（要求：借助适当的图或表格分析问题的数量关系，然后列方程求解） 4.某超市有线上和线下两种销售方式。与2024年4月相比，该超市2025年4月的销售 总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%。 (1)如果设2024年4月的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a,x的代数式 表示表格中有关的量。 时间 销售总额/元 线上销售额元 线下销售额元 2024年4月 2025年4月 (2)求2025年4月线上销售额与当月销售总额的比值。 中考链接©真题演练 5.(2024北京)为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面 实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）。对某型号汽车，“标准”要求A类物 质排放量不超过35mgkm,A,B两类物质排放量之和不超过50mg/km。已知该型号某汽 车的A,B两类物质排放量之和原为92mgkm。经过一次技术改进，该汽车的A类物质排 放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A,B两类物质排放量之和为40mg/m。判 断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由。 @数学 七年级上册（北师大版） x>2-x,∴.第二次操作后的两边长分别是(2x-2)和 到结束所需的时间为tmin,根据等量关系，列出方 (2-x)。当2-2>2-x时，有2x-2=2(2-x),解得x=1.5; 程，得200-160(-20)=160。解这个方程，得1=60 当2x-2<2-x时，有2(2x-2)=2-x,解得x=1.2.10. 20-10 A11.解：设天头长为6xcm,地头长为4xcm,则 答：小李从输液开始到结束所需的时间为60min。 左、右边的宽为xcm。根据等量关系，列出方程，得 6.解：(1)设平均每分钟正门可通过x名学生，则 100+(6x+4x)=4×(27+2x)。解这个方程，得x=4。进而 一道侧门可通过(220-x)名学生。根据题意，得4[x+ 6x=24。因此，边的宽为4cm,天头长为24cm。 2(220-x)1=1200。解得x=140.220-x=220-140=80 3一元一次方程的应用（第2课时）】 答：平均每分钟正门可通过学生140名，平均每分钟 1.10x+3(5-x)=302.D3.B4.解：设有x只小 一道侧门可通过学生80名。(2)设ymin全校师生 船，则有大船(8-x)只。根据等量关系，列出方程， 全部撤离教学大楼，根据(1)得y(140+2×80)=1200+ 得4x+6(8-x)=38。解得x=5。进而8-x=3。因此，大船 90。解得y=4.3。答：全校师生全部撤离教学大楼需要 有3只，小船有5只。5.解：设他第一天读x个字。 4.3min。 7.A8.解：设这次小峰打扫了xh,则爸 则他第二天阅读的字数为2x个，他第三天阅读的字数 爸打扫了(3-)h。根据题意，得子+子3-)l。解 为4x个。根据等量关系，列出方程，得x+2x+4x= 34685。解得x=4955。进而2x=9910,4x=19820。因 得x=2。答：小峰打扫了2h。9.解：设该学生接温 此，他第一天读4955个字，第二天读9910个字，第 水的时间为xs,根据等量关系，列出方程，得20x· 三天读19820个字。6.解：设小和尚有x人，则大 (60-30)=(280-20)·(100-60)。解得x=8.280-=20x8 15 和尚有(100-)人。根据等量关系，列出方程，得号+ 8。因此，该学生接温水的时间为8s,接开水的时间 3(100-x)=100。解得=75。进而100-x=25。因此，大和 为8s。10.解：(1)设经过xs,点A,B之间的距 尚有25人，小和尚有75人。7.解：设用于制作 离等于3个单位长度。由题意，得1(-3+x)-(12-2x)= 笔管的短竹数为x根，则用于制作笔套的短竹数为 3。解得x=4或x=6。答：经过4s或6s,点A,B之 (83000-x)根。根据等量关系，列出方程，得3x= 间的距离等于3个单位长度。(2)设经过xs,点A, 5(83000-x)。解得x=51875。进而83000-x=31125。 B到原点的距离之和为y,则y=-3+x+12-2xl。①当 因此，51875根短竹可制成笔管，31125根短竹可制成 x≤3时，y=1-3+xl+l12-2x=3-x+12-2x=-3x+15,当x=3 笔套。8.99.A10.C提示：设每天减少x尺 时，y值最小，为6；②当3<x≤6时，y-3+x+12- 2x=x-3+12-2x=-x+9,当x=6时，y值最小，为3；③ 布，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30 当x>6时，y=-3+xl+l12-2xl=x-3+2x-12=3x-15,当x>6 天完工，5-29=1。解得仁为。30天共织布的数量 时，y>3。综上所述，点A,B到原点的距离之和的最 小值为3。 为5+5号+5号+++号+1。分别将首尾对应 ★：问题解决策略：直观分析 1.解：设甲工程队每天掘进xm,则乙工程队每 加数相加，得30天共织布(5+1)+[5-考)+1+号+ 天掘进(x-2)m,根据等量关系，列出方程，得2x+ (x+x-2)=26。解这个方程，得=7。∴乙工程队每天掘 [5-8+1*8+…15+x30-0伏)。 11.解： 进5m,146-26=10(天)。因此，甲、乙两个工程队 7+5 设合伙人数为x人，由题意，得400x-3400=300x- 还需联合工作10天。2.解：(1)50×(1-50%)=25 100。解得x=33。.300x-100=9800(钱)。答：合伙 (万元)，故明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用 人数为33人，金价为9800钱。 是25万元。(2)设明年改装的无人驾驶出租车是x 3一元一次方程的应用（第3课时) 辆，则今年改装的无人驾驶出租车是(260-x)辆，根 1.解：设乙每小时骑行xkm,则甲每小时骑行 据等量关系，列出方程，得50(260-x)+25x=9000。解 (x+2)km,则3x+3(x+2)=75。解得x=11.5,x+2= 得x=160。故明年改装的无人驾驶出租车是160辆。 13.5。答：甲每小时骑行13.5km,乙每小时骑行 3.解：有多种分析方法，如借助框图分析数量关系 11.5km。2.解：设这条公路从破土动工到竣工共需 如下： x天，则55x+65(x-3)=1125。解得x=11。答：这条公 0.8 路从破土动工到竣工共需11天。3.解：设小白兔需 8折售价 10x0.8x 要xmin追上乌龟，则1000+x1=101·x。解得x=l0。 打折 答：小白兔大概需要l0mim就能追上乌龟。4.解： 服装标价 销售额 降价 (1)轮船逆流航行速度为48km/h,水流速度为2kmh, 降低30元 11(x-30) ∴.轮船在静水中航行的速度为48+2-50(kmh)。(2)由 x-30 (1)知轮船顺水航行的速度为50+2=52(kmh)。设甲港 第3题答图 口到丙港口之间的距离为xkm,根据等量关系，列出 方程，得88设2。解这个方程，得x=384。因此。 设这种服装每件的标价是x元，根据等量关系， 列出方程，得10x0.8x=11(x-30)。解这个方程，得x= 甲港口到丙港口之间的距离为38.4km。5.解：(1) 110。因此，这种服装每件的标价为110元。 250-7×10=250-50-20(mL)。答：输液10mn时瓶 4.解：(1) 中的药液余量是200mL。(2)设小李从输液开始 参考答案与提示 销售总额 线上销售额 线下销售额 年龄段的电视观众进行调查。2.解：抽样调查，不 时间 能客观反映全校大多数学生的意见。一是样本的个体 元 1元 /元 较少，二是样本不是随机抽取的，参加座谈会的学生 2024年4月 x a-x 都是班长，不能代表普通学生的意见，故不具有代表 性。从每个班级中抽取学号为15的倍数的学生，也可 2025年4月 a(1+10%) x(1+43%) (1+4%)(a-x) 以在每个班级中随机抽取男生和女生各一名，等等 方法不唯一，只要样本合理即可。3.解：原因主要 (2)根据等量关系，列出方程，得a(1+10%)= 是选择的样本没有随机性和代表性，小刘同学只选择 x(1+439%)+(1+4%)(a-x)。解这个方程，得=3a。一 2 了自己所在城区人口和城区初中生人数作为调查的样 本，不是随机选取的，而且城区人口和城区初中生人 1.43.2 数比例，与农村地区人口和农村初中生人数比例的差 1.43x」 距很大因此选择的样本不具有随机性和代表性。如 1.1a 0_02202。因此.2025年4月线上 1.1a1.1a 果我是小刘同学，抽取的样本可以在城区中随机选择 销售额与当月销售总额的比值为0.2.5.解：这次技 几个社区，在农村中随机选择两个乡进行调查。方法 术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”。理 答案不唯一，只要样本合理即可。4.解：按照全校 由：设该汽车的A类物质排放量原为mg/km,则该 教师、行政人员、后勤人员的人数比例，求出抽取的 汽车的B类物质排放量为(92-x)mgkm。根据题意， 20人中，教师、行政人员、后勤人员的人数分别是 得(1-50%)x+(1-75%)(92-x)=40。解得x=68。..这 0-15,×20-2,高0-3，在120名教 120. 次技术改进后该汽车的A类物质排放量为(1-50%)x= 34(mg/km)。34mg/km<35mg/km,∴.这次技术改进 师、16名行政人员、24名后勤人员中，分别随机抽取 后该汽车的A类物质排放量符合“标准”。 15人、2人、3人作为代表来征求意见，能够保证听 第六章数据的收集与整理 到的教职工对校务公开方面的意见具有代表性和全面 1丰富的数据世界 性，这样的调查才能更全面地反映全校教职工的意见。 1.解：(1)考生所报考的院校和专业都是定性数 3数据的表示（第1课时） 据，考生的高考成绩是定量数据。(2)学生的视力是 1.79.2°2.D3.解：(1)由题意得，抽取的学 定量数据，学生喜欢的运动项目是定性数据。(3)渤 生人数为12÷20%=60（人），B类占被调查学生人数的 海湾海水水质的检测数据是定量数据。2.解：(1) 百分比为5×100%=25%，C类占被调查学生人数的百 性别、学历、职称、健康状况是定性数据，年龄和教 60 龄是定量数据。(2)答案不唯一，只要所画的统计图 分比为易×10%=15%，E类占截调查学生人数的百分 合理即可。(3)答案不唯一，如七年级男教师占比较 少，教师的平均年龄约为35.3岁，平均教龄约为10.6 比为6×100%=109%。补全扇形统计图略。(2)60× 601 年，年轻教师的学历较高，高级教师占比较少，教师 的身体状况大多数在良好以上，整体上分析七年级数 30%=18(人)。答：对选择“D.生活应用”有意向的 学教师年轻教师较多。 学生人数是18人。(3)1600x25%=400(人)。答： 全校最喜欢“B.数学史话”的学生人数约400人。 2数据的收集（第1课时)】 4.解：(1)C种洗发用品的销量大。(2)100%（或 1.抽样调查2.D3.C4.A5.解：(1)全 1)。(3)方法1：由题知，这个超市一年中三种洗发 面调查。(2)14+11+16+9=50（名）。因此，小张同学 用品的销售总量为4600÷(70%-10%-20%)=11500 所在班级的学生人数是50人。（3)100%=32%。 (瓶)。方法2：设这个超市一年中三种洗发用品的销 售总量为x瓶，根据题意，得70%x-(10%x+20%x) 因此，乘私家车上学的学生占全班总人数的32%。 =4600。解得=11500。答略。(4)A,B,C三种洗 6.解：(1)表中的数据是通过观察、记录得到的，对 发用品订货数量比约为1：2：7.5.D6.解：(1) 两队各项技术的调查属于全面调查。(2)答案不唯 一，如乙队以20分的优势取胜；乙队的篮板球明显高 16040(2)360P×物-99。答：在扇形统计图 于甲队：甲队的三分球数量与命中率高于甲队等。 中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为99°。 7.B8.B9.解：(1)80x40%=32(人)。答：本次 调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学 (3)2200x160-4440-48=385(人)。答：估计选择 160 54 习”的有32人。(2)1200×54+30480+36=324 “园艺小清新线”的员工人数为385人。7.解：(1) 100(2)“3项”的人数为100-3-30-42-10=15 (人)。答：估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数 (人)。补全条形统计图如下图。(3)36(4)1200× 大约有324人。 2数据的收集（第2课时) 15+10-300(人)。答：估计该校五月份参与家务劳动 100 1.解：不用调查每个看电视的观众，不能用60岁 的项目数量达到3项及以上的学生人数为300人。 以上的老年人的调查结果作为该节目在国内的收视率 ·不同地区、不同年龄段的观众，对电视节目的喜好 都会有所不同，.选择看电视节目的种类差异会较大， 故抽取60岁以上的老年人作为调查的样本，不具有代 表性和广泛性，调查得出的收视率与实际的收视率偏 差会很大。在抽样时应该从不同的地区分别抽取不同