第四章 一次函数 自我检测-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

Y(4)号V0(5)-8V5(6)123. 10 解：(1)一个正数m的两个平方根分别是2a-3和 a-9,∴2a-3+a-9=0。解得a=4.2a-3=5。∴m=25。 n+2的算术平方根是1，n+2=1。∴n=-1。(2)由 (1)得m=25,n=-1,∴m-2n=25+2=27。,∴.m-2n的立方 根为3.24.(1)证明：BD为三角形ABC的边AC 上的中线，则CD=?AC=1。在Rt△DBC中，∠C= 90°，BC=V3,由勾股定理，得BD=VBC4CD丽= V(V3)2+12=2。又AC=2,.AC=BD。.△ABC是 “奇异三角形”。(2)解：等腰三角形ABC是“奇 异三角形”，∴△ABC边上的中线有两种情况，即在 AC或BC边上。如图1，当BD为腰上的中线时，过 点B作BE⊥AD于点E,由“奇异三角形”定义，得 BD=AC。MB=AG=-20,AB=-BD=20。DE=分AD 子AC=5,CE=10+5=5。在R△BDE巾，由勾股定 理，得BE=BD-DE=20-5=375。在Rt△BCE中， BC=VBE+CE区=V375+225=V600=10V6。如图 2,当AD为底边上的中线时，由“奇异三角形”定 义，得AD=BC。AB=AC,CD=BD,ADLBC,AD= 2BD。在Rt△ABD中，设BD=x,.AD=2x。由勾股定 理，得AB2=AD+BD,即x2+(2x)P=20。又x>0,. 解得x=V80=4V5。∴.BC=2=8V5。综上所述，底 边BC的长为10V6或8V5。 图1 图2 第24题答图 第三章自我检测 1.D2.A3.B4.B5.A6.B7.B8.B 9.A10.D11.(10,9)7排13号12.34 513.a<114.二或四15.(5,0)或(-5,0) 16.北偏东40°17.518.(4,0)或(0,4)或 (4,4)19.解：方法一：用有序实数对(a,b)表 示。如以食品柜为原点，水平方向为x轴，竖直方向 为y轴，建立直角坐标系，则钟表柜(2,0)，文具柜 (2,1),五金柜(1,2)。方法二：用方向和距离表示， 略。20.解：(1)A(-5,6),B(-5,1),C(-2,1)。 (2)图略，关于y轴对称。(3)图略，关于x轴对 称。(4)均互为相反数。21.(1)图略。(2)11。 22.解：提示：以BC中点为原点，以BC所在的直 线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立直角 坐标系，则A(0,4),B(-3,0),C(3,0)。23 (1)D(4,2),8。(2)存在。P(0,4)或(0，-4)。 24.解：过点P作PD1x轴，垂足为点D。:A(-V3, 0),B(0,1),.OA=V3,OB=1,则由勾股定理，得 1 参考答案与提示 AB=VOA+OB=2。:△ABC为等边三角形，CA⊥x 轴，.△ABC的高等于OA=V3,BC=AC=AB=2。 :5a=7x2xV了-V5。Saw=5 tS-Sew ixV3xl+ix(l)-a(V33)-V3-V3a. 2 2Sam=SAa,2xY3+号V5a=V3。a=V3。 2 .P(3,V3)。 第四章自我检测 1.C2.D3.B4.A5.C6.B7.y=3x8. y=-x+39.y=-x+110.s=75t11.y=15+2.5x12. (1)40(2)8(3)y=40-5x(0≤x≤8)13.解： (1)图象略。直线y=3x-2与x轴、y轴交点的坐标分 别为号，0，(0，-2：直线)=-2+3与轴、y轴 交点的坐标分别为（弓，0，(0,3）。(2)函数 3x-2的y值随着x的增大而增大，函数y=-2x+3的y 值随者x的增大而减小。14.解：直线)=43与 y轴的交点坐标为Q(0,3),点Q与点P关于x轴对 称，P(0,-3)。设所求函数表达式为y=kx+b,点 P0,-3)在该函数图象上，b=-3。点(-2,5)在 函数图象上，.5=-2k-3,解得k=-4,.所求一次函数 的表达式为y=-4x-3.15.解：(1)y=19x-8000。 (2)令y=19x-8000=106000,解得x=6000, 该厂在这个月中生产产品6000件。16.解：(1) S=-2x+12(0<x<4)。(2)点P的坐标为(1,5) (3)点P的坐标为(2,4)。17.解：(1)80 (6,160)(2)由图象知，y=120x-80(x+1),即 y=40x-80(2≤x≤6)。(3)由题意知，快车6h到达 乙地，慢车9h到达乙地，且比快车早出发1h,则 快车到达2h后，慢车到达乙地，补充图象略。18.解： (1)当x≤40时，由图象知，x每增加1，y均增加相 同量k,k=30002000-50。设y=50x+h,则将x= 20 10,y=2000代入表达式得b=1500,y=50x+1500。 当x≥40时，由已知得x=40时，y=3500,则y= 3500+100(x-40),即y=100x-500。(2)由题意得100x- 500=4000,解得x=45。.应从第45天开始进行人工 喷灌。19.解：(1)由图象可知，小王全家在旅游 景点游玩了4h。(2)由图象可知，返程时，时间t 每增加1h,汽车行驶60km,.k=-60。设s=-60t+b, 将点(14,180)的坐标代入表达式，得180=-60x14+ b,b=1020,∴s=-60t+1020;令s=0,得t=17,则返 程途中s与时间t的函数关系是s=-60+1020,小王全 家当天17：00到家。(3)本题答案不唯一，只要合理 即可，但需注意合理性主要体现在：①9：30前必须加 一次油；②若8：30前将油箱加满，则当天在油用完前 的适当时间必须第二次加油；③全程可多次加油，但 加油总量至少为40-15=25(L)。20.解：(1)描点 略。(0,4)，(1,2)，(2,0)(0,6)， 数学 八年级上册（北师大版） (1,4),(2,2),(3,0) (2)y=-2x+2y=-2x+ 李选择方案一最好。由28>200，得>71号。x为 4y=-2x+2n (3)设点Q的坐标为(x,y),依题 意，点Q的坐标满足方程组x, 正整数，x取最小整数72。故小李至少要销售商品 y=-2x+2n, 解得y==2 30 72件。17.解：(1)：函数y=alx-1+b的图象经过 平移的路径长为+，号56。解得n=42。点Q 点-1,3.0，少.a解得2i。2 的坐标为(28,28)。 由(1)知，y=2x-1山-1。函数y=2lx-1-1的图象如图 第五章自我检测 所示。(3)①3(4)①：方程组-2x, L.A2A3.B4C5如4+y2, -4 6/ 2-1有且 x-=3 32 只有一个解，：直线y=2x+t与y=2x-1-1(x≥1)的 x=3, 图象平行，.直线y=2x+t只能与y=2lx-1l-1(x<1)的 7.18.169. +y=8, 10.(1) (2) x+2y=10 y=4 图象相交。将点(1，-1)的坐标代人y=2x+t中，得 X=22. 1=2+t。=-3。∴.当t>-3时，直线y=2x+t在y=2x-1- 31 1(x≥1)图象的上方，且与y=2x-1-1(x<1)的图象 [x=2, (3) (4=2 11.解：设 4 1=4 只有一个交点。当方程阻1有E只有-个 5 a- 25 2 解时，t的取值范围是t>-3。②由题意，得方程组 -2. 3 1 有x个客人、y个盘子，则 解得=30答： p=3x+2, 或 x-7' +3 y=13 解得3， y=3 =9。 直线=号x+2 y=2x-1l-1 略。 12.解：设该厂第一季度生产甲种和乙种机器分 别为x台、y台，则+480， 与函数y=2k-11的图象交点的坐标为号，马)， 解得 l(1+10%)x+(1+20%)=554。 (3,3)。 1x=220,答：略。 13.解：设平路为xkm,坡路为 y=260。 ykm,则 解得6， .x+y=6+3=9(km)。 =3。 答：略。 14.解：(1)设书包的单价为x元，电子 54321 产品的单价为y元，则+452，解得92。 2 ly=4x-8。 =360。 (2)在A商场购买两种商品需花费现金：452×80%= 第17题答图 361.6(元)，361.6<400，∴.可以选择在A商场购买。 在B商场可先花费现金360元购买电子产品，再利用 第六章自我检测 得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花 1.C2.A3.D4.D5.D6.C7.95分， 费现金362元。362<400，.也可以选择在B商场购 95分8.39.<10.5分，1分2分3分4分 买。362>361.6，∴.在A商场购买更省钱。 15.解： 11.812.解：(1)26.526(2)答案不唯一， (1)2-1(2)-2m=4: 2x+y=2n+1, x=2n, 合理即可。例如，因为甲平均每场得分大于乙平均每 y=-(2n-1) 场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好。 (3)由题意，得20+-9)0·解得1山，该方程组为 乙队员每场得分的众数为32分，中位数为29分，高 10+9b=100。 lb=10。 于甲队员得分的众数和中位数，且从第三场比赛开始， 2x+y=11, 乙队员的得分均高于甲队员的得分，所以乙队员表现 它符合(2)中的规律。16.解：(1) x-10y=100。 更好。(3)甲的综合得分为26.5×1+8×1.5+2x(-1)=36.5 由图象知，方案一每件商品的提成为28元，则y的 (分)，乙的综合得分为26x1+10x1.5+3x(-1)=38(分)。 函数表达式为y=28x;方案二每件商品的提成为14 38>36.5,乙队员表现更好。13.解：(1)把八 元，设y2=14x+b,将x=30,y2=1120代人表达式，得 年级10名学生的测试成绩由低到高排列，由中位数的 b=700,则2的函数表达式为y2=14x+700。(2)由 定义得，该组数据的中位数为8h,平均每周锻炼8h (1)知，方案二中每月付给销售人员的底薪为700元。 出现的次数最多，·.众数为8h。把九年级10名学生 (3)联合y=28x与y=14x+700组成方程组，解得 的测试成绩排列，由中位数的定义得，该组数据的中 x=50, 2000>1400,即当x>50时，y>y2,.小 位数为8+9-85(h),平均每周锻炼9h出现的次数最 y=1400。 多，.众数是9h。(2)A同学平均每周锻炼8.2h,第四章自我检测 第四章自我检测 (时间：60分钟总分：100分】 一、选择题（每题3分，共18分） L.在函数y=Vx+3中，自变量x的取值范围是() A.x>-3 B.x<-3 C.x≥-3 D.x≤-3 2.下列四个函数中，y的值随x值的增大而增大的是（ A.y=-3x B.y=-2x+5 C.y=-3x-1 D.y=2x-5 3.函数y=-3x+2的图象一定过点( A.(2,-2) B.(2,-4) C.(3,-5) D.(-3,7) 4.拖拉机开始工作时，油箱中有油24L,如果每小时耗油4L,那么油箱中的剩余油 量y(L)与工作时间x(h)之间的函数表达式为() A.y=24-4x B.y=4x-24 C.y=-4x-24 D.y=24+4x 5.在同一坐标系内，直线l1:y1=(k-2)x+h和2：y2=kx的位置可能是( 典 6定义：已知一次函数k+b(,b为常数，k≠0)，我们称函数y=名是么，6 为常数，k≠0)是一次函数y=kx+b的“相垂函数”，那么一次函数y=2x+4的“相垂函数” 的图象是() B 二、填空题（每题3分，共18分） 7.若一次函数y=kx-3k+9的图象过原点，则一次函数的表达式为 8.若y=kx+b的图象过点(1,2)和(0,3)，则这个函数的表达式为 9.某一次函数的图象经过点(-2,3)，且函数y的值随着自变量x的增大而减小，请 你写出一个符合条件的函数表达式： 153 数学 八年级上册（北师大版） 10.一辆汽车匀速从甲地驶向乙地，随着行驶时间t(h)的不断变化，汽车离甲地的 路程s(km)也在不断变化，如下表，则s与t的关系是 h 0.5 1 1.5 2 4 s/km 37.5 75 112.5 150 300 375 11.某校办工厂现在产值是15万元，如果每增加100元投资，一年可增加250元产 值，那么总产值y(万元)与新增加的投资x(万元)之间的关系式为 _0 12.如图表示一辆汽车油箱里剩余油量y(L)与行驶时间x(h)之间的关系.请回答： (1)汽车行驶前，油箱里有油 L; y/L 40卡 (2)汽车最多能行驶 h; 304 (3)油箱里所剩油y(L)与行驶时间x(h)之间的关系式为 20 10 (要求写出自变量的取值范围)。 02468h 三、解答题（每题8分，共64分） 第12题图 13.在同一直角坐标系内画出函数y=3x-2和y=-2x+3的图象，回答下列问题： (1)分别求出两函数图象与x轴、y轴交点的坐标。 (2)当x值逐渐增大时，两函数的函数值y有什么变化？ 14已知一次函数的图象过点(-2,5)，并且与y轴交于点P,直线)=乃+3与y轴交 于点Q,点Q恰好与点P关于x轴对称，求这个一次函数的表达式。 15.某纺织厂生产的产品，原来每件出厂价为80元，成本为60元。由于在生产过程 中平均每生产一件产品有0.5m3的污水排出，现在为了保护环境，需对污水净化处理后 再排出。已知每处理13污水的费用为2元，且每月排污设备损耗为8000元。设现在 该厂每月生产产品x件，每月纯利润y元。 (1)求出y与x之间的关系式（纯利润=总收入-总支出）。 (2)当y=106000时，求该厂在这个月中生产产品的件数。 154 第四章自我检测 16.如图，点A的坐标为(4,0)，点P在第一象限且在直线y=-x+6上。 (1)设点P的坐标为(x,y),写出△OPA的面积S与x之间的关系式（其中点P的 横坐标在点O与点A之间)。 (2)当S=10时，求点P的坐标。 (3)当PO=PA时，求出点P的坐标。 第16题图 17.甲、乙两地相距720k,一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶 1h后，快车才开始行驶，已知快车的速度是120km/h,从快车开始行驶时计时，设 时间为x(h),两车之间的距离为y(km),图中的折线是y与x的函数关系的部分图象。 根据图象解答下列问题： (1)慢车的速度是 km/h,点B的坐标是 (2)求线段AB所表示的y与x之间的关系式，并写出自变量的取值范围。 (3)试在图中补全点B以后的图象。 y/km -2B 80 024681012xh 第17题图 18.某块试验田里的农作物每天需水量y(kg)与生长时间x（天)之间的函数关系如 折线图所示，这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000kg,3000kg,在第 40天后每天的需水量比前一天增加100kg。 (1)分别求出x≤40和x≥40时，y与x之间的关系式。 (2)如果这些农作物每天的需水量等于或大于4000kg时就要进行人工喷灌，那么应 从第几天开始进行人工喷灌？ Ay/kg 3000---- 2000 0103040x/天 第18题图 5⑤厨 数学 八年级上册（北师大版） 19.五一假期的某一天，小王全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180km的 某著名旅游景点游玩。该小汽车离家的距离s(km)与时间t(h)的关系可用图中的折线 表示。根据图象提供的有关信息，解答下列各题： (1)小王全家在旅游景点游玩了多少小时？ (2)求出返程途中s与时间t之间的关系式，并求出小王全家到家的时间。 (3)若出发时汽车油箱中存油15L,该汽车的油箱总容量为35L,汽车每行驶1km 耗油)1。请你就“何时加油和加油量”给小王全家提出一条合理化建议。（加油用时 忽略不计) As/km 180 120 0 810 1415 t/h 第19题图 20.在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平 移1个单位长度， (1)实验操作： 在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，按题设的要求平移1次后、2次后、3次 后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中。 点P从点O出发平移次数 可能到达的点的坐标 1次 (0,2),(1,0) 2次 3次 01 第20题图 (2)观察发现： 经过第1次平移后，点P可能到达的点在某个一次函数的图象上，则这个一次函数 的表达式为 ；经过第2次平移后，点P可能到达的点在某个一次函数的 图象上，则这个一次函数的表达式为 ；由此我们知道，经过第n次平移 后，点P可能到达的点在某个一次函数的图象上，则这个一次函数的表达式为 (3)探索运用： 点P从点O出发经过次平移后，到达直线y=x上的点Q,且平移的路径长(P向上 平移的单位长与向右平移的单位长之和)为56，求点Q的坐标。 156