第三章 3 探索与表达规律-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步练习（北师大版2024）

数学 七年级上册（北师大版） 2整式的加减（第2课时） 1.-2m+4n2.m+5n3.D4.C5.B6.(1) 6a-7b(2)xy(3)号c-27.解：（(1)原 式=8x2+6x,当x=-2时，原式=8×(-2)2+6×(-2)=20。 (2)原式=4，当=，-1时，原式-分 (-1产子。8解：原式-6-当=-2,3时， 原式=-6×(-2)2-(-2)×(-3)2=-6.9.解：由题意得 m+n=2,mn=-3,原式=6(m+n)-11mn=45.10.解： 原式=-9y2,·22=(-2)2,.计算结果仍然正确。11. 解：(2-2x-15)-(x2-2x-8)=x2-2x-15-x2+2x+8=-7<0, x2-2x-15<x2-2x-8.12.解：(1)s=700(a-1)+ (881a+2309)=1581a+1609。(2)a=11时，s=19000 13.解：B公司。理由：第一年年薪：A公司为 50000元，B公司为25000+25250=50250（元）；第 二年年薪：A公司为51000元，B公司为25500+ 25750=51250(元)；第n年年薪：A公司为[50000+ 1000(n-1)]元，B公司为[25000+500(n-1)]+ [25000+500(n-1)+250]=[50250+1000(n-1)](元)。 .·[50250+1000(n-1)]-[50000+1000(n-1)]=250 (元)，B公司的年薪永远比A公司多250元。 *14 解：(1)根据题意，得这套住房的总面积是(2+4+5) ×a+(5-1+1)×b+(3+2)×(4-1)=(11a+5b+15)m2。答： 这套住房的总面积是(11a+5b+15)平方米。(2)当 a=5,b=4时，11a+5b+15=11×5+5×4+15=55+20+15=90 (m)。答：小王家这套住房的具体面积为90m。(3) 选择乙公司比较合算。理由：甲公司的总费用：4ax 240+(5a+5b)x220+9x220+2ax180+6x150=960a+1100a+ 1100b+1980+360a+900=(2420a+1100b+2880)(元)； 乙公司的总费用：(11a+5b+15)×210=(2310a+1050b +3150)(元)。2420a+1100b+2880-(2310a+1050b +3150)=110a+50b-270,.a>b>2,.∴.50b>100,110a> 220.110a+50b-270>0。∴.选择乙公司比较合算。 15.216.2-117.C提示：x-M-z-m-n=x-y-z-m- ,故说法①正确。要使其运算结果与原多项式之和为 0,则运算结果应为-x+y+z+m+n,由x>y>z>m>n可知」 无论怎样添加绝对值符号，结果都不可能出现-x+y+z+ m+n,故说法②正确。当添加一个绝对值时，共有4 种情况：lx-y-z-m-n=x-y-a-m-n,x-ly-z-m-n=x-y+ z-m-n,x-y-k-ml-n=x-y-z+m-n,x-y-z-lm-nl=x-y-z- m+n;当添加两个绝对值时，共有3种情况：x--z- ml-n=x-y-z+m-n,lx-yl-z-lm-nl=x-y-z-m+n,x-ly-zl- m-=x-y+z-m+n。以上7种情况中，有两对运算结果 相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不正确。 2整式的加减（第3课时） 1.2r2b22.5ab+4ab-3rB3.7y462 7x+25.-16.C7.B8.D9.C10.C11.解： 原式=-6ab+3a-3b=-6ab+3(a-b),当ab=-1,a-b=4时， 原式=18.12.解：任务1：①乘法对加法的分配律 ②第二步开始出现错误，原因是去掉括号时，括号 里的第二项没有变号。任务2：原式=15xy+4xy2 (4xy2+12x3y)=15.x2y+4xy2-4xy2-12x3y=3xy。当x=-2,y= 3时，原式=3×(-2)2×3=36.13.解：(1)依题意， 得(2a+3b)-(a-b)=2a+3b-a+b=(a+4b)m。(2)护栏 的总长度为2(a+46)+(2a+3b)=(4a+11b)m。答：护栏 1 的总长度是(4a+11b)m。(3)由(2)知，护栏的总 长度是4a+11b,当a=30,b=10时，所需费用为80(4a+ 11b)=(4×30+11×10)×80=18400(元)。答：建此车场 所需的费用是18400元。14.解：(1)当x=-3时， B=-2×(9+3+2)=-2×14=-28。(2)当k=-1时，C=B- A=-2(x2-x+2)-[-2x2-(-1-1)x+1]=-2x2+2x-4+2x2-2x- 1=-5。(3)2A-B=2[-2x2-(k-1)x+1]-[-2(x2-x+2)]= -4x2-2(k-1)x+2+2(x2-x+2)=-4x2-2kx+2x+2+2x2-2x+4= -22-2kx+6。:代数式C是二次单项式，2A-B+C的结 果，即-2x2-2k+6+C的结果为常数，.k=0,C=2x2。 15.解：(1)(1，-2,3)。(2)依题意，得有序实 数对(a,2,-1)的附属多项式为a2+2x-1,有序实 数对(-3，-2,4)的附属多项式为-3x2-2x+4,则 (a2+2x-1)-(-3x2-2x+4)=ax2+2x-1+3x+2x-4=(a+3)x2+ 4x-5。两个多项式的差中不含二次项，∴.a叶3=0，即 a=-3.16.345617.D提示：第1次操作后得到 整式串m,n,n-m;第2次操作后得到整式串m,n, n-m,-m;第3次操作后得到整式串m,n,n-m,-m, -n;第4次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n, -n+m;第5次操作后得到整式串m,n,n-m,-m, -n,-n+m,m;第6次操作后得到整式串m,n,n- m,-m,-n,-n+m,m,n;第7次操作后得到整式串 m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m。归纳得以 上整式串每六个一循环，而每6个整式和为m+n+(n- m)+(-m)+(-n)+(-n+m)=0。第2023次操作后得到整 式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,…，m,n,n-m, 共2025个整式。.2025÷6=337…3，.∴.第2023次 操作后得到的整式串之和等于最后三项之和，即m+n+ (n-m)=2n。 3探索与表达规律（第1课时）】 2 1.2n+32.2025y3.(n+1)P-1=n(n+2) 4.(4n+2)5.1586.B7.D8.C9.解：(1) 观察所给图形可知，第1个图案中正方形的个数为1， 等边三角形的个数为4=1×3+1；第2个图案中正方形 的个数为2，等边三角形的个数为7=2x3+1:第3个图 案中正方形的个数为3，等边三角形的个数为10=3× 3+l;;.第n个图案中正方形的个数为n,等边三 角形的个数为(3m+1)。(2)当n=2025时，n+3n+1= 4x2025+1=8101(个)。(3).正方形和等边三角形 的边长为1，根据图形的变化规律，我们可以推出各 个图形的长度如下：第1个图形中线段的长度之和为 1×8+4=12;第2个图形中线段的长度之和为2×8+4= 20;第3个图形中线段的长度之和为3×8+4=28；…； ∴.第n个图形中线段的长度之和为(8n+4)。当n=10 时，8+4=8×10+4=84.10.a011.H=h+an12. n(n+1)或n2+n13.D14.B 3探索与表达规律（第2课时） 1.5n+2(n为正整数)2.999000253.34. 91提示：排列规律为2.8+(2.8-1)(n-1)。5.C6. B7.解：(1)OE(2)射线OA上数字的排列规 律：6-5；射线OB上数字的排列规律：6n-4;射线 OC上数字的排列规律：6n-3;射线OD上数字的排列 规律：6n-2;射线OE上数字的排列规律：6n-1;射 线OF上数字的排列规律：6。(3)在六条射线上的 数字规律中，2025÷6=337…3，则“2025”在射线 0C上。当6m-3=2025时，n=(2025+3)÷6=338, 2025在射线0C上的第338个位置上。8.D提 参考答案与提示 示：设一个三位数与一个两位数分别为100+10y+:和 8.解：点N为PB的中点，NB=14cm,PB= 10m+n,则由图2，得mz=20,nz=5,y=2,x=a,由 2WB=28cm。又：AB=80cm,∴AP=AB-BP=80-28=52 此推出=5，n=1,m=4,y=2,x=a。20左边的数是 (cm)。9.解：(1)如图所示，线段AB,AC即为 8,20右边的“口”表示4，a上面的数应为4a。 所求。(2)AB=a+b,AC=b-a,M,N分别是AB, 运算结果是四位数，且这个四位数用代数式可以表示 为1000(4a+1)+100a+20+5=4100a+1025。 AC的中点，AM=号AB,AN=74C。N=(4C+ 2 ★问题解决策略：归纳 AB)=}(a+b+b-a）=b。 解：（1)3×4x5x3x4x5=3×45=10 公路L 10.2)na*10xa+1)-[7aa+1)。(3) B A C D 0 7aa+1x7aa+1x宁a(a+I0=a+I)。 第5题答图 第7题答图 第四章基本平面图形 1线段、射线、直线（第1课时） A 1.64射线AC、射线BC、射线BA、射线CA 32.无数条射线3.2经过两点有且只有一条直 第9题答图 线4.D5.如图所示。6.如图所示。7.解： (I)A,B,P三点共线。(2)A,B,C三点不共线。 Am元Bi M B C (3)点D是直线AB外一点。(4)点C在直线PD上 图1 图2 或直线PD过点C。(5)点P在线段DC的延长线上。 第10题答图 (6)直线DC与直线AB相交于点P。(7)线段AC与 10.解：如图1，当点C在线段AB上时，AB= 线段BD相交于点F或直线AC与直线BD相交于点 8cm,BC=4cm,∴AC=AB-BC=4cm.又：点M为AC F。8.解：(1)最少1个，交点的最多个数为1+2= 3。(2)1+2+3=6。(3)1+2+3+4+5=15;1+2+3+…+ 的中点，AMAC-2cm如图2，当点C在线段AB (a-1)-2nr-10 的延长线上时，AB=8cm,BC=4cm,∴AC=AB+BC= 12cm。又点M为AC的中点，AM=号AC=6cm。 综上所述，AM的长为2cm或6cm。11.解：(1) ①2②2(2)2(3)线段MW的长度仍然等于2。 (1) (2) (3) 理由：如图，设B0的长度为a,N0=2B0=号。又 第5题答图 AB=4,A0=AB+B0=4+a。点M为A0的中点， M0-40=4.N=M0-N0=-2.12.解：（ ①若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6,BP= B 3。M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP 1条 4条 6条 靠近点B的三等分点，MP子AP4,P=号BP=2。 第6题答图 .'MN=MP4NP-6。 9.解：(1)6(2)m-1山理由：设线段上 M B N O 2 第11题答图 有m个点，该线段上共有线段x条，则x=(m-l)+(m- 2)+(m-3)+…+3+2+1,所以倒序排列有x=1+2+3+…+ (m-3)+(m-2)+(m-1)。所以2x=m(m-1)。所以x= -6 一 0 m(m-山。(3)28理由：把8位同学看作直线上的 图1 2 8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段， B N P 直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数， -6 0 3 因此一共要进行8x(8-)=28(场)比赛。 图2 2 1线段、射线、直线（第2课时） 第12题答图 1.3.52.13.C4.D5.解：如图所示。理 ②6提示：若点P表示的有理数是6（如图2）， 由：两点之间，线段最短。6.解：方法不唯一。作 则AP-12,BP-3。M是线段AP靠近点A的三等分 法：①作射线OF;②在射线OF上截取OA=2a;③在 线段OA上截取AB=b;线段OB就是所求。作图略。 点，N是线段BP靠近点B的三等分点，MP=子AP 7.解：(1)(2)(3)如图所示。(4)长短相等。整式及其加减 第三章 探索与表达规律（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题观察下列关于自然数的等式： 32-4x12=5,① 52-4×22-9,② 72-4x32-=13,③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：92-4× 2= (2)写出你猜想的第n个等式。（用含n的代数式表示） 【分析】由①②③三个等式可得，被减数是从3开始的连续奇数的平方，减数是从1开始的 连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可。 【解答】(1)第四个等式：92-4×42=17。 (2)第n个等式为(2n+1)2-4n2=4n+1。 【点拨】此题考查探索与表达含有数字的一系列等式的变化规律，关键在于找出每一组 等式的左边和右边代数式与自然数n之间的联系，并用含n的代数式表示。 基础巩固达标闯关 1。按规律排列的一系列数：号，手，多，片。，则第n个数是 (用含n的 代数式表示)。 2.按规律排列的一系列单项式：y2,-2x2y3,3xy4,-4xy,…,则第2025个单项式为 3.仔细观察下列等式：第一个：22-1=1×3；第二个：32-1=2×4；第三个：42-1=3×5；第 四个：52-1=4×6；第五个：62-1=5×7；…；这些等式反映出自然数间的某种运算规律。设 n(n≥1)表示自然数，则第n个等式可表示为 4.如图是由等边三角形组成的一组有规律的图案，第1个图案中有6个等边三角形，第 2个图案中有10个等边三角形，第3个图案中有14个等边三角形，…。按此规律，第n个 图案中有 (用含n的代数式表示)个等边三角形。 第1个第2个 第3个 第4个 第4题图 71 口数学 七年级上册（北师大版） 5.如图所示，各正方形的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，“◆”位置的数是 第5题图 6.以下是一组按规律排列的多项式：a+b,+b2,a+b3,a+b4,d+b5,…,其中第n个 多项式是() A.a"+b" B.2+b C.a2+bm D.2+b 7.用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第1个图案用了11根木棍， 第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了21根木棍，第4个图案用了24根木棍，…， 按此规律拼下去，第9个图案用的木棍根数是() A.41 B.44 C.45 D.51 图1 图2 图3 图4 0A3A2 第7题图 第8题图 8.如图，数轴上O,A两点的距离为3，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1 次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到AO的中点A2处，第3次从A2点跳动到 A0的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4,A5,A6,…,An(n≥3，n是整数) 处，那么线段OAn的长度为() B.3 r-1 c多 D.、3 能力提升睡综合拓展 9.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形拼接而成的。 第1个图案有4个等边三角形和1个正方形；第2个图案有7个等边三角形和2个正方 形；第3个图案有10个等边三角形和3个正方形； 图1 图2 图3 图4 第9题图 (1)依此规律，第n(n为正整数)个图案有多少个正方形和等边三角形？（用含n的 代数式表示)》 (2)当=2025时，正方形和等边三角形的个数共有多少个？ 72 整式及其加减 第三章 (3)若正方形和等边三角形的边长为1，求第10个图形中有线段长度的和。 中考链接©真题演练 -多 10.(2024.江西)观察a,a2,d,,…,根据这些式子的变化规律，可得第100个式 子为 11.(2024·雅安)如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠 放在一起后的总高度H与杯子数量的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字 母)：①杯子底部到杯沿底边的高h,②杯口直径D,③杯底直径d,④杯沿高a。请选用适 当的字母表示H与n之间的关系： 0 D OOOO O OO OO 00000 OOO OO O 00000 00 000 000O 00000 第1个 第2个 第3个 第4个 第11题图 第12题图 12.(2024西藏)如图是由若干个大小相同的“○”组成的一组有规律的图案，其中第 1个图案用了2个“○”，第2个图案用了6个“○”，第3个图案用了12个“○”，第4个 图案用了20个“○”，…，依照此规律，第n个图案中“○”的个数为 (用含n的 代数式表示)。 13.(2024·云南)按一定规律排列的代数式：2x,3x2,4x,5x4,6x,…,第n个代数 式是() A.2x" B.(n-1)x C.nxmt D.(n+1)x" 14.(2024重庆)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四 种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子。第1种如图1有4个 氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，…，按照这一规律，第 10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ 图2 图3 图 第14题图 A.20 B.22 C.24 D.26 内 数学 七年级上册（北师大版） 探索与表达规律（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题任意写一个四位数，这个数能否被9整除，只要看这个数各个数位上的数字之 和能否被9整除，请你说明其中的道理。 【分析】不妨设四位数为1000a+100b+10c+d,由题设知要看这个数各个数位上的数字之 和能否被9整除，故我们需要将这四位数表示为含有9的倍数的整式与(a+b+c+d)的代数式 的形式，因为9的倍数的整式一定能被9整除，所以只要判断含有(a+b+c+d)的项能否被9 整除，问题即可解决。 【解答】设这个四位数千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,则 这个四位数可表示为1000a+100b+10c+d,1000a+100b+10c+d=(999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+ d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)。 因为9(111a+11b+c)一定能被9整除，所以只要(a+b+c+d)能被9整除，这个四位数就一 定能被9整除。 【点拨】此题给出了判断任意整数能否被9（或3）整除的一般方法，即只要将该数的各 个数位上的数字相加，看其和能否被9（或3）整除。 基础巩固达标闯关 1.若一个正有理数除以5余2，那么这个正有理数可表示为 、C 2.下列各式是个位数字为5的整数的平方运算：15=225；252=625；352=1225；452= 2025;552=3025;652=4225;·。观察这些数的规律，试利用该规律直接写出99952的运算 结果： 3.取一个自然数，若它是奇数，则乘3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则，经 过若干步的计算最终可得到1。这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的。 例如：取自然数5，最少经过下面5步运算可得1，即5×3+1162824222 1。如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的最小值为 4.如图，某链条每节长为2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm,按 这种连接方式，50节链条总长度为 cm 2.8cm 1节 2节 50节 第4题图 74 整式及其加减 第三章 5按一定规律排列的式子：-父，父，-，x,-的 2， 4， Γ6’8’-10 ,…,则第n个式子为() A B.-x" 2n C.(-1)nx D-)等 6.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图 形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒，…，若按照这样的方法拼成的第个 图形需要2022根小木棒，则n的值为() 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第6题图 A.252 B.253 C.256 D.366 能力提升睡综合拓展 7.如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始 按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7，…。 (1)“17”在射线 上。 (2)请任意写出三条射线上数字的排列规律。（可以用数字在射线上排列的位置来表 示数字的排列规律，例如：数字7排列在射线OA的第2个位置，即可用适当的含有2的等 式表示数字7) B (3)数字“2025”在哪条射线上？在这条射线上的第几个位置上？ 93 40八612 10 第7题图 中考链接©真题演练 8.(2024·重庆)“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一 位数乘法和简单的加法运算。淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132× 23,运算结果为3036。图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖， 根据图2中现有数据进行推断，正确的是 小方格中的数据是由 其所对的两个数相乘 得到的，如2=1×2 20▣ A.20左边的数是16 4+9=13, 满十进 5☐ B.20右边的“☐”表示5 C.运算结果小于6000 D.运算结果可以表示为4100a+1025 图1 图2 第8题图 75