第二章 3 有理数的乘除运算-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步练习（北师大版2024）

有理数及其运算 第二章 有理数的乘除运算（第1课时) 自主导学Q、典例精析 - 例题 在数-5,1，-3,5，-2中任取三个数相乘，其中最大的积是a,最小的积是b。 求a,b的值。 【分析】求出任意三个数的积，找出最大的积和最小的积，即可求出α，b的值。 【解答】共有以下10种情况： (-5)×1x(-3)=15,(-5)x1x5=-25, (-5)×1×(-2)=10,(-5)×(-3)×5=75, (-5)×(-3)x(-2)=-30,(-5)x5x(-2)=50, 1×(-3)×5=-15,1×(-3)×(-2)=6, 1×5×(-2)=-10,(-3)×5×(-2)=30。 最大的积是75，最小的积是-30，即a=75,b=-30 【点拨】本题考查有理数的乘法运算，解题的关键是求出符合条件的10种情况，然后再 比较10个乘法算式的积的大小，从而确定积的最大值和最小值。 基础巩固飞)达标闯关 1.几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号由 决定。当负因数有 个时，积为负：当负因数有 个时，积为正。 2.在横线上填上适当的数。 -1号x号 2)0x1号x(-24 (3)(-2)×()=-1; (4)(-3)×(-2)×()=-6: 3.已知a与b互为倒数，其中=2x(-3)×3, 则3a-2b的值为 4.如图，数轴上A,B两点所表示的两数的() 才十0十十→ A.和为正数 B.和为负数 第4题图 C.积为正数 D.积为负数 5.如果口×号1，则口”内应填的数为(） A多 B号 c-号 6.四个有理数的积是负数，则这四个有理数中负因数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个 33 口数学 七年级上册（北师大版） 7.下列说法正确的是() A.0和1的相反数都是它本身 B.2024的倒数是-2024 C2024的相反数是2024 D.2024的倒数是，1 ·2024 8.计算： )(-16x2孕： 2)对-x-g: 3)-x1.2x24: (4)(-125)x-9x(-4): (5)(1-2)(2-3)(3-4)·…·(19-20)。 能力提升坤综合拓展 -一 9.某品牌的太阳能热水器在夏季的一天中午12点时水的温度是55℃，下午每小时下降 0.8℃，求18点时水的温度。 10.一个数的倒数是-号，另一个数比这个数小？，求这两个数的积。 34 有理数及其运算 第二章 11.小张以每件32元的价格在批发市场购进30件T恤衫，在夜市利用三个晚上就销售 一空。针对不同的顾客，30件T恤衫的售价不完全相同。她计划以平均每件47元的价格售 出，将每件超过47元的钱数记为正，每件不足47元的钱数记为负，小张的记录结果如下表： 售出件数 6 售价1（元/件） ×3 +2 0 请你帮小张计算出她售完这30件T恤衫后是赚了还是赔了，赚（或赔）了多少钱。 12.若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab,如2*3=4×2×3=24。 (1)求3*(-4)的值。 (2)求(-2)*(6*3)的值。 13.在1，-2,3，-4，-5中任取两个数相乘，最大的积是a,最小的积是b。 (1)求ab的值。 (2)若lx-al+y+bl=0,求(-x-y)y的值。 中考链接©真题演练 - 14.(2024吉林)若(-3)×口的运算结果为正数，则口内的数字可以为（) A.2 B.1 C.0 D.-1 15.(2023.天津)计算3×(-2)的结果等于(） 2 B.-1 D.1 35 口数学 七年级上册（北师大版） 有理数的乘除运算（第2课时） 自主导学Q、典例精析 例题 数学课上，孙老师给同学们出了一道计算题：19×(-9)。 下面是小方、小杨两位同学的解法： 小方：原式903得-9-1793 18 小杨：原式-103x-9)-190-0-171-号-171-8号-1792 181 (1)两位同学的解法中，谁的解法较好？ (2)请你写出另一种更好的解法。 【分析】(1)观察小方、小杨的解法，小杨先将19门转化为整数与分数和的形式，再 18 利用乘法分配律进行计算，从而使计算比小方的方法简便。 (2)把1)拆分成20-8，然后利用乘法分配律进行计算。 【解答】(1)小杨的解法较好。 2)原式-20-8×-9-20x(-9)-0×(-9)=-1804号-79号 【点拨】本题考查利用乘法分配律进行乘法运算，将算式中的带分数恰当地拆分成整数 与真分数之差或之和的形式是解题的关键。拆分的原则是将整数部分尽可能凑10的倍数， 真分数部分的分子尽可能小。 基础巩固飞达标闯关 1.若ladl=5,b=-3,且a>b,则ab的值为 2观聚-组数：2一}亭日名，。其中第50个数是 ,这50 个数的积是 3.利用简便方法计算： (1)(-4)×8×(-2.5)x0.1×(-0.125)×10: 11_2+0.4 (2)(-30)×2-3 36 有理数及其运算 第二章 (3)-6915x8: 16 能力提升螂综合拓展 一卡多多多 4.下面是小李同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算。 逆用乘法分配律解题： 我们知道，乘法分配律是a(b+c)=ab+ac,反过来ab+ac=a(b+c)。这就是说，当ab+ac 中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到ab+ac=a(b+c),进而可使运算简便。例 如：计算-8×23-。×17，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有-。，因此逆用乘 8 8 法分配律可得-8x23×17-名×23+17)-名×40-25，这样计算礼简便得多。 计算： (1)-29x588+28×588-9x588。 (2)-2024x号+2024x-9+2024x号. 5.如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中A,B两点之间的距 离为2，B,C两点之间的距离为1。设点A,B,C所对应的数之和是m,点A,B,C所对应 的数之积是n。 (1)若以B为原点，写出点A,C所对应的数，并计算m的值。 (2)若以C为原点，计算m的值。 (3)若原点O在图中数轴上点A的右边，且A,O两点之间的距离为2.5，求m,n的值。 2 B C 第5题图 ⑦ 口数学 七年级上册（北师大版） 6.某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际每天生产量 与计划量相比有出入，下表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单位：个）： 星期 二 三 四 五 六 日 产量 +10 -6 -8 +15 -12 +18 -9 (1)根据记录，求出前三天共生产多少个。 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (3)该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出部 分每个12元；若未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资。那么该厂员工这一周的 工资总额是多少？ 7.观察下列两个等式：5+}=5x}+4,6+号=6x号4。依据这两个算式的特征我们给出 一个新的定义如下：若对于数对(a,b),使等式a+b=ab+4成立，则称数对(a,b)是“4相 关数对”，则数对5，和6，号都是4相关数对”。例如：2+(-2)=2x-2+4,所以数对 (2,-2)是“4相关数对”。 (1)判断数对(4,0)，(1,1)是不是“4相关数对”。 (2)一名同学在数对(m,n)和(-m,-n)都是“4相关数对”的条件下，得到下面两 条结论： 结论一：m和n互为相反数； 结论二：m和n互为倒数。 请你判断上述两条结论是否正确，并说明理由。 38 有理数及其运算 第二章 有理数的乘除运算（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1km,气温大约降低6℃。 若该地的地面温度为21℃，高空某处的温度为-39℃，求此处的高度是多少千米。 【分析】根据题意，此处的高度等于此处高空的温度与地面的温度之差除以每千米降低 的温度。 【解答】·高度每增加1km,气温大约降低6℃，某地的地面温度为21℃，高空某处的 温度为-39℃，.该处的高度为(-39-21)÷(-6)×1=10(km)。 【点拔】本题考查了有理数的混合运算在实际生活中的应用。根据题意列出算式是解题 的关键。此外，有理数乘除运算是同级运算，只含有乘除的运算时，按从左到右的顺序进行。 基础巩固达标闯关 1.用“>”或“<”填空。 (1)若>0，b<0,c<0,则+c0: a (2)若a<0,b>0,c>0,则-a-b 0。 2.下列说法中正确的个数是() ①0除以任何数都得0②倒数等于它本身的数是1③互为负倒数的两个数的积是 -1④绝对值和倒数都等于它本身的数是1和-1⑤一个数与它的倒数之积是1⑥一个数 与它的相反数之商是-1 A.1 B.2 C.3 D.4 3.-14的倒数与4的相反数的商为（) A.5 B.-5 c D 4.计算： (1)(-8)÷-4月 (2)(-12.5):0.25: 3)(-6-号-专： (4)72x(-8)÷(-12); 39 口数学 七年级上册（北师大版） 5)32号-3g÷(-075: 5 (6)(-22.5)÷(-18)÷(-0.25); 7号名+8÷65 8)60号-号(-2 5.下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题。 计算：(-48)-36x-g 解：原式=(-48)÷(-4)…第一步 =12。…第二步 问题：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出错？请说明理由。 (2)写出本题的正确解答过程。 6.某冷冻厂的一个冷冻室现在的温度是-2℃，王老师有一批食品需要在-28℃冷冻，并 且8h后食品不放入-28℃的冷冻室将会变质，如果冷冻机每小时能将冷冻室降温4℃，那么 王老师的这批食品是否会变质？为什么？ 40 有理数及其运算 第二章 7若a,6都是非零的有理数，那么合+价的的值是多少： 8,数学老婚布登了一道思考短：计算动号0石号的值。”小杨和小李两位 同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题。 小畅的解法：原式=0号+石-品号0各-动：兮0 小李的解法：先求原算式的阁数号。。号引：动的位。 号b+0号0-号b+名号x-30)=-20+3-5+12-10, 动号06号0 (1)你觉得谁的解法更好？ (2)帝你用自己喜欢的方法计算：克：日是+号-号 中考链接©真题演练 9.(2022玉林)计算：2÷(-2)= 10.(2024·包头)若m,n互为倒数，且满足m+mn=3,则n的值为() A. B号 C.2 D.4 40的高度是1.1km。(3)2.5×5+1.2×3+1.1×5+1.8×3=27 (L)。答：一共消耗了27L燃油。9.解：(1)数 轴上表示数x和-3的两点之间的距离为x-(-3)=x+ 3。(2)a-b6-a(3)原式=-3+3号+ 号4++202320241-2024=202。 11 2023 (4)①画出数轴如图1所示。利用数形结合思想方法可 知，当表示数x的点在-2与3之间移动时，x的最小 值为-2，最大值为3，x+2≥0，x-3≤0。.lx-31+lx+ 2=x+2+[-(x-3)]=x+2+3-x=5。.lx-3引+lx+2I的值是一个 固定的值5。②.lx-3引+lx+21=7,由①结论可知表示x 的点不可能在表示-2和0的点之间，.表示x的点在 表示-2点的左边。x-3引是表示x的点与表示3的点 的距离，x+21是表示x的点与表示-2的点的距离，如 图2可知，在表示-2点的左边，且满足lx-3引+lx+21=7 时，x=-3.10.A11.C lx+21→+-lx-31- -3-2-10x1234 图1 一6 -5-43-2-1012345 图2 第9题答图 2有理数的加减运算（第5课时） 1.-42.213.D4.C5.(1)8(2)-1 (3)124)-106.()9(2)-18(3)-4 4)号 7.解：不能。理由：设向上爬行为正，向 下滑行为负，则可得算式为(+0.5)+(-0.1)+(+0.42)+ (-0.15)+(+0.7)+(-0.15)+(+0.75)+(-0.2)+(+0.55)+ (+0.48)=2.8(m)。2.8<3,∴.蜗牛不能爬出井口。 8.解：(1)29(2)方法1：周一比上周日的变化 量为4-0=4，周二比周一的变化量为-3-4=-7，周三比 周二的变化量为-5-(-3)=-2，周四比周三的变化量为 14-(-5)=19,周五比周四的变化量为-8-14=-22，周 六比周五的变化量为21-(-8)=29，周日比周六的变化 量为-6-21=-27；∴.本周每天实际销售量比前一天的变 化量分别为+4，-7，-2，+19，-22，+29，-27。 方法2：星期一实际销售100+4=104（斤），星期二实 际销售100-3=97（斤），星期三实际销售100-5=95 (斤)，星期四实际销售100+14=114（斤），星期五实 际销售100-8=92（斤），星期六实际销售100+21=121 (斤)，星期日实际销售100-6=94（斤），本周每天实 际销售量比前一天的变化量分别为+4，-7，-2，+19， -22,+29,-27。(3)由题意，列式为+4-3-5+14- 8+21-6=17(斤)。答：本周实际销售总量与计划总量 相比，具体增加了17斤。9.解：(1)2(2). 表示-1的点与表示3的点重合，且两点之间的距离为 4,∴.表示-1的点与折痕所经过的点之间的距离是2。 .折痕经过表示1的点。①1-(5-1)=-3，.点D表 示的数为-3。②数轴上A,B两点之间的距离为9， 表示1的点到点A的距离与表示1的点到点B的距离 参考答案与提示 相等，都等于4.5，点A表示的数为1-4.5=-3.5，点 B表示的数为1+4.5=5.5。A,B两点表示的数分别 为-3.5,5.5。 3有理数的乘除运算（第1课时）】 1.负因数的个数奇数偶数2.(1)1(2)0 3)74-13-54D5D6D7D 8.(1)-92(2)14(3)-36(4)-300 7 (5)-19.解：.0.8×6=4.8（℃），.55-4.8=50.2 (℃)。答：18点时水的温度是502℃。10.解： 一个数的倒数是-号，心这个数是-子。又：另一个数 比这个数小分，另一个数是号一子。这两 个数的积为-×-)瓷。山解：73+62+ 3×1+5×0+4×(-1)+5×(-2)=22(元)，.30x47-30x32+ 22=472(元)。.赚了，赚了472元。12.解：(1) 3*(-4)=4x3×(-4)=-48。(2)(-2)*(6*3)=(-2)*(4× 6×3)=(-2)*(72)=4×(-2)×72=-576.13.解：(1) 根据题意知a=(-4)×(-5)=20,b=3×(-5)=-15,.ab= 20×(-15)=-300。(2)由题意知lx-201+y-151=0, 则x-20=0且y-15=0。∴x=20,y=15。∴.(-x-y)小y=(-20 -15)×15=-35×15=-525.14.D15.D 3有理数的乘除运算（第2课时）】 1.-152-0-513.(0-10(2)-7 (3)-5592(4)-64.解：(1)原式=588x(-29+ 28-91=-580。(2原式-2024x-多9+号202x (-1)=-2024.5.解：(1)若B为原点，那么数轴 上点A,C所对应的数分别是-2,1，.m=-2+0+1=-1。 (2)若C为原点，则点A,B所对应的数分别是-3， -1,∴m=(-3)+(-1)+0=-4。(3)原点0在点A的 右边，A,B两点之间的距离为2，B,C两点之间的 距离为1，A,0两点之间的距离为2.5，.原点0在 B,C之间且到点B,C的距离都为0.5。.数轴上点 A,B,C所对应的数分别为-2.5,0.5,0.5。m= (-2.5)+(-0.5)+0.5=-2.5,n=(-2.5)×(-0.5)×0.5=0.625。 6.解：(1)100x3+10-6-8=296(个)。答：前三天 共生产296个。(2)18-(-12)=18+12=30（个）。答： 产量最多的一天比产量最少的一天多生产30个。(3) 这一周多生产的总个数是10-6-8+15-12+18-9=8 (个)，10×700+12×8=7096（元）。答：该厂工人这一 周的工资总额是7096元。7.解：(1)对于数对 (4,0),.4+0=4×0+4,.(4,0)是“4相关数对”： 对于数对(1,1)，1+1≠1×1+4，.(1,1)不是“4 相关数对”。(2)结论一正确，结论二错误。理由： 由(2)可知，m+n=mxn+4,-m+(-n)=(-m)x(-n)+4= mxn+4,则m+n=-m+(-n)=-(m+n),即m+n与它的相 反数-(m+n)相等，m+n=0。m和n互为相反数。 mn≠1。.'m和n不是互为倒数。故结论一正确，结 论二错误。 3有理数的乘除运算（第3课时） 1.(1)<(2)>2.B3.C4.(1)32(2) (8)-104485)-器(6)-5 -50 5 数学 七年级上册（北师大版） (7)-11 (8)石5.解：()第一步开始出错。 ·该算式是有理数的乘除混合运算，而乘、除运算是 同级运算，运算按从左到右的顺序依次进行，∴(-48) ÷36x-日)应先计算除法，再计算乘法。（2)(-48)片 36x-可=48×名-可-寺。6解：这排食品不 会变质。理由：依题意，得[-28-(-2)]÷(-4)=6.5 (h)。6.5<8,.这批食品不会变质。7.解：当a>0, b>0时，员+合+岛=l+11=3:当0,60时， 合+合+岛-1-l-l:当0,0时，台+合+岛 =-l+1-1=-1:当a0,b<0时，合+岛+岛=l-1+ a b 1-1。综上所述，品+份+密的值为3或-1.8 .b 解：(1)小李的解法更好。(2②)先求原算式} (信+号-号的倒数。各号号的值。 后品号引6品号引x0-7 9-28+12-14,放原式49110B 4有理数的乘方（第1课时） 1.-742.①③3.20242-20232=2×2024-1=4047 4.D5.A6.B7.D8.C9.A10.(1)-216 (2)-3375(3) ·(4)-72(5)-1 (6)号11.解：(1)对折2次后，厚度为4x0.1= 22×0.1=0.4(mm)；对折3次后，厚度为8×0.1=2× 0.1=0.8(mm)。(2)对折20次后，厚度为22×0.1 1048576x0.1=104857.6(mm)。104857.6÷1000÷3≈ 35(层)。答：厚度为104857.6mm,大约有35层楼 高。12.解：(1)由题意可知，第1天截取后木棍 荆余长度为1-宁分(m):第2天发取后木根剩余长 度为宁宁×宁子之(m):第3天规取后木棍剩余 长度为宁宁×宁×1-宁}空m):第4天我取 后木程剥余长度为号×空×1-号}分(m: 第5天裁取后木程利余长度为分×女宁×1-号上 云m。数取的所有木根总长度为12动m。 (2)由()可推出第n天裁取后木棍剩余长度为m, 以第n天截取后裁取的所有木棍总长度为1-士-2 (m)。13.解：(1)①②③（2)原式=144÷ 333gx3-33】 -[号号}号号314：(-3x-2- (-3)2÷3=14÷9x(-2)-3÷3=-288-1=-289.14 999 1 615.B16,B提示：由乘方定义，知A同学的 说法正确，B同学的说法不正确。·.2=2,22=4,2= 8,2416,2=32,…,2的尾数为2,4,8,6循环。 200:4=50,.220的个位数字是6，.C同学的说法正 确。22w就是200个2相乘，即20个20相乘，也就 是20个1024相乘，即102420。.10是60个10相乘， 即20个103相乘，也就是20个1000相乘，即10002”。 1024>1000,2210,D同学的说法正确。 4有理数的乘方（第2课时）】 1.8.16×1082.3.6×103.400000004.1.496 5.3.75×1036.C7.B8.B9.解：2.3×10°×(2.5× 10)=2300000x2500=5750000000=5.75×10°(kg)。 答：胡夫金字塔总重约为5.75×10°kg。10.解：(1) 9600000×150000=1440000000000=1.44×102(t)。 答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧 1.44×102t煤所产生的能量。(2)1.44×102×8000= 11520x102-=1.152×106(kW.h)。答：(1)中所得数 量的煤大约可发出1.152x106kW.h电。11.8×10 12.C13.B 5有理数的混合运算（第1课时) 1.-182.73.B4.D5.(1)-196(2)4 (3)-74)石(5)-30(6136解 (1)7※(-3)=(7+2)x2-(-3)=9x2+3=21。(2)不相 等。理由：9※(-5)=(9+2)×2-(-5)=11×2+5=27， (-5)※9=(-5+2)×2-9=-6-9=-15,27≠-15。.9※(-5) 与(-5)※9的值不相等。7.解：(1).l+1k2.5, l+1.41<2.5,10<2.5,-2.6>2.5,-2l<2.5,.∴.合格茶叶 的袋数为2+3+3+1=9（袋），9÷10×100%=90%。.茶叶 的合格率为90%。(2)2×1+3×1.4+3×0+1×(-2.6)+1× (-2)=2+4.2+0-2.6-2=6.2-4.6=1.6(g),.500x10+1.6= 5001.6(g)。答：这10袋茶叶的总质量为5001.6g。 8解：()原式-9x石-27=号-27=-号。(2) 分[-9+3y(-90]=7[(-9*27)(-9)1=7-18= (-9)]=3-(-2)=3.9.2010.811.60C- A→B→D提示：30+10+20=60(min)；观察表格中 的数据，节目A,C的演出人数相同，节目A彩排时长 比节目C长，因此节目C排在节目A前面，节目B, D的彩排时长相同，节目B的人数比节目D的多，因 此节目B排在节目D前面，即当23位演员的候场时 间之和为(10+2+1)×20+(2+1)×30+1×10=360(min) 时候场时间最小。12.解：原式=-12+4=-8。 5有理数的混合运算（第2课时） 1.键盘显示器2.输人的数据计算的结果 3.B4.(1)9x9+7=88;98×9+6=888;987×9+5=8888: 9876×9+4=88888;98765×9+3=888888。(2)1× 9+2=11;12×9+3=111;123×9+4=1111;1234×9+5= 11111;12345×9+6=111111。(3)发现(1)中算 式的规律为：若第一个乘数是n位数，最后结果就是 88…8;(2)中算式的规律为：若第一个乘数是n位数， (件l)个8 最后结果就是11-1。(4)987654×9+2=8888888， (m+1)个1 123456x9+7=1111111。 76