第一章 2 一定是直角三角形吗-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 八年级上册（北师大版） 一定是直角三角形吗 自主导学Q典例精析 例题如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,DA=1,且 ∠B=90°，求∠DAB的度数。 【分析】利用勾股定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可 y 求得AC及∠BAC=45°，易得AC?+DA2=CD2,故∠CAD=90°，进而求得 例题图 ∠DAB的度数。 【解答】如图，连接AC,在△ABC中，由∠B=90°，AB=BC=2,得 AC=AB2+BC=22+22=8,∠BAC=∠ACB=45°。在△ACD中，AC2+DA2=8+ 1=9=CD2,所以△ACD是直角三角形。所以∠CAD=90°。所以∠DAB= ∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°. 例题答图 【点拨】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的性质。应用勾股 定理的前提是已知直角三角形两条边长，求第三条边；应用勾股定理逆定理的前提是已知三 角形的三边长，如果较短的两条边长的平方和等于较长一条边长的平方，那么就可以判定这 个三角形是直角三角形。 基础巩固达标闯关 1.如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为 格点。点A,B,C,D,M,N均在格点上，其中A,B,C,D四个点中能 与点M,N构成一个直角三角形的是点 2.若△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2-10a-24b-26c+338=0,则此 第1题图 三角形为 3.已知M,N是线段AB上的两点，AM=MW=2,NB=1,以点A 为圆心、AN长为半径画弧；再以点B为圆心、BM长为半径画弧， 两弧交于点C。连接AC,BC,则△ABC一定是() A.锐角三角形 B.直角三角形 第3题图 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.下列结论不正确的是（) A.若正整数a,b,c的比为5：4：3，则以a,b,c作为边长的三角形是直角三角形 B.若正整数a,b,c满足a2=(b+c)(b-c),则以a,b,c作为边长的三角形是直角三角形 C.△ABC中，若∠A:∠B:∠C=3:4:5,则△ABC是直角三角形 D.△ABC中，若∠B=∠C-∠A,则△ABC是直角三角形 勾股定理 第一章 5.如图，在四边形ABCD中，AB=3cm,AD=4m,BC=13cm,CD=12cm,且∠A= 90°。求四边形ABCD的面积。 第5题图 能力提升睡综合拓展 6.如图，在△ABC中，AB=10,BC=12,AD为BC边上的中线，且AD=8,过点D作 DE⊥AC于点E。请求出线段DE的长。 D 第6题图 7.已知△ABP在正方形网格中的位置如图所示（点A,B,P是网格线交点），求 ∠PAB+∠PBA的度数。（要求说明理由） A 第7题图 中考链接©真题演练 8.(2023·南通)勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次 给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》。现有勾股数a,b,c,其中a,b均小 于c,子心-分，6=号m心分，m是大于1的奇数，则6 1 (用含m的式子表示)。 9.(2023·济宁)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1 个单位长度，点A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上，线段AB,CD 交于点F,若∠CFB=Q,则∠ABE等于() Ci B A.180°- B.180°-2ax C.90°+x D.90°+2ax 第9题图 7参考答案与提示 参考答案与提示 第一章勾股定理 +SAm=36cm。6.解：.BC=12,AD为BC边上的中 1探索勾股定理（第1课时） 线，BD=DC=}BC=6。在△ABD中，BD4AD2-6+82 2 1.(1)15(2)12(3)62.4.83.x2+(x- 100=AB,.△ABD为直角三角形。.∠ADB=90°。 6.8)2=1004.175.206.C7.D8.解：由题意 ∠ADC=∠ADB=90°。又.BD=DC,AD=AD,.∴.△ABD 可知∠A0B=90°，OA=32m,OB=24m。由勾股定理 可得AB=0A2+0B2=1600。.AB=40m。9.解：由已 兰△ACD。:AC=AB=I0。Sac=ADDC=号AC, 知得BD+AD=BC+AC,BC=10m,AC=20m。设BD= xm,则AD=(30-x)m,CD=(10+x)m。在Rt△ACD DE,即8x6-×I0DE,DE=48.7解：∠PHB+ 中，CD2+AC-=AD2,即(10+x)2420=(30-x)2,解得x=5。 ∠PBA=45°。如图，延长AP交格点于点D,连接BD, .10+=15,即这棵树的高度为15m。10.B 则PD=BD=12+22=5,PB=12+32=10。PD=BD,PD2+ 1探索勾股定理（第2课时）】 DB=PB。∠PDB=90°。.∠DPB=45°。.∠APB=180°- 1.682.5或133.494.B5.C6.解：设 ∠DPB=135°。∴.∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135° AE=xkm,则x2+15子=102+(25-x)2,解得x=10km,即 =45°。8.m9.C E站应建在离A点10km处。 7.解：如图，作AF⊥B0于 0 点F,CG⊥B0于点G,AD⊥ DB,OB⊥DE,·.∠ADB= ∠DB0=∠OBE=90°。.AD∥ OB。.∠AF0=∠DAF=90°。 --F 第5题答图 第7题答图 ∠ADB=∠DBF=∠AFB= B 3勾股定理的应用 ∠DAF=90°。.四边形ADBF 第7题答图 1.172.53.B4.解：(1)A01B0, 为长方形。同理，四边形BECG为长方形。：∠AOC= ∠AOB=90°。.△AOB为直角三角形。在Rt△AOB中 ∠A0F+∠COG=90°，∠A0F+∠OAF=90°，.∠C0G= 由勾股定理，可得AB2=A02+B0=2.42+0.72=6.25。.·AB= ∠OAF。:∠CG0=∠AF0=90°，AO=C0,∴.△AOF≌ 2.5m。.梯子AB的长度为2.5m。 C △OCG(AAS)。.0G=AF=BD=4m。设A0=xm,在 (2)如图，由题意可知，AE=0.9m。 Rt△AF0中，A+0F=A0,即42+(-1)2=x2,解得x= .A0=2.4m,..E0=A0-AE=1.5(m), 8.5。则CE=GB=0B-0G=8.5-4=4.5(m)。8.解： ED=AB=2.5m。在Rt△DOE中，由 (1)S=S2+S3。理由：设Rt△ABC的三边BC,AC,AB 勾股定理，可得OD=ED-E02= 0 的长分别为a,b,c,由勾股定理得c2=+b2。又S= 2.52-1.52=4。∴.0D=2。.BD=0D- BD c2,S2=,S=b2,S=S+S。(2)S1=S2+S。理由： 0B=2-0.7=1.3(m)。答：梯子的底 第4题答图 ,ss子s=4,+s+子b号d 端向外移动的距离为1.3m。5.解：BC=6,D是 BC的中点，：CD=)BC=3。在Rt△ACD中，AD= +b=子c2=S。9.解：R△ACD≌R△CAB, 2 ACP+CD=42+32=25。AD=5。将△CDE沿DE翻折， ..CA'=AC=c,AD'=CB=b,C'D'=AB=a,AC'D'= 点C落在AD上的点F处，DF=CD=3,EF=CE, ∠CAB。∠AC'D'+∠DAC=90°，.∠BAC+∠D'AC= ∠EFD=∠ECD=90°。：AF=AD-DF=2,∠AFE=90°。设 90°。∴.∠CAC=180°-90°=90°。∴.△CAC是一个等腰直 CE=x,则EF=x,AE=AC-CE=4-x。在Rt△AFE中，由 角三角形，它的面积等于子，又：四边形BCC)是 勾股定理，可得(4-=42，解得x=号。CE15。 个直角梯形，小分(a+b)-2xb+分c,46-c。 6.x2+22=(x+0.5)2 ★问题解决策略：反思 10.4811.D12.C 1.解：如图，将圆柱侧面沿AB展开成长方形， 2一定是直角三角形吗 则螳螂爬行的最短路程就是长方形对角线AB的长。 1.C2.直角三角形3.B4.C5.解：如图， AA=2m×10=20m≈60(cm),BA1=45cm,根据勾股 连接BD,由勾股定理得BD=5cm。又BC=l3cm, 定理，可得AB2=AA2+BA2=602+452-5625=752。故AB= CD=12cm,BD2+CD2=25+144=169=132=BC,由勾股 75cm。答：螳螂爬行的最短距离为75cm。 定理逆定理得△BCD是直角三角形，S四边形AB-S△m