第二章 实数 自我检测-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

第二章自我检测 第二章自我检测 (时间：60分钟总分：100分) 一、选择题（每题2分，共20分） 1.实数可分为() A.正数和负数 B.整数和分数 C.分数和小数 D.有理数与无理数 2.4的算术平方根是() A分 B分 c号 D.IG 3实数}，，言中，分数的个数是() 6 A.0 B.1 C.2 D.3 4.若a2=16,b1=3,则a+b等于(） A.-7 B.±7 C.±1 D.±7或±1 5.若a=b2,则下列等式中成立的是() A.lal=lbl B.a-b3 C.a=b D.Va=Vb 6.若x,y为实数，且V3x-1+V1-3x+y=6,则xy的值为() A.0 B. C.2 D.不能确定 7.m是一个自然数的平方根，在该自然数后面的一个自然数的平方根是() A.±Vm+1 B.±Vm+1 C.±Vm+1 D.m+1 8.下列各式正确的是() A.V42+72=4+7=13 B.V(-9)x(-25)=V(-9)×V-25=15 c.v-v6 m语要 9.下列各题中，计算正确的是（) A.6V5x6V2=6V10 B.6V5x6V2=6V7 cV×Vv? D告仍×v24 10.下列运算结果不正确的是() A.3V6=V2B.15=V5 C.V0.76=2 D.9V15=V3 6V32 V122 V0.19 27V515 145 数学 八年级上册（北师大版） 二、填空题（第11一17题各2分，第18题6分，共20分） 1.在实数-号，V5,2.236,-V216,2-m,023,1-V2中，是无理数的有 12.9的算术平方根是 ；0.49的平方根是 13.125的立方根是 ;-33的立方根是 8 14.比较大小：7 (填“>”“<”或“=”)V50。 15.已知la-2+Vb-3=0,则a2-2b= 16.如果一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是 17.计算：(2V3+3)2-V27= 18.计算： (1)(V2+1)(V2-1)= (2)(V3+V2)(V3-V2)= (3)(2+V3)(2-V3)= ;(4)(V5+2)(V5-2)= (5)通过以上计算，观察规律，写出用n(n为正整数)表示上面规律的等式： 三、解答题（第19、20题各6分，第21题4分，第22题24分，共40分） 19.把下列各数写入相应的集合内： ,,0.V4,号-1732.V,2V7,051252.16r4,2号. 0.1040040004…(相邻两个4之间0的个数逐次加1)。 分数集合{ …} 负数集合{ …}; 无理数集合{ …}o 20.求下列各式的值： (1)V0.36: (2)-V169; (3)V225; (4)V-8+V8; (5)V125; (6) 人33 伞 第二章自我检测 21.把下列各数按照由小到大的顺序，用“<”连接起来。 4,-3,-52144,0.06,V2,m,-45V2。 22.计算： (02+-1+V于-5： (2)4V6-4V+3V8j2V7: 3)V312号×1V号： 5)V24×1V1号×-21V3: (6)[V50-(V32+V18)]÷(-V8)。 ④ 数学 八年级上册（北师大版） 四、解答题（第23题7分，第24题13分，共20分） 23.如果一个正数m的两个平方根分别是2a-3和a-9,n+2的算术平方根是1。 (1)求m和n的值。 (2)求m-2n的立方根。 24.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三 角形”。 【应用探究】 (1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=V3,AC=2。求证：△ABC是“奇异三角形”。 (2)已知等腰三角形ABC是“奇异三角形”，AB=AC=20,求底边BC的长。（结果保 留根号) 第24题图 148数学 八年级上册（北师大版） 是10，.可设3x+2=26b+10(b为正整数)，∴.2=26b+ 10-3x1=266-26。当b=1时，x2=266-26=26-26=0;当 b=2时，2=26b-26=26×2-26=26。·.0≤0≤25,2为正 整数，2=0.3x+除以26的余数是3，.可设 3x1+x3=26c+3,.3=26c+3-3x1=26c-33。当c=1时，3= 26c-33=26-33=-7:当c=2时，=26c-33=52-33=19; 当c=3时，x=26c-33=78-33=45。.0≤x≤25，x为正 整数，心=19.2+24被26整除的商为2,2x+ 24=26×2,即3+x4=26。x4=7。x1=12,2=0,3=19, 4=7。,2,,x4对应的字母分别为m,a,t,h, 这个英文单词是math。 3.解：：姓唐的首拼声母对应的英文字母为T, 排在26个字母中的第20位，所以x=20。数列{a}的 前20项为2,3,4,6,8,32,10,12,14,16,18， 20,22,24,26,3,28,30,32,34.3,32,3 共3项，2,4,6,8,10，…，34共17项，N=3+ 34342446+434=345。架-028085。六密码为 289855。 4.解：(1)明文YUAN,由表格知字母Y,U, A,N分别对应数字67，山，25。号2,7+ 17=20,1+1+8=12,25+2+17=26,.明文YUAN对 3 3 应的密文数字为2,20,12,26，对应的密文是WZSM。 (2)第1次加密结果是12，第2次加密结果为4，第 3次加密结果为19，第4次加密结果为24，第5次加 密结果为8，第6次加密结果为11，第7次加密的结 果又是12，即按11→12→4→19→24→8→11→12…的 规则加密。故加密结果6次一个循环。100=6x16+4, .第100次加密结果为24，即明文A经过100次加密 的密文是B。(3)存在。理由：我们逆向思考，哪些 字母经100次加密不能得到本身呢？显然第(2)问中 的6个字母对应的数字都不行：11,12,4,19,24， 8。第(2)问得到的经验还有：多次加密数据是循环 的。因此，这26个数是分布在几个不同的循环里。通 过分析数字126，按加密规则可分为5类：第一类： 1→18→6→2→9→3→1；第二类：4→19→248→ 11→12→4：第三类：7→20→15→5→10→21→7；第 四类：17→14→13→22→25→26→17；第五类：16→ 23一→16。故字母H和V加密100次，得到的密文仍然 是本身。 第一章自我检测 1.D2.C3.A4.B5.B6.B7.B8.C 9.A10.C11.1512.9.613.1614.515.40 或36016.14417.7618.419.解：AD+BD2= 122+52=169=AB,.△ABD为直角三角形，且∠ADC= 90°。由勾股定理得DC=9,BC=14,∴.S△4c=84。 20.解：由折叠知，Rt△ADE≌Rt△AFE,.∴AF=AD= 10cm,EF=DE。设CE=xcm,则DE=EF=CD-CE=8-x. 在Rt△ABF中由勾股定理得AB+BF=AF2,即82+BF= 102,∴.BF=6cm,∴.CF=BC-BF=10-6=4(cm)。在 Rt△ECF中由勾股定理可得EF=EC2+CF2,即(8-x)2=x2+ 1 42,∴.64-16+x2416,.∴.3。∴.EF-5cm。21.解：设绳 索长为x尺，根据题意，得2-(-3)=8。解得=73。 69 答：绳索长为72尺。22.解：(1)AC1BD,· 6 ∠AOB=∠COB=∠AOD=∠COD=90°。.∴.△ABO △COB,△COD,△AOD都是直角三角形。.AB= A0+B02,BC=B0+C0,CD2=C0+D02,AD2=A0P+ D0。.AO=2,B0=3,C0=4,D0=5,.∴AB2=13,BC2= 25,CD2=41,AD2=29。(2)由(1)得，BC+AD= (BO2+CO)+(AO+DO)=AB+CD2,BC2+ADP=AB2+ CD。AB=6,CD=10,.BC+AD=6+10=136。(3) 结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等。 23.解：将水塔抽象为一个圆柱，其平面 展开图如图所示。由题意，知从水塔底 部沿水塔侧面绕行一周半到达水塔顶部. 其登塔的最短路径为AB+CD。由勾股定 理，得AB=号×18+5-169，cD= 第23题答图 号×18+25-4225，AB=13,CD=-65。AB+CD 13+6.5=19.5(m)。答：登梯长至少为19.5m。24. 解：由题意，可知∠ABE=∠DBE=90°，DE=150m, BE=120m。在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE= BD+BE,即1502=BD+120。.BD2=8100。BD>0, BD=90。∴AB=AD-BD=250-90=160(m）。在 Rt△ABE中，AE=AB+BE,即AE=160+1202。∴AE= 40000。AE>0,.AE=200(m)。∴AE+DE=200+150= 350(m)。答：两人所走的路程和为350m。(2)在 △ADE中，DE+A㎡=150+200=62500，AD=250= 62500,DE+AE=AD。.△ADE是直角三角形。 ∠AED=90°，即DE⊥AC于点E。∴.面馆D到公路AC 的距离为DE的长。答：面馆D到公路AC的距离为 150mo 第二章自我检测 1.D2.B3.B4.D5.A6.C7.B8.C 9.D10.D11.V3,2-π，1-V212.3 4071B5-24.<15.-2160或17.21+ 9V318.(1)1(2)1(3)1(4)1(5) V+Vn)Vam-V)Hl19分数架合- -1732.0512512,-√6+，号.… 负数集合 圣，-1732,8，-√6+，…无理数集合 V5,V4,号，2V2,0.1040040004…(相邻 两个4之间0的个数逐次加1)，…20.(1)0.6 (2)-13(3)15(4)-2+2V2(5)5(6) -子2L解：-5号<4k-3<-V2006< 1.414<V2<m<422.(1)-5(2)2V3+2(3) Y(4)号V0(5)-8V5(6)123. 10 解：(1)一个正数m的两个平方根分别是2a-3和 a-9,∴2a-3+a-9=0。解得a=4.2a-3=5。∴m=25。 n+2的算术平方根是1，n+2=1。∴n=-1。(2)由 (1)得m=25,n=-1,∴m-2n=25+2=27。,∴.m-2n的立方 根为3.24.(1)证明：BD为三角形ABC的边AC 上的中线，则CD=?AC=1。在Rt△DBC中，∠C= 90°，BC=V3,由勾股定理，得BD=VBC4CD丽= V(V3)2+12=2。又AC=2,.AC=BD。.△ABC是 “奇异三角形”。(2)解：等腰三角形ABC是“奇 异三角形”，∴△ABC边上的中线有两种情况，即在 AC或BC边上。如图1，当BD为腰上的中线时，过 点B作BE⊥AD于点E,由“奇异三角形”定义，得 BD=AC。MB=AG=-20,AB=-BD=20。DE=分AD 子AC=5,CE=10+5=5。在R△BDE巾，由勾股定 理，得BE=BD-DE=20-5=375。在Rt△BCE中， BC=VBE+CE区=V375+225=V600=10V6。如图 2,当AD为底边上的中线时，由“奇异三角形”定 义，得AD=BC。AB=AC,CD=BD,ADLBC,AD= 2BD。在Rt△ABD中，设BD=x,.AD=2x。由勾股定 理，得AB2=AD+BD,即x2+(2x)P=20。又x>0,. 解得x=V80=4V5。∴.BC=2=8V5。综上所述，底 边BC的长为10V6或8V5。 图1 图2 第24题答图 第三章自我检测 1.D2.A3.B4.B5.A6.B7.B8.B 9.A10.D11.(10,9)7排13号12.34 513.a<114.二或四15.(5,0)或(-5,0) 16.北偏东40°17.518.(4,0)或(0,4)或 (4,4)19.解：方法一：用有序实数对(a,b)表 示。如以食品柜为原点，水平方向为x轴，竖直方向 为y轴，建立直角坐标系，则钟表柜(2,0)，文具柜 (2,1),五金柜(1,2)。方法二：用方向和距离表示， 略。20.解：(1)A(-5,6),B(-5,1),C(-2,1)。 (2)图略，关于y轴对称。(3)图略，关于x轴对 称。(4)均互为相反数。21.(1)图略。(2)11。 22.解：提示：以BC中点为原点，以BC所在的直 线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立直角 坐标系，则A(0,4),B(-3,0),C(3,0)。23 (1)D(4,2),8。(2)存在。P(0,4)或(0，-4)。 24.解：过点P作PD1x轴，垂足为点D。:A(-V3, 0),B(0,1),.OA=V3,OB=1,则由勾股定理，得 1 参考答案与提示 AB=VOA+OB=2。:△ABC为等边三角形，CA⊥x 轴，.△ABC的高等于OA=V3,BC=AC=AB=2。 :5a=7x2xV了-V5。Saw=5 tS-Sew ixV3xl+ix(l)-a(V33)-V3-V3a. 2 2Sam=SAa,2xY3+号V5a=V3。a=V3。 2 .P(3,V3)。 第四章自我检测 1.C2.D3.B4.A5.C6.B7.y=3x8. y=-x+39.y=-x+110.s=75t11.y=15+2.5x12. (1)40(2)8(3)y=40-5x(0≤x≤8)13.解： (1)图象略。直线y=3x-2与x轴、y轴交点的坐标分 别为号，0，(0，-2：直线)=-2+3与轴、y轴 交点的坐标分别为（弓，0，(0,3）。(2)函数 3x-2的y值随着x的增大而增大，函数y=-2x+3的y 值随者x的增大而减小。14.解：直线)=43与 y轴的交点坐标为Q(0,3),点Q与点P关于x轴对 称，P(0,-3)。设所求函数表达式为y=kx+b,点 P0,-3)在该函数图象上，b=-3。点(-2,5)在 函数图象上，.5=-2k-3,解得k=-4,.所求一次函数 的表达式为y=-4x-3.15.解：(1)y=19x-8000。 (2)令y=19x-8000=106000,解得x=6000, 该厂在这个月中生产产品6000件。16.解：(1) S=-2x+12(0<x<4)。(2)点P的坐标为(1,5) (3)点P的坐标为(2,4)。17.解：(1)80 (6,160)(2)由图象知，y=120x-80(x+1),即 y=40x-80(2≤x≤6)。(3)由题意知，快车6h到达 乙地，慢车9h到达乙地，且比快车早出发1h,则 快车到达2h后，慢车到达乙地，补充图象略。18.解： (1)当x≤40时，由图象知，x每增加1，y均增加相 同量k,k=30002000-50。设y=50x+h,则将x= 20 10,y=2000代入表达式得b=1500,y=50x+1500。 当x≥40时，由已知得x=40时，y=3500,则y= 3500+100(x-40),即y=100x-500。(2)由题意得100x- 500=4000,解得x=45。.应从第45天开始进行人工 喷灌。19.解：(1)由图象可知，小王全家在旅游 景点游玩了4h。(2)由图象可知，返程时，时间t 每增加1h,汽车行驶60km,.k=-60。设s=-60t+b, 将点(14,180)的坐标代入表达式，得180=-60x14+ b,b=1020,∴s=-60t+1020;令s=0,得t=17,则返 程途中s与时间t的函数关系是s=-60+1020,小王全 家当天17：00到家。(3)本题答案不唯一，只要合理 即可，但需注意合理性主要体现在：①9：30前必须加 一次油；②若8：30前将油箱加满，则当天在油用完前 的适当时间必须第二次加油；③全程可多次加油，但 加油总量至少为40-15=25(L)。20.解：(1)描点 略。(0,4)，(1,2)，(2,0)(0,6)，