精品解析：江西省南昌市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

2025年高三年级九月测试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 设复数z满足，则（    ） A. B. 2 C. D. 1 2. 已知，，，则（    ） A. B. 4 C. 1 D. 3. 已知函数，则下列选项中是的一个单调递增区间的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（    ） A. B. C. D. 5. 已知平面，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 6. 已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（ ） A. 4 B. 3 C. D. 7. 已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二．如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，而且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名依次是（ ） A. 丙、甲、丁、乙 B. 丙、甲、乙、丁 C. 甲、乙、丙、丁 D. 甲、乙、丁、丙 8. ，已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 10. 某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，从某地区随机抽取了500名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50），[50，60），……，[90，100]分组整理得知如下方频率分布直方图，记该样本的平均数为，三个四分位数分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. a，b，c成等差数列 D. 11. 已知函数，则以下说法正确的是（ ） A. 有对称中心 B. 有对称轴 C. 的极小值为 D. 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则＝______． 13. 如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为______． 14. 如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则______． 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 16. 已知正项数列满足 （1）若是等比数列，求的通项公式； （2）若，求数列的前2n项的和. 17. 中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究小组能解决的概率均为0.4（假设各个阶段的每个问题均相互独立）． （1）求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率； （2）在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望； （3）第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5（单位：亿元）费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y（单位：亿元）．求随机变量Y的期望值． 18. 已知f（x）＝（a＞0）． （1）讨论f（x）的单调区间； （2）若a＞2，求证：f（x）有且仅有三个不同的零点． 19. 如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形． （1）若C是OQ的中点． （i）求六棱锥的体积； （ii）求二面角的余弦值； （2）设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三年级九月测试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 设复数z满足，则（    ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法化简，再根据复数模的定义求解. 【详解】因为，所以， 故选：A. 2. 已知，，，则（    ） A. B. 4 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示和向量的数量积进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 所以. 故选：B. 3. 已知函数，则下列选项中是的一个单调递增区间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再令求出的单调递增区间，再赋值即可判断. 【详解】， 令，则， 则的单调递增区间为， 当时，的一个单调递增区间是，故B选项正确； 当时，的一个单调递增区间是， 当时，的一个单调递增区间是，故A，C，D选项错误. 故选：B 4. 已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合关系，求出，由此可求. 【详解】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 5. 已知平面，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的性质、平行性的性质、面面平行的性质逐一判断即可. 【详解】A：当时，也可以满足，，因此本选项结论不正确； B：当时，直线可以是异面直线，因此本选项结论不正确； C：设过直线的平面与平面相交于直线， 根据直线与平面平行的性质定理可知，因为，且， 所以，而，所以，因此本选项结论正确； D：当时，可以成立，所以本选项结论不正确， 故选：C 6. 已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的前n项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项. 【详解】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列. 所以，令，得. 所以数列是公差为3，首项为1的等差数列. 故，即. 所以. 故选：C. 7. 已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二．如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，而且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名依次是（ ） A. 丙、甲、丁、乙 B. 丙、甲、乙、丁 C. 甲、乙、丙、丁 D. 甲、乙、丁、丙 【答案】A 【解析】 【分析】根据三人的回答中各有一个正确，分别对甲的回答中正确说法进行分类讨论，得出相应矛盾即可判断出正确结论. 【详解】若甲说的“丙第一”正确，则乙的回答中只能“丁第三”正确，丙的回答中“甲第二”正确， 此时获得第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙； 若甲说的“乙第二”正确，又没有并列名次，则乙的回答中只能“丁第三”正确，丙的回答中“甲第二”正确， 此时第二名出现甲、乙并列，与题设矛盾， 因此第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙. 故选：A 8. ，已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数得到函数的单调性后可得其极值，再利用充要条件定义分类讨论即可得. 【详解】由题意，， 由或；由， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 则函数的极大值为，极小值为， 当，解得或， 当时，，而，“”的充要条件是“” 当时，，不合题意， 所以的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. |OP|的最大值为 B. |OP|的最小值为 C. |MN|最大值为6 D. |MN|最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值. 【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内， 所以，故A正确；所以，故B正确； 设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确； 由于时,所以,故D不正确； 故选：ABC 10. 某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，从某地区随机抽取了500名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50），[50，60），……，[90，100]分组整理得知如下方频率分布直方图，记该样本的平均数为，三个四分位数分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. a，b，c成等差数列 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平均数的定义、三个四分位数的定义，结合频率直方图进行求解即可. 【详解】， 设第一四分位数为，则有； 设第二四分位数为，则有； 设第三四分位数为，则有， 因为， 所以； A：因为，所以本选项不正确； B：因为，所以本选项正确； C：因为， 所以a，b，c不成等差数列，因此本选项不正确； D：显然，因此本选项正确， 故选：BD 11. 已知函数，则以下说法正确的是（ ） A. 有对称中心 B. 有对称轴 C. 的极小值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB，通过判断是否为常数，以及是否可以恒等于可判断对称性；对于C，由题可得，然后由不等式性质可得，然后由对称性可得极小值；对于D，由对称性可得，然后注意到，，结合在上单调递减可判断选项正误. 【详解】对于AB，由题，. 注意到为与有关的变量， 而当时，， 则无对称中心，有对称轴，故A错误，B正确； 对于C，，由AB分析，只分析其在上的单调性， 当时，，又， 则，当且仅当取等号， 则在上单调递增，由对称性可得在上单调递减， 则，故C正确； 对于D，，由B分析可知，， 时，，， 结合在上单调递减，则，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则＝______． 【答案】12 【解析】 【分析】由二项式展开式通项求解. 【详解】二项式的展开式通项为， 当时，， 所以， 故答案为：12. 13. 如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出过右焦点垂直于渐近线的直线方程为，与垂直的渐近线联立得到点的坐标，再根据得到点的坐标，利用点在另一条渐近线上得到，进而求出离心率. 【详解】已知直线，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 又直线过点，可得直线的方程为， 联立直线与直线的方程， 解得，则，所以点的坐标为. 在直线的方程中，令，可得， 所以点的坐标为. 因为，所以为的中点， 设点的坐标为， 可得，解得. 因为点在另一条渐近线上， 所以将代入可得：. 化简可得，即， 又因为，所以，则. 所以. 故答案为：. 14. 如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意设，可证，得到，继而得到，由余弦定理可求，再利用正弦定理可得，然后求即可． 【详解】设，则， 又为正三角形，所以， 则，又， 所以，则， 故，则，即，所以，即， 所以， ，即， 在中，，即， 解得，又，则为锐角， 所以． 故答案为：． 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4． （1）求抛物线C的标准方程； （2）若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)依题意分析当直线l⊥y轴时，用表示A、B两点坐标，根据,可求得的值,进而得到抛物线C的标准方程. (2)联立直线与抛物线方程，可得到两点坐标关系，进而求得△ABO的面积. 【小问1详解】 由题可知：. 当直线l⊥y轴时，可得，.所以. 因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为． 【小问2详解】 由（１）知：，所以直线. 联立直线l与抛物线C方程，得， 设点A，B,则，， 所以. 所以△ABO的面积． 16. 已知正项数列满足 （1）若是等比数列，求的通项公式； （2）若，求数列的前2n项的和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则，，得， 因为，则，，两式相乘得，， 则，因，则得，，， 故. 【小问2详解】 因为，，则， 且，两式相除，得，即， 所以数列的奇数项和偶数项均是以4为公比的等比数列， 奇数项：首项为，公比为，则其前项奇数项的和为， 偶数项：首项为，公比为，则其前项偶数项的和为， 故数列的前2n项的和为. 17. 中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究小组能解决的概率均为0.4（假设各个阶段的每个问题均相互独立）． （1）求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率； （2）在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望； （3）第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5（单位：亿元）费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y（单位：亿元）．求随机变量Y的期望值． 【答案】（1）0.5 （2）分布列： X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 数学期望为1.2 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据该攻关小组在第一阶段解决2或3个问题求概率. （2）明确的分布类型为二项分布，可求其分布列和期望. （3）根据变量之间的关系求随机变量Y的期望. 【小问1详解】 该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率为： 【小问2详解】 因为， 所以，（）， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 其数学期望． 【小问3详解】 记进入第二阶段前提下，获得费用数为随机变量（单位：亿元），则， 所以（单位：亿元）． 所以． 18. 已知f（x）＝（a＞0）． （1）讨论f（x）的单调区间； （2）若a＞2，求证：f（x）有且仅有三个不同的零点． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数法求函数的单调性； （2）解法一：通过构造函数，利用函数的单调性和零点的存在性定理得到零点的个数； 解法二：利用函数的增减性得到函数的极值点，通过极大值，极小值与0的大小得到零点个数. 【小问1详解】 ， 令，则，， 当即时，，，此时在单调递增，无单调递减区间； 当即时，方程有两根， ，则或时，，单调递增； 时，，单调递减． 综上所述，当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在，单调递增，在（）单调递减． 【小问2详解】 因为（i＝1，2），所以（i＝1，2）， 所以， 同理，因为， 所以，设函数g（x）＝， 则，当x≥1时，≤0， ，此时；当0＜x＜1时，＞0， ，此时．所以＞0，， 即g（x）在（0，）单调递减，所以， ，且x→0时，f（x）→，x→时，f（x）→， 所以f（x）在，，各有一个零点， 即f（x）有且仅有三个不同的零点． （2）解法二：因为（i＝1，2），所以（i＝1，2）， 所以， 同理，因为， 所以，所以， 由（1）可知，当时，在，单调递增，在（）单调递减． 为极大值点，为极小值点，， ，，且x→0时，；x→时， ，所以f（x）在（0，），（，），（，）各有一个零点， 即f（x）有且仅有三个不同的零点． 19. 如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形． （1）若C是OQ的中点． （i）求六棱锥的体积； （ii）求二面角的余弦值； （2）设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）证明：由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为α． 在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系， 设，则，， 因为，所以， 即，又P，Q的坐标分别为， 所以 【解析】 【分析】（1）（i）先计算正六边形的面积，再根据锥的体积公式即可求解； （ii）建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用夹角公式即可求解； （2）由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为α． 在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系，设，由，得，又，代入即可求解. 【小问1详解】 （i）因为O到⊙C的距离为2，所以⊙C的半径为， 所以正六边形的边长为， 所以正六边形的面积为， 且P到⊙C的距离为6，所以六棱锥的体积为； （ii）以C为原点，为轴，的中垂线为y轴，PQ为z轴建系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则 令＝1，得， 设平面的一个法向量 则， 令＝1，得， 所以． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $