第二章 1 认识有理数-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 七年级上册（北师大版） 第二章 有理数及其运算 知识网络 正整数 解决简单的实际问题 加法 →减法 零 整数 负整数 交换律 有理数 有理数的运算 结合律 分配律 正分数 分数 负分数 绝对值 有理数大小比较 乘法 →除法 相反数 数轴 乘方 认识有理数（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题把下列各数填在相应的集合内：-23,0.25，-5.18,18，-38,10，+7,0，+12。 正数集合：{ …} 整数集合：{ …}; 分数集合：{ …}o 【分析】根据有理数的定义判定即可。 【解答】正数集合：{0.25,18,10，+7，+12，…： 整数集合：{-23,18，-38,10，+7,0，+12，…； 分数集合：{0.25，-5.18，…}。 【点拨】本题主要考查有理数的概念，解题的关键是知道有理数包括整数和分数，整数 包括正整数、零、负整数，分数包括正分数（小数）和负分数（小数）。对有理数进行分类 时，要确定分类标准，做到不重不漏 基础巩固飞心达标闯关 1.如果向东运动5m记作+5m,那么向西运动3m应记作 2.篮球队得10分，与其具有相反意义的量是 一，它们可分别用正、负数表示为 14 有理数及其运算 第二章 3下列各数：-6,34，+221,21,0,1,01，号，+2，其中正数有 负数有 个。 4.下列结论正确的是() A.0既是正数，又是负数 B.0是最小的整数 C.0是最大的负数 D.0既不是正数，也不是负数 5.下列说法错误的是() A.有理数可分为整数和分数 B.正有理数可分为正整数和正分数 C.有理数可分为正整数和负分数 D.有理数可分为正有理数、0和负有理数 6.下列语句错误的是（) A.存在最小的自然数 B.存在最小的正有理数 C.不存在最大的正有理数 D.不存在最大的负有理数 7.把下列各数填在相应的集合内：-42,1，-2，-子，0.31,0，号，-6。 整数集合：{ …} 分数集合：{ …} 负数集合：{ …}; 非负数集合：( …}。 能力提升坤综合拓展 -卡s多 8.甲地海拔高度是31m,乙地海拔高度是10m,丙地海拔高度是-8m, 地最 高， 地最低，最高的地方比最低的地方高m。 9.“一只闹钟一昼夜误差不超过±12s。”这句话的含义是 0 10.一艘潜水艇所在的高度是-50m,一条鲨鱼在潜水艇上方15m处，鲨鱼所在的高度 是多少？ 11.测量一座楼的高度，七次测量的数据分别是79.6m,80.4m,80.8m,79.3m, 80m,79.4m,80.5m。 (1)这七次测量的平均值是多少？ (2)以平均值为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，它们对应的数 据分别是什么？ 数学 七年级上册（北师大版） 12.将下列各有理数填入表示它所在集合的圈里。 5,-1,+2024,-010101,27,098%,-17,-号 整数集合 正数集合 负数集合 分数集合 第12题图 13.如图，这是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻 度与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘 三次。例如，按逆时针方向旋转5个小格记为“+5”，此时标记线对准的数是 5,再顺时针旋转2个小格记为“-2”，再逆时针旋转3个小格记为“+3”，锁 可以打开，那么开锁密码就可以记为“+5，-2，+3”，此时标记线对准哪个 数？如果一组开锁密码为“-16，+10，-4”，要想打开锁，应该如何转锁盘？ 第13题图 锁打开时标记线对准哪个数？ 中考链接©真题演练 ，多多 14.(2024·连云港)如果公元前121年记作-121年，那么公元2024年应记作 年。 15.(2024.宁夏)某水库警戒水位为29.8m,取警戒水位作为0点。如果水库水位为 31.4m记作+1.6m,那么水库水位为28m记作 m。 16.(2024·山西)中国空间站位于距离地面约400km的太空环境中。由于没有大气层 保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上150℃，其背阳面温度可低于零下 100℃。若零上150℃记作+150℃，则零下100℃记作() A.+100℃ B.-100℃ C.+50℃ D.-50℃ 17.(2024·湖北)在实际生产生活中，经常用正数、负数表示具有相反意义的量，如果 把收入20元记作+20元，那么支出10元记作() A.+10元 B.-10元 C.+20元 D.-20元 18.(2024凉山)下列各数中：5，-弓，-3,0，-258，+2，负数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6 有理数及其运算 第二章 认识有理数（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，检测4个足球（单位：g),其中超过标准质量的克数记为正数，不足标 准质量的克数记为负数。从轻重的角度看，最接近标准的是() -3.5 +2.5 +0.7 -0.6 B D 【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数，即-0.6<1+0.7< 1+2.51<1-3.51,故-0.6最接近标准0，这个球的误差最小。 【解答】D 【点拨】本题主要考查绝对值的概念，理解正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的 关键。本例是正数和负数在生产和生活中应用的范例，要掌握这类问题的数学依据，体会它 的应用价值。 基础巩固飞)达标闯关 s多务 1.-5= ；--21= 2. 的相反数是-2.1,1-61的相反数是 绝对值等于3.5的数是 3.在有理数中，绝对值最小的数是 4.比较下列各组数的大小。 是 --0.2731: (2)-3 36 6 7 5.已知lx+ly=0,那么x= ,y= 6.一个数的绝对值是它本身，则这个数必为() A.正数 B.0 C.正数和0 D.负数 7.一个有理数的相反数是它本身，则这个数() A.可能是负数 B.必为正数 C.必为非负数 D.必为0 8.比3的相反数小3的数是() A.6 B.-6 C.±6 D.0 9.计算： 口数学 七年级上册（北师大版） (1)-2l+l+231--201; (2)1-2x|+681: (3 10.填写下表。 原数 -5 1兮 -12 0 1.35 -0.15 2 相反数 绝对值 能力提升睡综合拓展 11.如图是一个正方体的两个展开图，请你分别在两个展开图中未标注有理数的四个正 方形内填入适当的数，使这两个展开图折成正方体后相对的面上标注的两个数互为相反数。 24 第11题图 12.正式比赛的篮球的质量有严格的规定。已知两个篮球，超过规定质量的记为正数， 不足规定质量的记为负数。为了选一个篮球用于比赛，裁判对两个篮球进行了称量，记录如 下：甲篮球+10g,乙篮球-20g。你认为应选哪个篮球用于这次比赛呢？为什么？ 中考链接©真题演练 s多B 13.(2024.镇江)-100的绝对值是 14.(2024德阳)下列四个数中，比-2小的数是() A.0 B.-1 c D.-3 15.(2024·威海)一批食品，标准质量为每袋454g。现随机抽取4个样品进行检测， 把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示。那么，最接近标准质量的是 () A.+7 B.-5 C.-3 D.10 18 有理数及其运算 第二章 认识有理数（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在数轴上点M,N,P,Q分别表示不同的有理数，请写出表示最大的有 理数与最小的有理数的点。 N M 0P 【分析】由数轴上的点表示的有理数的特点，右边的数总比左2-10123 边的数大。 例题图 【解答】点P表示的有理数最大是2，点N表示的有理数最小是-2。 【点拨】本题考查数轴上的点表示有理数，掌握利用数轴比较有理数大小的方法，以及 运用数形结合的思想是解答此题的关键。 基础巩固心达标闯关 1.数轴上点A对应的数是-2，那么将点A向右移动7个单位长度，此时点A表示的数 是 2.数轴上表示5和-4的两点之间的距离是 ，表示-1和-5的两点之间的距离是 0 3.数轴上表示点A的数是最大的负整数，则与点A相距3个单位长度的点表示的数是 0 4.小李同学在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示-5的点重 合；若该数轴上的两点A,B之间的距离为7(A在B的左侧)，且A,B两点经上述折叠后 恰好重合，则A点表示的数为 0 5.若数轴上的点A到原点的距离是5，则点A表示的数为() A.-5 B.5 C.5或-5 D.2.5或-2.5 6.如图，数轴上的点A,B分别对应数a,b,下列结论正确的是() A.a+b<0 B.a-b>0 a 0 C.ab>0 D.-ab>0 第6题图 7.在数轴上到表示-3的点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是() A.1 B.4或-4 C.-7 D.1或-7 8.分别写出数轴上点A,B,C,D,E表示的有理数。 B C D E 第8题图 19 口数学 七年级上册（北师大版） 9.画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“<”将它们连接起来： 3,-345,0,-153。 能力提升睡综合拓展 10.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A,B,C把数轴分成①②③④四部 分，点A,B,C对应的数分别是a,b,c,且a+b=0。 (1)请说明原点在哪一部分。 (2)若点A与点C的距离是6个单位长度，点B与点C的距离是4个单位长度，求c 的值。 ① AB C 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2024.河南)如图，数轴上点P表示的数是() 101 A.-1 B.0 C.1 D.2 第11题图 12.(2024·苏州)用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是() A.-3 B.1 C.2 D.3 13.(2023·自贡)如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB,则点B表示的数是 () A.2023 B.-2023 1 1 C.2023 D.-2023 0 A 02023 -10 第13题图 第14题图 14.(2024广元)如图，将-1在数轴上对应的点向右平移2个单位长度，则此时该点对 应的数是() A.-1 B.1 C.-3 D.3 20参考答案与提示 参考答案与提示 第一章丰富的图形世界 2从立体图形到平面图形（第3课时） 1生活中的立体图形（第1课时） 1.圆、长方形、三角形2.长方体、五棱柱、圆 1.①⑧③⑦④⑥②⑤2.(1)圆柱 (2) 锥3.圆柱4.C5.D6.如图所示。7.如图所 长方体(3)圆锥(4)四棱柱(5)三棱柱 示，三角形、长方形。8.如图所示。9.12144 3.A4.c5.①-d②-c③-e④-b⑤-a 提示：先用2个图2的纸板卡拼成一个长为3、宽 6.解：至少还需要19个。理由：堆成大立方块至少共 为2、面积为6的长方形，则6个这样的长方形拼成 需要小立方块33个，即27个，现在这个几何体中有8 一个面积为36的正方形，此时正方形的边长为6，则 号 需图2的纸板卡的个数为12。同理用2个图4的直角 个小立方块，所以至少还需要27-8=19（个）。 砖块拼成长、宽、高分别为4,3,2的长方体，用4× 1生活中的立体图形（第2课时） 3=12(个)这样的长方体拼成一个长、宽均为12，高 1.点动成线线动成面2.圆柱3.B4.B 为2的长方体，再用6个这样的长方体可以拼成长 5.C6.B7.解：(1)6个面。3个面。有平面也有 宽、高均为12的正方体，此时需要2×12×6=144（个） 曲面。相对的面完全相同。圆柱相对的面也完全相同。 图4的直角砖块。 10.A (2)2条。曲的。(3)8个。3条。相互垂直。 8.解：由如图所示的图形绕虚线旋转一周得到的几何 体由三个圆柱组成，有7个面，其中4个是平面，3 个是曲面。9.C 2:从立体图形到平面图形（第1课时） 1.22.153.后面、上面、左面4.B5.B 第6题答图 第7题答图 6.A7.解：答案不唯一，如最上方格填0；中间四 格填1,3,4,2：最下方格填5。 8.解：答案不唯一，如图所示 是一种情况。9.解：乙、戊两 同学是正确的，甲同学的图形不 7个角8个角9个角10个角 能折叠，丙同学6和4重合，丁 第8题答图 同学6和1重合，己同学6和5 第8题答图 重合。10.如图所示。11.解： 涂成绿色一面的对面是黄色，涂 2从立体图形到平面图形（第4课时） 成红色一面的对面是黑色。理由： 1.①②④2.D3.如图所示。4.如图所示。 由图可知，共有黑、绿、白、红、 第10题答图 5.解：如图所示，共有10箱皮鞋，10×12=120 蓝、黄六种颜色，由图1和图3知与白色相邻的面的 (双)。6.(1)如图所示。（答案不唯一）(2) 颜色有黑、绿、黄、红，所以白色的对面是蓝色，由 n=8,9,10,11.7.A8.C9.C 图1和图2知与绿色相邻的面的颜色有白、黑、蓝、 红，所以绿色的对面是黄色，同理红色的对面是黑色。 综上所述，涂成绿色一面的对面是黄色，涂成红色 面的对面是黑色。12.B13.B提示：将该正方体 表面展开图折叠回正方体后，可知“1”与“3”，“2” 从正面看从左面看 从上面看 从正面看从左面看 与“4”，“5”与“6”是相对面，因此要使图2中几 何体能看得到的面上数字之和最小，最上面的那个正 第3题答图 第4题答图 方体所能看到的5个面的数字为1,2,3,4,5，最 右边的那个正方体所能看到的4个面的数字为1,2， 3,5,左下角的那个正方体所能看到的3个面的数字 143 为1,2,3，所以该几何体能看得到的面上数字之和 11 ① ② ③④ 最小为11+15+6=32。 2:从立体图形到平面图形（第2课时） 第5题答图 第6题答图 1.9七边形212.棱 柱和圆柱3.长方体4.B 第二章有理数及其运算 5.C6.(1)圆锥(2)三 1认识有理数（第1课时） 棱柱(3)五棱柱(4)圆 1.-3m2.答案不唯一，如失20分+10分和 柱7.如图所示。 8.D 第7题答图 -20分3.534.D5.C6.B7.整数集合：{1， 9.C10.A 2,0,6分数架合：42，分，031，号，…： 数学 七年级上册（北师大版） 负数集合：42,2，弓，6，…非负数集合： 2有理数的加减运算（第1课时） 1.(1)-7(2)3(3)-2(4)12.7 1,031,0,号，…。8甲丙399.一只闹 3.-14C5.D6.(1)-182(2)9(3)-2.8 钟一昼夜快或慢不超过12s10.鲨鱼所在的高度是水 (4)石7解：he4,1b=2,a=4,6=+2。a+6 平面以下35m处。11.解：(1)(79.6+80.4+80.8+ 的绝对值与它的相反数相等，即la+bl=-(a+b),∴a+b≤ 79.3+80+79.4+80.5)÷7=80(m)。答：这七次测量的平 0。∴.a=-4,b=±2。当a=-4,b=-2时，a+b=-6;当a= 均值是80m。(2)以80m为这座楼的标准高度， -4,b=2时，a+b=-2.8.解：(1)点B表示的数 那么这七次测量的数据对应的数据分别是-0.4,0.4， 为-4，相邻两点之间的距离m=2,.点C,D,E,F 0.8,-0.7,0,-0.6,0.5。(单位：m) 表示的数分别为-2,0,2,4.点F表示的数是4， 12. 原点在点D的位置。(2)①.·点B表示的数是-4， 21 点F表示的数是8，.∴.点B与点F之间的距离为-4+8 5,+2024 2 12,∴.相邻两点之间的距离m=12÷4=3,即m=3。② … 0.98% m=3,.点A,B,C,D,E,F表示的数分别为-7， -4,-1,2,5,8,∴数轴上这六个点表示的有理数之 整数集合 正数集合 和n=(-7)+(-4)+(-1)+2+5+8=3,即n=3.9.答案不 唯一，中间位置的数可以是0或-2或2。理由：中间 位置的数是0时，算式：1+0+(-1)=0,2+0+(-2)=0： -0.101001.￥ 21 · 中间位置的数是-2时，算式：1+(-2)+0=-1,2+(-2)+ -1.7,-6 (-1)=-1；中间位置的数是2时，算式：(-1)+2+0=1， 0.98% (-2)+2+1=1.10.A11.D … … 2有理数的加减运算（第2课时） 负数集合 分数集合 第12题答图 1.02.-3或号3.A4.C5()95(2) 13.解：开锁密码为“+5，-2，+3”时，此时标 -70 (3)0(4)76解：原式-2024+号】 记线对准有理数6；开锁密码为“-16，+10，-4”时， 先按顺时针方向旋转16个小格，再逆时针旋转10个 +-2+4+-202+-号+4043+号][-2024+ 小格，再顺时针旋转4个小格：锁打开时标记线对准 有理数30。 14.+202415.-1.816.B17.B (-2*(-22*4043-+号+4+号》产号引 18.C 7.解：(1)5+(+2)+(-4)+(-3)+ 1认识有理数（第2课时） 5+28-5 89 1.5-22.2.1-6±3.53.04.(1)> (+10)=10(km)。答：接送完第5位考生后，该驾驶 (2)>5.006.C7.D8.B9.(1)5(2) 员在家的东边10km处。(2)(5+2+-4|+-3+10)× 136(3)710.相反数依次为5，-号子.0，-135， 0.2=24×0.2=4.8(L)。答：在这个过程中共耗油4.8L。 (3)[10+(5-3)×1.8]+10+[10+(4-3)×1.8]+10+[10+ 015,-2地对值依次为5，告，号，0,135,015， (10-3)×1.8]=68(元)。答：在这过程中该驾驶员为5 位考生共节省了68元车费。 211.略12.解：.+101<-201，.选甲篮球用于比 2有理数的加减运算（第3课时） 赛。因为甲篮球质量与标准质量更接近。13.100 1.(1)-1(2)2(3)-27(4)42.(1) 14.D15.C 16(2)(-1)(3)37(4)(-44)3.-4 1认识有理数（第3课时） 4.135.>6.-5-5-47.251℃8.C9.D 1.52.943.2或-44.-5.55.C6.D 10.(1)-29(2)21(3)-3(4)-5(5)-24 7.D8.解：数轴上点A,B,C,D,E表示的有理数 11.第一行：12；第二行：14,32；第三行： 分别为-5,25，了，2,45.9解：用数轴上的点 11,13,-1612.解：(1)由题意，得x+121=0,y+ 71=0,lk-9=0,x=-12,3y=-7,=9。(2)x-y-=-12- 表示这6个有理数如下图，用“<”将它们连接起来： (-7)-9=-14.13.-114.D15.D16.A -3<-1.5<0<<3<45.10.解：(1)）点A和点B 2有理数的加减运算（第4课时) 1.(1)-1.25(2)-12(3)-1(4)4 对应的数是a和b,且a+b=0,a和b互为相反数。∴ 点A和点B在原点的两侧，且到原点的距离相等。. (5) 号 (6)2.42.(1)）(-98.8)(2)0.25 原点在第②部分。(2)·点A与点C的距离是6 个单位长度，点B与点C的距离是4个单位长度，.. (3) 22 (4)号)3.A4C5.B6()-4 点A与点B的距离是2个单位长度。又：a+b=0, .=-1,b=1。∴.c=1+4=5.11.A12.B13.B14.B (2)-9.2(3)6(4)￥7.1)-1(2) 内4321012；456 -6圣8解：()）-12km+1.1km-1.8km 第9题答图 (2)0.5+2.5-1.2+1.1-1.8=1.1(km)。答：飞机离地面