第二章 1 认识实数-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 八年级上册（北师大版） 第二章实 数 知识网络 分类 按定义分类 实数概念 有理数 生活中产生 无理数 不可表示数 按正负分类 开立方 相反数 立方根 方 竅 实数性质 绝对值 开平方 平方根 倒数 互逆运算 平方根 实数表示 实数与数轴上的点一一对应 算术平方根 运算法则 实数的混合运算 乘方 实数运算 运算律 实数的大小比较 用法则 用数轴 估算 借助计算器 积的算术平方根 性质 非负性 商的算术平方根 入 最简二次根式 二次根式 乘法法则侧 运算法则 除法法则 二次根式的运算（加、减、乘、除混合运算） 实 数 第二章 认识实数（第1课时） 自主导学Q、典例精析 例题如图，网格图中小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个 顶点都在格点上，请找出四条边中长度不是有理数的线段。 【分析】根据勾股定理求出各边的平方值，再根据有理数的定义判断即可。 【解答】因为四边形ABCD的四个顶点都在格点上，所以AB,BC,AD 都可以看成是某个直角三角形的斜边。 例题图 由勾股定理，得AB=32+42=25,所以AB=5。所以AB的长度是有理数。 由勾股定理，得BC心=12+32=10。因为32<10<42，所以3<BC<4。所以没有一个有理数的平 方为10，所以BC的长度不是有理数。因为CD=3,所以CD的长度是有理数。 由勾股定理，得AD2=32+52=34。因为52<34<62，所以5<AD<6。所以没有一个有理数的 平方为34，所以AD的长度不是有理数。综上所述，四条边中长度不是有理数的线段是BC 和AD: 【点拨】此题考查判断一条线段的长度是不是有理数。对于不能直接求出长度的线段， 常用的方法是以此线段为斜边构造直角三角形，并运用勾股定理求出此线段长的平方，然后 看能不能找到一个有理数，使这个有理数的平方与之相等，如果能找到这样的有理数，则说 明此线段的长是有理数，否则就不是有理数。 基础巩固飞达标闯关 1.长、宽分别是3,2的长方形，它的对角线长 整数， 分数， 有理数。（均填“是”或“不是”） 2.在等式x2=5中，下列说法正确的是（) A.x可能是整数B.x可能是分数C.x可能是有理数D.x不是有理数 3.面积为40的正方形的边长() A.是整数 B.是分数 C.是有理数 D.不是有理数 能力提升综合拓展 4.如图，网格中每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点O。请通过计算说明边长AB,BC,CD,AD和对角线AC,BD 的长度哪些是有理数，哪些不是有理数。 第4题图 13 数学 八年级上册（北师大版） 5.如图，以直角三角形的三条边为边长分别作正方形，依据图中所给条件，回答下列问题： (1)正方形B的面积是多少？ (2)设正方形B的边长为b,则b满足什么条件？b是有理数吗？ (3)估计b的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计。 169 第5题图 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,AC=4。 (1)△ABC的边BC的长是整数吗？如果不是整数，那么它的整数部分是多少？请说明 理由。 (2)请你借助计算器仿照教材中求面积为2的正方形边长的方法，估计BC边的长大约 是多少。（精确到0.00001） Q■ 第6题图 7.《清秘藏》是明代所著的工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发 展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类。现有一张长方形绣布，长、宽之比为 4:3,面积为588cm。 (1)这块绣布的长和宽是有理数吗？如果是有理数，请求出它的周长；如果不是，请说 明理由。 (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为340cm的完整圆形绣布用来绣花鸟图， 她能够裁出来吗？如果能够裁出来，那么这个完整的圆形绣布的半径是有理数吗？请说明 理由。 中考链接©真题演练 8.(2024深圳)如图，A,B,C均为正方形，若A的面积为10， C的面积为1，则B的边长可以是 (写出一个即可)。 9.(2024·广东)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方 形的边长是() 第8题图 A.2 B.5 C.10 D.20 14 实 数 第二章 认识实数（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 若一个正实数x满足x2=3,在数轴上画出实数x的对应点A。 【分析】若要在数轴上找到表示实数x的对应点，需在数轴上构造其中一条边长为x的 直角三角形。为此找到两个正整数，使它们的平方差等于3,22-12=3，则由勾股定理知，要 构造一个斜边和其中一条直角边长分别为2,1的直角三角形，那么另一条直角边长就是x。 【解答】如图，在数轴上取表示1的点B,过点B作射线 BM⊥OB于点B,再以点O为圆心，以2个单位长度为半径 画弧交射线BM于点C,再以点O为圆心，以BC长为半径画 弧交射线OB于点A,则OA的长度就是x,此时点A对应的 -2-10B1A23 例题答图 实数就是x。 【点拨】此题考查在数轴上表示无理数的点的画法，其实质是考查灵活运用勾股定理和 数形结合的思想解决实际问题的能力。数轴上的点和实数是一一对应的，即每一个实数都可 以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。在数轴上画表示类 似于例题中无理数的点时，通常是在数轴上构造直角三角形找到边长等于这个无理数绝对值 的线段，然后在数轴上画出以原点O为线段起点的对应线段。 基础巩固飞达标闯关 1.下列各数中：2323232，号，314，器，，010101001…（两个1之间 依次加一个0)，有理数有 无理数有 2.下列说法正确的是() A.无理数是无限不循环小数 B.有理数是有限小数 C.正数、0、负数统称为有理数 D.无限小数是无理数 3.π-3.14的值是(） A.0 B.负数 C.无理数 D.有理数 4.数轴上的点A,B,C,D如图所示，若一个正实数a=6, A B C D 那么数轴上表示实数a的点所在位置在（) 00.511.522.53 第4题图 A.点A与点B之间 B.点A与点C之间 C.点B与点C之间 D.点C与点D之间 15 口数学 八年级上册（北师大版） 5.已知实数：号0.3，m,0,-5,0.72,3.14,0303030003…(每相邻两个3之 间0的个数逐次增加1)。请根据下面要求解答问题： 有理数集合：{ …} 无理数集合：{ …}; 负实数集合：{ …} 实数由小到大排列： 能力提升睡综合拓展 6.请在5×5的正方形网格中作出满足下列条件的直角三角形。 (1)三条边的长都是有理数。 (2)两条边的长是有理数，另一条边的长是无理数。 (3)一条边的长是有理数，另两条边的长是无理数。 第6题图 (4)三条边的长是无理数。 7.聪聪在学完实数后，对实数进行分类时，发现实数、整数、正数和无理数有如图所示 的关系，请你分别写出图中横线上序号所对应的数。（各写出一个数即可） ① 实数 正数 ① ② ② ③ ③ ④ 整数 无理数 ⑤ ④ ⑤ 第7题图 ⑥ 8.在数轴上作出满足下列条件的实数x所对应的点： (1)一个负实数x2=2; (2)实数x2=10。 6数学 八年级上册（北师大版） 20 第1题答图 第2题答图 第3题答图 2.解：如图，将长方体包装盒侧面沿棱AB展开， 得到如图所示的长方形AABB,连接AB,由两点之 间线段最短，AB,长就是所用麻绳的最短长度。在 Rt△AAB中，AA=4×1=4(dm),AB=3dm。由勾股 定理，得AB2=AA2+AB2=4+32=25。AB=5dm。答： 所用麻绳的最短长度为5dm。3.解：如图，三级台 阶平面展开图为长方形，则BC=20dm,AC=(2+3)x3= 15(dm),则蚂蚁沿台阶面爬行到点B处的最短路程 是该长方形对角线AB的长。在Rt△ACB中，由勾股 定理，得AB2=AC+BC=20+152=252。.AB=25dm 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路程是25dm。 4.解：·.·圆柱形食品盒高10cm、底面圆周长为 32cm,且蚂蚁从盒外表面距下底面3cm的C处，爬 行到盒内表面对侧中点B处，.相当于蚂蚁从一个高为 (7+5)cm、底面圆周长为32cm的圆柱形食品盒的下 底面上的点C处，爬行到对侧上底面上的点B处。将 转化得到的圆柱体侧面展开，得到一个长为32cm 宽为12cm的长方形，则这长方形一半，即长为 16cm、宽为12cm的长方形的对角线就是蚂蚁吃到食 物需要爬行的最短路程。由勾股定理，得16+122= 400=20,.蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为20cm。 5.解：蚂蚁爬行的路线有3种。①当蚂蚁爬行经过 长方体的右侧表面与前面 这两个侧面时，我们将这 两个侧面展开所得到的平 面图形如图1所示。长 方体的宽为10，高为20， 10 点B离点C的距离是5， 图1 .:BD=CD+BC=10+5=15 0 AD=20。在Rt△ABD中， 10 由勾股定理，可得AB=BD4 AD2=152+20=625。②当蚂 20 蚁爬行经过长方体的右侧 图2 表面与上底面这两个侧面 时，我们将这两个侧面展 开所得到的平面图形如图 2所示，则BE=CE+BC=20+ 20 D10 5=25,AE=10。在Rt△ABE 图3 中，由勾股定理，可得 第5题答图 AB”=BE+AE-25+10=725。③当蚂蚁爬行经过长方体 的上表面与后面这两个侧面时，我们将这两个侧面展 开所得到的平面图形如图3所示，则BC=5,AC=CD+ AD=20+10=30。在Rt△ABC中，由勾股定理，可得 AB2=BC+AC心=52+30=925。.625<725<925，AB>0, 蚂蚁爬行的路线经过长方体的右侧表面与前面这两个 侧面时，蚂蚁爬行的路程最短，最短路程为25。 第二章实数 1认识实数（第1课时） 1.不是不是不是2.D3.D4.解：：AB2 32+42=25,AB=5;BC=32+32=18,CD2=2+32=13, AD=22+4=20;AC=7,BD=5。AB,AC,BD的长度 是有理数，BC,CD,AD的长度不是有理数。5. (1)105。(2)b2=105,不是。(3)10.2，验证 略。6.解：(1)BC的长不是整数，BC边的长的整 数部分是2。理由：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3, AC=4,由勾股定理，可得BC=AC2-AB=16-9=7.4< BC<9,2<BC<3。.BC的长不是整数，BC边的长的 整数部分是2。(2)用无限逼近的方法可得BC≈ 2.64575。(无限逼近的过程略)7.解：(1)是有 理数。设绣布的长为4xcm,宽为3xcm,根据题意， 得4x3x=588,即12x2=588。x2=49。x>0,∴x=7。 4x=28,3x=21。.绣布的长为28cm,宽为21cm。. 这块绣布的长和宽都是有理数。.2x(28+21)=98(cm)。 答：这块绣布的周长为98cm。(2)能够裁出来完整 的圆形绣布。理由：设完整的圆形绣布的半径为rcm, 根据题意，得m-=340。-340≈108.225.100<< T 121,10<<11.108.16<2<110.25,.10.4<<10.5。 2<21,.能够裁出来完整的圆形绣布。T是无限不 循环小数，r2-340÷=108.22536一定是无限不循环 小数。了不是分数，也不是整数，r不是有理数。 8.2(答案不唯一)9.B 1认识实数（第2课时） 12.22,-号3.14，器 -T, 0.1010010001..(两个1之间依次加一个0)2.A 4.C5.解：1)有理数集合：{15， 0,-5,0.728,3.14…}(2)无理数集合：{π， 0.3030030003·(每相邻两个3之间0的个数逐次 增加)…(3)负实数集合：【品-5… (4)实数由小到大排列：-5，号，0,03， 0.3030030003·(每相邻两个3之间0的个数逐次 增加1)，0.728,3.14，T…6.略。7.解：①-1 2 ②2③3④2.02402400024…（每相邻两个24 之间0的个数逐次增加1)⑤-7⑥π8.略。 2平方根与立方根（第1课时） 1.D2D3C4D5.I)(2)50 (3)0(405(5)号(6)名6() 13 (2)10(3)20 4 (4)5(5)6(6)97.解： :直角三角形①②③④⑤的斜边依次为V2,V2, 78