综合与实践二 神奇的加密术-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

∠APC=∠APM-∠CPM=(180°-∠PAB)-(180°-∠PCD) =∠PCD-∠PAB。④如图4，过点P作PN∥AB,AB∥ CD,.PN∥CD。.∴.∠APNW=180°-∠PAB,∠CPN=180°- ∠PCD。.∴.∠APC=∠CPN-∠APN=(180°-∠P℃D)-(180 -∠PAB)=∠PAB-∠P℃D。16.109°17.B18.B 19.A20.(1)证明：DE∥BC,.∠C=∠AED。 ∠EDF=∠C,∴.∠AED=∠EDF。.DF∥AC。.∴.∠BDF= ∠A。(2)解：∠A=45°，由(1)知∠BDF=∠A, ∠BDF=45°。DF平分∠BDE,∴.∠BDE=2∠BDF=2× 45°=90°。，DE∥BC,∴.∠B+∠BDE=180°。∴.∠B=90°。 21.证明：选择①，设CE与BF交于点H,AE∥ BF,∴.∠A=∠FBD,∠E=∠BHC。CE∥DF, ∠BHC=∠F。:.∠E=∠F。在△AEC和△BFD中 ∠A=∠FBD,AE=BF,∠E=∠F,.△AEC≌△BFD (ASA)。AC=BD。∴AC-BC=BD-BC,即AB=CD。 选择③，AE∥BF,∴.∠A=∠FBD,在△AEC和△BFD 中，∠A=∠FBD,AE=BF,∠E=∠F,·.△AEC≌ △BFD(ASA)。∴AC-BD。∴.AC-BC=BD-BC,即AB-CD。 综合与实践一 1.解：(1)①10名教师评委打分由小到大排列 为86,88,90,91,91,91,91,92,92,98，处于 中间的2个数据为91,91，.中位数为91分，教师评 委打分中91出现的次数最多，故众数为91分。x=91 分。m=91,n=91,p=91。:45名学生评委打分数据 的中位数是第23个数，2+6+14=22<23,2+6+14+12 34>23,.中位数g的值位于学生评委打分数据分组的 第4组。②去掉教师评委打分中的最高分和最低分， 其余8名教师评委打分的平均数x=90.75分。答：其 余8名教师评委打分的平均数为90.75分。(2)x甲= 92分，x乙=91.8分，s品=1.2，s2=0.16。丙在甲、乙、 丙三位选手中的排序居中，x甲≥x网≥x乙。5名专业 评委给丙选手的打分为90,94,90,94，k,.5× 92≥90+94+90+94+h≥5×91.8.92≥k≥91。k为整 数，k为91或92。当k=91时，xm=x乙，s=3.36。 3>s2,.丙选手排在乙选手之后，不符合题意。当 k=92时，x甲=xm=92,s骗=3.2.3>s品，.丙选手排在 甲选手之后，符合题意。k的值为92。 2.解：(1)当p=100时，甲的报告成绩y= 80x95-=76(分)，乙的报告成绩y=20x30-100)+ 100 150-100 80=92(分)。(2)设丙的原始成绩为x1分，则丁的 原始成绩为(x-40)分。报告成绩为80分及80分 以上时，原始成绩为p及p以上，92>80,64<80， p≤≤150,0≤-40<p。ym=92=202+80①. 150-p y1=64=8040②。由①，得20D）=12。p是 150-p 小于150的常数，150-p≠0。由等式的性质，两边同 乘以0150-p,得xrp=子(150-p）。-90+号p③。 由②，得x40+号p④。联立③④，得二元一次方程 组并解得p=125,x=140,且符合题意。综上所述，p= 125。(3)①共计100名员工，且成绩已经由小到大 7 参考答案与提示 排列好，.中位数是第50,51名员工成绩的平均数， 由表格得第50,51名员工的成绩都是130分，∴.中位 数为130分。②当p>130时，则90-80x130。由等式 的性质，得p=1040<130。故不成立，舍去。当p≤ 9 130时，则90=20x30-p+80,即20x30=p2=10。 150-p 150-p 150-p≠0，方程变形，得130-p=号(150-p)。解得 p=110,符合题意。∴.原始成绩合格分数线为110分。 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为100- 1+242-95(认)。合格率为总×100%=-95%。答： 该公司此次测试的合格率为95%。 3.解：(1)填写表格的顺序：A市最高气温： 0,6,1,3,3,2;B市最高气温：4,3,3,5,0,0。 A市最低气温：0,0,0,1,9,5；B市最低气温： 3,4,6,2,0,0。统计图略。 (2)统计图略。 (3) A市最 B市最 A市最 B市最 高气温 高气温 低气温 低气温 平均数 29.27 27.53 18.73 13.27 众数 27 25,30 18 14 方差 4.73 3.72 1.53 3.80 标准差 2.17 1.93 1.24 1.95 mos 27 25 18 12 mso 30 28 18 14 31 30 20 14 (4)答案不唯一， 例如：A市的温差较小，B市 的温差较大；B市最高气温的稳定程度优于A市；A 市最低气温的稳定程度优于B市；A市最高气温大多 集中在27~31之间。A市位于B市的南方。等等。 综合与实践二 1.解：(1)1+5+2=8,152是“幸运数”。 将152百位数字和个位数字对调后为251，.251-2x4= 243,.加密后的密文为243。(2)设这个三位数的百 位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,∴.a+b+c= 8。这个三位数n=100a+10b+c。根据密文算法可知， 对调百位数字和个位数字后为100c+10b+a,密文为 100c+10b+a-4c=96c+10b+a=8(12c+b)+2b+a。密文能 被8整除，2b+a能被8整除，且a+b+c=8。.a一定 是偶数。.满足条件的a,b,c有a=2,b=3,c=3;a= 4,b=2,c=2;a=6,b=1,c=1。.这个数可能为233， 422,611。 2.解：3x1除以26的余数是10，.可设3= 26a+10(a为正整数)。当a=1时，3x1=26×1+10=36, 解得=12：当a-2时，3=26x2+10-62.解得=号 当3时，3=26x3+10=88,解得1-警>29.0≤ 1≤25,1为正整数，1=12。·.3x1+2除以26的余数 数学 八年级上册（北师大版） 是10，.可设3x+2=26b+10(b为正整数)，∴.2=26b+ 10-3x1=266-26。当b=1时，x2=266-26=26-26=0;当 b=2时，2=26b-26=26×2-26=26。·.0≤0≤25,2为正 整数，2=0.3x+除以26的余数是3，.可设 3x1+x3=26c+3,.3=26c+3-3x1=26c-33。当c=1时，3= 26c-33=26-33=-7:当c=2时，=26c-33=52-33=19; 当c=3时，x=26c-33=78-33=45。.0≤x≤25，x为正 整数，心=19.2+24被26整除的商为2,2x+ 24=26×2,即3+x4=26。x4=7。x1=12,2=0,3=19, 4=7。,2,,x4对应的字母分别为m,a,t,h, 这个英文单词是math。 3.解：：姓唐的首拼声母对应的英文字母为T, 排在26个字母中的第20位，所以x=20。数列{a}的 前20项为2,3,4,6,8,32,10,12,14,16,18， 20,22,24,26,3,28,30,32,34.3,32,3 共3项，2,4,6,8,10，…，34共17项，N=3+ 34342446+434=345。架-028085。六密码为 289855。 4.解：(1)明文YUAN,由表格知字母Y,U, A,N分别对应数字67，山，25。号2,7+ 17=20,1+1+8=12,25+2+17=26,.明文YUAN对 3 3 应的密文数字为2,20,12,26，对应的密文是WZSM。 (2)第1次加密结果是12，第2次加密结果为4，第 3次加密结果为19，第4次加密结果为24，第5次加 密结果为8，第6次加密结果为11，第7次加密的结 果又是12，即按11→12→4→19→24→8→11→12…的 规则加密。故加密结果6次一个循环。100=6x16+4, .第100次加密结果为24，即明文A经过100次加密 的密文是B。(3)存在。理由：我们逆向思考，哪些 字母经100次加密不能得到本身呢？显然第(2)问中 的6个字母对应的数字都不行：11,12,4,19,24， 8。第(2)问得到的经验还有：多次加密数据是循环 的。因此，这26个数是分布在几个不同的循环里。通 过分析数字126，按加密规则可分为5类：第一类： 1→18→6→2→9→3→1；第二类：4→19→248→ 11→12→4：第三类：7→20→15→5→10→21→7；第 四类：17→14→13→22→25→26→17；第五类：16→ 23一→16。故字母H和V加密100次，得到的密文仍然 是本身。 第一章自我检测 1.D2.C3.A4.B5.B6.B7.B8.C 9.A10.C11.1512.9.613.1614.515.40 或36016.14417.7618.419.解：AD+BD2= 122+52=169=AB,.△ABD为直角三角形，且∠ADC= 90°。由勾股定理得DC=9,BC=14,∴.S△4c=84。 20.解：由折叠知，Rt△ADE≌Rt△AFE,.∴AF=AD= 10cm,EF=DE。设CE=xcm,则DE=EF=CD-CE=8-x. 在Rt△ABF中由勾股定理得AB+BF=AF2,即82+BF= 102,∴.BF=6cm,∴.CF=BC-BF=10-6=4(cm)。在 Rt△ECF中由勾股定理可得EF=EC2+CF2,即(8-x)2=x2+ 1 42,∴.64-16+x2416,.∴.3。∴.EF-5cm。21.解：设绳 索长为x尺，根据题意，得2-(-3)=8。解得=73。 69 答：绳索长为72尺。22.解：(1)AC1BD,· 6 ∠AOB=∠COB=∠AOD=∠COD=90°。.∴.△ABO △COB,△COD,△AOD都是直角三角形。.AB= A0+B02,BC=B0+C0,CD2=C0+D02,AD2=A0P+ D0。.AO=2,B0=3,C0=4,D0=5,.∴AB2=13,BC2= 25,CD2=41,AD2=29。(2)由(1)得，BC+AD= (BO2+CO)+(AO+DO)=AB+CD2,BC2+ADP=AB2+ CD。AB=6,CD=10,.BC+AD=6+10=136。(3) 结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等。 23.解：将水塔抽象为一个圆柱，其平面 展开图如图所示。由题意，知从水塔底 部沿水塔侧面绕行一周半到达水塔顶部. 其登塔的最短路径为AB+CD。由勾股定 理，得AB=号×18+5-169，cD= 第23题答图 号×18+25-4225，AB=13,CD=-65。AB+CD 13+6.5=19.5(m)。答：登梯长至少为19.5m。24. 解：由题意，可知∠ABE=∠DBE=90°，DE=150m, BE=120m。在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE= BD+BE,即1502=BD+120。.BD2=8100。BD>0, BD=90。∴AB=AD-BD=250-90=160(m）。在 Rt△ABE中，AE=AB+BE,即AE=160+1202。∴AE= 40000。AE>0,.AE=200(m)。∴AE+DE=200+150= 350(m)。答：两人所走的路程和为350m。(2)在 △ADE中，DE+A㎡=150+200=62500，AD=250= 62500,DE+AE=AD。.△ADE是直角三角形。 ∠AED=90°，即DE⊥AC于点E。∴.面馆D到公路AC 的距离为DE的长。答：面馆D到公路AC的距离为 150mo 第二章自我检测 1.D2.B3.B4.D5.A6.C7.B8.C 9.D10.D11.V3,2-π，1-V212.3 4071B5-24.<15.-2160或17.21+ 9V318.(1)1(2)1(3)1(4)1(5) V+Vn)Vam-V)Hl19分数架合- -1732.0512512,-√6+，号.… 负数集合 圣，-1732,8，-√6+，…无理数集合 V5,V4,号，2V2,0.1040040004…(相邻 两个4之间0的个数逐次加1)，…20.(1)0.6 (2)-13(3)15(4)-2+2V2(5)5(6) -子2L解：-5号<4k-3<-V2006< 1.414<V2<m<422.(1)-5(2)2V3+2(3)综合与实践二 综合与实践二 1.阅读材料，回答下列问题： 材料一：一个自然数的各个数位数字之和为8，则称这个数为“幸运数”。 材料二：把一个原数据经某种算法处理成另一个数据称为加密，原数据称为明文，处理 后的数据称为密文。已知明文是个位数字不为零的三位自然数，经加密后的密文为m。 加密算法如下： ①将n的百位数字与个位数字对调后得到一个新的三位数； ②密文m为新的三位数与n的个位数字的4倍的差。 例如：当n=231时，m=132-4×1=128。 (1)判断明文152是否是“幸运数”，说明理由，并求出加密后的密文。 (2)已知某个数是个位数字不为0的三位“幸运数”，将这个数按材料二中的方法加密 后得到的密文能被8整除，求出这个数的所有可能结果。 2.在密码学中，你可以直接看到的内容为明码，对明码进行某种加密处理后得到的内容 为密码。英文26个字母由~z按顺序分别对应整数为0~25，现有4个不同字母构成的密码 单词，记4个字母对应的数字分别为x1,x2,x3,x4。已知整数3x1,3x+x,3x+x3除以26的 余数分别是10,10,3，且2x+2x4被26整除的商为2。 请你通过推理计算，破译该密码单词。 3.某办公室用的是一把密码锁，且定期更换密码，密码的编写方式不变，都是以当日值 班人员的姓氏为依据编码的，密码均为100的小数点后的前6位数字。编写方式如下： ①设x为该办公室某人员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置的顺序号： ②若x为偶数，则在正数偶数列2,4,6,8,10，中依次插入数值3”形成新的数列 {a},即2,3,4,6,8,32,10，若x为奇数，则在正数奇数列1,3,5,7,9,11， 139 数学 八年级上册（北师大版） 中依次插入数值2m形成新的数列{a},即1,2,3,22,5,7,23,9,11，…； ③N为数列{a}的前x项的和。 例如：当值班人员姓康，则“康”的首拼声母对应的英文字母为K,字母K在26字母 中排在第11位，所以=11。数列{a}的前11项为1,2,3,22,5,7,23,9,11,13,15， 所以N1+23+245+7249+1+13+15=78.0-1,28205128.。所以宝码为282051。 若某天值班人员姓唐，请你推出该天办公室的密码。 4.现代社会对保密的要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分。有一种密码的明 文（真实文）是按计算机键盘上字母排列的，其26个英文字母对应的数字如下： W P A D 10 12 13 F G H X B N M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 加密的过程如下： ①将明文字母对应的数字设为x。 ②将加密后的密文字母设为x'。 ③当x被3整除时，=亭：当x被3除余1时，=2+17；当x被3除余2时， 3 +8 例如：字母A对应数字为11，经过加密11→11+1+8=12,12对应字母S。也就是说， 3 按照上述方式加密1次，明文A对应的密文为S。以上加密方式可以重复进行。 (1)按照上述方式加密1次，求出明文“YUAN”对应的密文。 (2)按照上述方式加密100次，求出明文A对应的密文。 (3)是否存在这样的字母，按照上述方式加密100次，得到的密文仍然是该字母本身？ 如果存在，请找出所有这样的字母：如果不存在，请说明理由。 140