第五章 3 二元一次方程组的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 八年级上册（北师大版） 二元一次方程组的应用（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题某公园六一期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣。小张、 小李都随他们的家人参加了本次活动。小王也想去，就去打听小张、小李买门票花了多少 钱。小张说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；小李说他家去了4个大人和2 个小孩，共花了44元钱。小王家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需要多 少钱买门票。 【分析】本题等量关系：3个大人的门票钱+4个小孩的门票钱=38元；4个大人的门票 钱+2个小孩的门票钱=44元。设大人门票为x元，小孩门票为y元，建立方程组，然后解出 x,y的值，再代入3x+2y计算即可。 【解答】设大人门票为x元，小孩门票为y元，由题意， 34=38解得=10 得 则3x+2y=3×10+2×2=34。 4x+2y=44, y=2, 答：小王家计划去3个大人和2个小孩，需要34元买门票。 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，列二元一次方程组解决实际问题的关键是 仔细审题，找到两个等量关系，恰当选择两个未知量作为未知数，转化为求二元一次方程组 解的问题，然后验证方程组的解是否为实际问题的解。 基础巩固)达标闯关 · 1.现有99名同学去划船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，他们共租船 10只，如果这些学生把租来的船都坐满，那么大船和小船分别租多少只？ 2.“甲、乙隔河牧羊，两人互相问数量，甲说得乙羊九只，我羊是你二倍整；乙说得甲 羊八只，两人羊数正相当。”请你帮助算一算甲、乙各放多少只羊。 0 二元一次方程组 第五章 能力提升坤综合拓展 3.栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一枝，五个没去处；五个坐一枝，闲了一棵树。请 你列算式，算出鸦树数。 大意是：一群乌鸦栖息在几棵树上，若每棵树上栖3只乌鸦，就会有5只乌鸦没处去： 若每棵树上栖5只乌鸦，就有一棵树上没有乌鸦。请你算出有多少只乌鸦、多少棵树。 4.下面是清朝徐子云所编的一道古寺饭碗趣题： 巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，看看用尽不差争。 三人共食一碗饭，四人共食一碗羹。请问先生明算者，算来寺中几多僧。 同学们，你能用方程组求出寺中有多少僧人吗？ 5.“爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏。”随着春节临近，某小区物业公司准备购买一 些灯笼和春联，为该小区100户业主开展“春节送福”活动。物业公司经过调查得到以下信息： 信息一：若购买5个灯笼和4副春联需要花费255元；若购买3个灯笼和8副春联需要 花费265元： 信息二：每户业主只能在灯笼和春联中选一种，且选灯笼的业主数量不超过30户。 (1)求每个灯笼和每副春联的价格分别是多少元。 (2)物业公司要为本次活动进行预算支持，请你算一算需要的费用大致在什么范围内。 口数学 八年级上册（北师大版） 中考链接©真题演练 p下多多 6.(2024·安徽)乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业。某村有部分返乡青 年承包了一些田地，采用新技术种植A,B两种农作物，种植这两种农作物每公顷所需人数 和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数/人 每公顷所需投入资金万元 A 8 B 3 9 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问 A,B两种农作物的种植面积各为多少公顷。 7.(2024·内蒙古)某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两 种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价1（元g) 售价1（元/kg) 甲 e 22 乙 b 25 该超市购进甲种水果18kg和乙种水果6kg需366元，购进甲种水果30kg和乙种水果 15kg需705元。 (1)求a,b的值。 (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150kg进行销售，其中甲种水果的数量不 少于50kg,且不大于120kg。实际销售时，若甲种水果超过80kg,则超过部分按每千克降 价5元销售。求超市当天销售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量 x(kg)之间的关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货 方案以及最大利润。 8 二元一次方程组 第五章 二元一次方程组的应用（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题小林在某商店购买商品A,B共三次，只有一次购买时，商品A,B同时打折， 其余两次均按标价购买，三次购买商品A,B的数量和费用如下表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 1140 第二次购买 3 > 1110 第三次购买 9 8 1062 (1)小林以折扣价购买商品A,B是第 次购买的。 (2)求出商品A,B的标价。 (3)若商品A,B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的。 【分析】(1)观察表格中数据发现第三次购买商品A,B的数量最多，购买总费用最 少，所以第三次是以折扣价购买的；(2)根据表格得到等量关系：购买商品A的数量×A 的标价+购买商品B的数量×B的标价=购买总费用；(3)根据表格可得到等量关系：（购 买商品A的数量×A的标价+购买商品B的数量×B的标价)×折扣=购买总费用。 【解答】(1)三 6x+5y=1140, (2)设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得 3x+7y=1110。 x=90, 解得 答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元。 y=120. (3)设商店是打a折出售这两种商品，根据题意，得(9x90+8×120)×0.1a=1062。 解得a=6。答：商店是打六折出售这两种商品的。 【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，解题时需要借助表格中的数据进行分析，找 出问题中所蕴含的等量关系。 基础巩固飞达标闯关 1.五一期间，某商场搞优惠促销，由顾客抽奖决定折扣。某顾客购买甲、乙两种商品， 分别抽到七折券（按售价的70%销售）和九折券（按售价的90%销售），共付款386元，这 两种商品原销售价之和为500元，问这两种商品的原销售价分别为多少元。 79 口数学 八年级上册（北师大版） 2.某商场上个月共卖出甲、乙两种商品1000件，这个月甲商品多卖出50%，乙商品少 卖出10%，结果产品的总销量减少了4%，上个月甲、乙两种商品各卖出多少件？ 3.随着中国传统节日端午节的临近，某商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促 销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折。已 知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要600元：打折后，买50盒甲品牌粽子 和40盒乙品牌粽子需要5200元。 (1)打折前甲、乙两种品牌棕子每盒分别为多少元？ (2)某敬老院需购买甲品牌粽子80盒、乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比 不打折节省了多少钱。 4.根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨 10%,乙地降价5元。已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元， 求调整前甲、乙两地该商品的销售单价。 80 二元一次方程组 第五章 能力提升坤综合拓展 5.某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%标价出售。春节期间商场搞优惠促销，决 定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售。某顾客购买甲、乙两种服装共付款182 元，两种服装标价之和为210元。问这两种服装的进价和标价各是多少元。 6.为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的 “虾一稻”轮作模式。某农户有农田20亩，去年开始实施“虾一稻”轮作，去年出售小龙虾 每千克获得的利润为32元（利润=售价-成本）。由于开发成本下降和市场供求关系变化，今 年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元。 求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价。 7.某地区2023年进出口总额为520亿元，2024年进出口总额比2023年有所增加，其 中进口额增加了25%，出口额增加了30%。注：进出口总额=进口额+出口额。 (1)设2023年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x,y的代数式填表： 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2023 y 520 2024 1.25x 1.3y (2)已知2024年进出口总额比2023年增加了140亿元，求2024年进口额和出口额分 别是多少亿元。 ① 口数学 八年级上册（北师大版） 8.某市对八年级综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：考核综合评价得分 由测试成绩（满分100分）和平时成绩（满分100分）两部分组成，其中测试成绩占80%， 平时成绩占20%，并且当综合评价得分大于或等于80分时，该生综合评价为A等。 (1)小孔同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为185分，而综合评价得分为91分， 则小孔同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ (2)某同学测试成绩为70分，他的综合评价有可能达到A等吗？为什么？ (3)如果一个同学综合评价要达到A等，他的测试成绩至少要多少分？ 中考链接⊙©真题演练 9.(2024·海南)端午节是中国传统节日，人们有吃棕子的习俗。某商店售卖某品牌瘦 肉粽和五花肉粽，端午节当天，商店开展促销活动，所有粽子都打八折销售，买10个瘦肉 棕和5个五花肉粽只需160元。促销活动前，每个瘦肉棕比每个五花肉棕贵5元。求促销活 动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价。 10.(2024山西)当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加。科学 处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源。据研究，从每吨废旧 智能手机中能提炼出的白银比黄金多760g。已知从2.5t废旧智能手机中提炼出的黄金与从 0.6t废旧智能手机中提炼出的白银克数相等。求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银 各多少克。 2 二元一次方程组 第五章 二元一次方程组的应用（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题 小张从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟 走60m,下坡路每分钟走80m,上坡路每分钟走40m,则他从家里到学校需10min,从 学校到家里需15mi。问：从小张家到学校的平路和下坡路各有多长？ 【分析】等量关系：从家里到学校走平路时间+走下坡路时间=l0mi,从学校到家里走 上坡路时间+走平路时间=l5min: 【解答】设平路有xm,下坡路有ym,根据题意，得 0+0=0, 1x=300, 解得 0+0=5, y=400。 答：小张家到学校的平路和下坡路分别为300m和400m。 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，此题主要利用时间、速度、路程三者之间 的关系解答，注意来回坡路的变化是解题的关键。 基础巩固飞达标闯关 1.《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来。某日， 戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时。求 戴宗在无风时的平均速度。 83 口数学 八年级上册（北师大版） 2.随着我国农业现代化进程的加速推进，农用无人机已成为推进农业机械化的重要力 量，对缓解农村劳动力短缺、提高农业生产力和资源利用率、增强病虫害防控能力、保障国 家粮食和生态安全具有重要意义。某农业园区计划对稻田进行农药喷洒，若使用传统的人工 喷洒方式，则需要8个工人工作5天；若使用一架农用无人机，则需要6个小时。已知农用 无人机平均每小时喷洒的面积比每个工人平均每天喷洒的面积多59.5亩(1亩≈666.7平方 米)，求每个工人平均每天喷洒的面积和一架农用无人机平均每小时喷洒的面积。 3.如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60cm的大长方形， 求每个小长方形的周长和大长方形的周长。 第3题图 能力提升螂综合拓展 4.为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域，某 水上公园的步道现有一段长350m的河边道路需要改造，任务由A,B两个工程队先后接力 完成，A工程队每天改造15m,B工程队每天改造10m,共用时30天。求A,B两个工程 队分别改造河边道路多少米。 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： x+y=□， x+y=☐， 甲同学： 15x+10y=☐； 乙同学：1 5*00. 84 二元一次方程组 第五章 (1)将甲同学和乙同学所列的方程组补全，并指出所列的方程组中未知数x,y所表示 的意义。 (2)求解甲、乙同学所列的方程组。 5.某通信器材商场计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求。已 知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种型号的手机每部1800元，乙种型号 的手机每部600元，丙种型号的手机每部1200元。若商场同时购进其中的两种不同型号的 手机共40部，并将60000元恰好用完。请你帮助商场计算一下如何购买。 6.某公司的快车计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/km 0.3元min 0.8元/km 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车 的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程7km以内（含7km)不收远途费，超过7km的，超 出部分每千米收0.8元。 小王与小张各自乘坐该公司的快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际 行车里程分别为6km与8.5km,两人的乘车费相同。 (1)求这两辆快车的实际行车时间相差多少分钟。 85数学 八年级上册（北师大版） x=-4, 5.解：两个方程中，x和y的系数和与差 相等或互为相反数。将方程①+②后整理，得x+=3③， 将方程①-②后整理，得x-y=1④，由方程③④解得 2,6.解：）1②， ③/4， y=1。 l=1 3y=4 (2)y(3)答案不唯一，如3+22：的解为 2x+3y=25 任.7.解：方程组3-2=4与2m3019, ly=5。 mx+ny=7 15y-x=3 有相同的解，“这个解就是两个方程组中每一个二元 一次方程的解。这个解也是方程组3x-24,的解。 (5y-x=3 将方积40.1=.第 将y=1代人②，得x=2。∴.已知两个方程组的解都为 2::由题意知，2，是方程组+7，。的 ly=1。 y=1 2m-3y=19 解。将2代人，得n19解得m4,= =1 8.解：（)点A(9,13,令19，解得 l3n+1=13。 m=0.m-6,4(9,13)是“和谐点”。(2)解 n=4。 3 方程组，得41一 2x-y=t, 点号，号是和 m-1=4+2 谐点”， 3 。1tm-n=6,.3-9 3n+1=-4t 6。解得t=10.9.解：方程①-②，得4=4，解得y= 1。将)1代人①，得x=3。所以方程组的解是任=3， y=l。 3二元一次方程组的应用（第1课时） 1.解：设租大船x只、小船y只。根据题意，得 x+y10, 解得7,2.解：设甲放羊x只、 l12x+5y=99。 y=3。 乙放羊y只，则+g29),解得59,3.解： x-8=y+8。 y=43。 受4鸡有：只。制有子菜则.年 4解：有设x只饭碗、y只羹碗，则+)364，解得 l3x=4y。 x=208,有僧3x208=624(人)。5.解：(1)设 y=156。 每个灯笼的价格为x元，每副春联的价格为y元。根 据题意，得5t55解得35.答：略。(2 3x+8y=265。 【y=20。 设购买灯笼a个，花费为0元，根据题意，得u=35a+ 20(100-a)=15a+2000。.k=15>0,∴.0的值随着a的增 大而增大。0≤a≤30，.2000≤w≤2450。答：略。 1 6.解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农 作物的种植面积是y公顷。根据题意，得+324解 8+9=60。 得答：略。2解：①)由题意，得8636： =4。 l30a+15b=705。 解得144=14，b=19。(2)当50≤x≤80时，) lb=19。 (22-14)x+(25-19)(150-x)=2x+900。k=2>0,.∴y的值 随着x值的增大而增大。∴.当x=80时，y取最大值， y最大值=2×80+900=1060（元）。当80<x≤120时，y= (22-14)×80+(22-14-5)(x-80)+(25-19)(150-x)=-3x+1 300,:k=-3<0,∴y的值随着x值的增大而减小。 当x=80时，y大值=-3×80+1300=1060（元）。此时， 150-x=70(kg)。答：略。 3二元一次方程组的应用（第2课时） 1.解：设甲、乙两种商品原销售价分别为x元、 元，则y-006-386。解得i0”2.解：设 y=180。 该商场上个月卖出甲、乙两种商品分别为x件、y件， 则+=1000， x(1+50%)+y(1-10%)=1000(1-4%)。 解得=100， (y=900。 3.解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元、乙品牌 粽子每盒y元。根据题意得6x+3,600, 50-0.8.x+40-0.75y=5200。 解得40，÷打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌 y=120。 粽子每盒120元。(2)80×40+100×120-80×0.8×40- 100×0.75×120=3640(元)。∴.打折后购买这批粽子比 不打折节省了3640元。4.解：设调整前甲地该商 品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元。 由题意.得0-01.新和8答： 略。5.解：设甲种服装的标价为x元，则进价为 产元：乙种服装的标价为y元，则进价为六元，则 x+y=210, l0.8x+0.9y=182。 解得0则音450（元）4 y=140。 100(元)。答：略。6.解：设去年每千克小龙虾的 养殖成本与售价分别为x元、y元。由题意，得 -=32, 109%w-（1-25%x30解得M答：略。7解 y=40。 (①)125+13y(2)根据题意，得+520， 11.25x+13y=520+140。 解得320,125x=400,13y=260。答：略。8.解. (1y=200。 (1)设小孔同学测试成绩为x分，平时成绩为y分。 依题意得91。解得的答：略。 (2)由题意可得80-70x80%=24,24÷20%=120>100。 不可能达到A等。(3)设平时成绩为满分，即100 分，综合成绩为100x20%=20。设测试成绩为a分，根 据题意可得20+80%a=80。解得a=75。∴.他的测试成 绩至少要75分。9.解：设促销活动前每个瘦肉粽、 五花肉粽的售价分别为x元、y元。由题意，得 10x+5y)x08=160,解得l5.答：略。10.解： lx-y=5。 ly=10。 设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金xg,白银yg。 根据题意，得+760y,解得=240、答：略。 l2.5x=0.6y。 y=1000。 3二元一次方程组的应用（第3课时） 1.解：戴宗顺风行走的速度为160÷2=80（里/小 时)，戴宗逆风行走的速度为160：4=40（里小时）。设 戴宗在无风时的平均速度为x里/小时，风速为y里/ 小时，则+80解得20答：略。2.解于 x-y=40。 设每个工人平均每天喷洒的面积为x亩，一架农用无 人机平均每小时喷洒的面积为y亩，根据题意，得 586:解得05，答：略。3解：设小长方 ly-x=59.5。 y=70。 形纸片的长为xcm、宽为ycm。根据题意，得 中60，解得二5六每个小长方形的周长2（中 x=3y。 =120(cm),大长方形的周长=2(60+3x)=390(cm)。 签：略。4解：①甲同学。510350其中 x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的 1x+y=350, 天数。乙同学：1 店+30。其中x表示A工程队 1 改造道路的长度，y表示B工程队改造道路的长度。 (2)解方程组： x+=30, 15x+10=350。 解得0·解方程 (y=20。 x+y=350, 组：+030。解得150 y=200。 5.解：设甲种型号 手机购进x部，乙种型号手机购进y部，丙种型号手 180r+60,=6000.解得-30.或 机购进&部，则+40， y=10。 [x+z=40 1800x+1200z=60000。 解得=20，或 {z=20。 [y+z=40, 600+1200=60000.解得600，（舍去）答：略 lz=60。 6.解：(1)设小王的实际行车时间为xmin,小张 的实际行车时间为ymin。由题意，得1.8×6+0.3x=1.8× 8.5+0.3y+0.8×(8.5-7)。整理方程，得10.8+0.3x=16.5+ 0.3y,即0.3(x-y)=5.7。x-y=19。答：略。(2)由 ①及题意.得55+85化简.解这个 3y-=17。 方程组，得3答：略。7，解：（①）由题意，得 =18。 7×415-40)-75(m。87x2+2m(36+1.2x7)=453m。 答：略。(2)设小王同学的平均速度为xm/s,邓教 练的平均速度为yms。由题意，得2， 20(x+y)=400+7.5。 1 参考答案与提示 /163 4 解得 163 答：略。 0212° 4 二元一次方程与一次函数（第1课时） 1.(-4,1) 2.=1,3.C4A5.(1) ly=-2 1x=2, y=3 (2)①-11②图象略。 (3)1-3或 y=-1 1=l,6.D7.C =3。 4二元一次方程与一次函数（第2课时） 1.D2.解：(1)在y=x+3中，令y=0,得x= -3。.B(-3,0)。把x=1代人y=x+3得y=4,即m=4。 .C(1,4)。设直线2对应的函数表达式为y=kx+b, k+64，解得-2，·直线2对应的函数表达式为 3k+b=0。 b=6。 y=-2x+6。(2)A(3,0),B(-3,0),AB=3-(-3)= 6。设M(a,a+3),由MWN∥y轴，得N(a,-2a+6),则 MN=la+3-(-2a+6)=AB=6。解得a=3或a=-1。∴.点M 的坐标为(3,6)或(-1,2)。3.解：(1)v= 1%0-90(km),ta=1g0-60(m)。快车的速度 2 为90km/h,慢车的速度为60km/h。(2)由题意， 得点E的横坐标为2+1.5=3.5，则点E的坐标为 (3.5,180)。快车从点E到点C用的时间为360-180= 90 2(h),则点C的坐标为(5.5,360)。设线段EC所表 示的y与x之间的关系式为y=kx+b,根据题意，得 1k=90, 35+h180解得135线段C所表示的%与 5.5k+b=360。 x之间的关系式是y=90x-135(3.5≤x≤5.5)。(3)由 题意知，OD所表示的关系式为y=6Ox。由图象知，线 段OD与线段EC交于点F。设点F的坐标为(a,b), 则合处B.架得0点的坐标为45。 270),点F代表的实际意义是在4.5h时，快车与慢车 行驶的路程相等。4.解：(1)由表中数据可知，x 每增加6cm,y均减少12cm,y是x的一次函数。 设y与x之间的关系式为y=kx+b,由题意，得 念好得你2y与之同的关系式为 -2x+152。(2)根据题意，得x+130, -2+152。解得 =22，双层部分的长度为22cm。(3)由题知， y=108。 当x=0时，y=152,当y=0时，x=76。.76≤L≤152。 5.解：(1)由表中的数据，x每增加1个，y的增 加量均为2.4cm,y是x的一次函数。设y=k+b,由 医点，积公红4年阳。y与之间的关系 式为y=2.4x+3.6。(2)当y=28.8时，2.4x+3.6=28.8。 解得x=10.5。x取正整数，总高度不超过28.8cm,