精品解析：湖南省长沙市长雅中学2025--2026学年八年级上学期数学入学考试卷

长沙市长雅中学2025年八年级入学数学学情调研 数学科目 学生注意：本练习共25 道题，满分120分，时量120分钟 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1. 在实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是开方不尽的数，属于无理数； B、是整数，属于有理数； C、是有限小数，属于有理数； D、是分数，属于有理数； 故选：A． 2. 下列采用的调查方式中，合适的是（ ） A. 调查观众对《哪吒2》的满意度，采用全面调查 B. 对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查 C. 调查河南省中学生的睡眠时间，采用抽样调查 D. 企业对招聘人员面试，采用抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的优缺点，全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查，抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度是关键．根据抽样调查样本的代表性，可操作性结合具体问题情境综合进行判断即可． 【详解】解：A．为了调查观众对《哪吒2》的满意度，适合抽样调查，故本选项不符合题意； B．对某批次的新能源电池使用寿命检测，适合抽样调查，故本选项不符合题意； C．调查河南省中学生的睡眠时间，适合抽样调查，故本选项符合题意； D．企业对招聘人员面试，采用全面调查，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 已知，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ，故A不符合题意； B、， ，故B不符合题意； C、， ，故C不符合题意； D、 ∵， ，故D符合题意； 故选：D． 4. 如果点在x轴上，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点在x轴上，得到，计算解答即可． 本题考查了坐标与位置，熟练掌握点在x轴上的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由点在x轴上，得， 解得， 故点A的坐标是， 故选：D． 5. 如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（　　） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，直线最短 【答案】A 【解析】 【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短． 【详解】根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短， ∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂线段最短，解题的关键是能熟记垂线段最短的内容． 6. 当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质解答即可． 本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 【详解】解：根据题意，得， 故， 又， 故， 又， 故， 故选：B． ． 7. 如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是估算出各个选项中的无理数在哪两个整数之间．根据数轴上被覆盖的数在与之间，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据数轴可知，被覆盖的数在与之间； A．，不在与之间，故A错误； B．，不在与之间，故B错误； C．，在与之间，故C正确； D．，不在与之间，故D错误． 故选：C． 8. 已知，则a的值是（ ） A. 130 B. 1300 C. 169 D. 1690 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，熟练掌握此知识点是解题的关键．根据当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为． 故选B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，平移后点，的坐标分别为，，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据对应点坐标可判断出平移方式，再根据平移方式求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，平移后点，的坐标分别为，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴， ∴， 故选：D． 10. 关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，根据解的情况列出关于的不等式，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的整数解仅有个， ∴， 解得， 故选：． 二、填空题(每空3分，共18分) 11. 把方程写成用含的式子表示的形式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程，将x看作已知数求出y即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 12. 若点在第二象限，则点在第___________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查了象限中点的符号问题，不等式的性质，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，掌握这些是解题的关键． 先确定的符号，再确定的符号，即可判断所在象限 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，即， ∴， ∴点在第一象限， 故答案为：一． 13. 已知方程组的解满足，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，两方程相加，得，求解即可． 【详解】解：方程组中列方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 研究人员为了预估某试验田中玉米的长势情况，随机测量了40株玉米的株高（单位：），玉米株高的最大值是，最小值是，如果取组距为，那么可以将这40个数据分成_____组． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求组距，用玉米株高的最大值减去最小值，所得的差除以4，若能整除，所得的商加1即为分成的组数，若不能整除，那么所得的商加1即为组数，据此求解即可． 【详解】解：， ∴可以将这40个数据分成组， 故答案为：5． 15. 如图，，若，则_____度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，余角的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据互余求出，再根据平行得到内错角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 16. 已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用．首先将变形为．再将代入不等式，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，且，， ∵， ∴，即， 解得：， 解得：， 的取值范围为：． 故答案为：． 三、解答题(17-19题每题6分， 20、21每题8分， 22、23题每题9分， 24、25题每题10分) 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根、绝对值的化简等知识．先计算算术平方根，化简绝对值，再加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组，并写出所有非负整数解． 【答案】不等式组的解集为，则非负整数解为 0，1，2，3． 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解本题的关键是熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤．先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出非负整数解即可． 【详解】解：， 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为， ∴非负整数解为，1，2，3． 19. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是 ；B组所对应的扇形圆心角为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有学生1400人，估计该校喜欢跳绳的学生约有多少人； 【答案】（1）； （2）见解析 （3）该校喜欢跳绳的学生人数约有560人 【解析】 【分析】本题考查数据统计和分析，解题关键是结合条形统计图和扇形统计图，根据已知组别人数和所占百分比求出调查总人数，并掌握用样本数据估计总体数据计算方法． （1）根据A组调查人数及所占百分比求出样本容量；再根据B组人数的占比，乘以即可求出B组所对应的扇形圆心角； （2）总人数减去已知组别人数可得C组人数，补全统计图即可； （3）根据用样本数据估计总体数据计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是； B组所对应的扇形圆心角为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：C组人数为（名）， 补全图形如图： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校喜欢跳绳的学生人数约有560人． 20. 如图，在中， ， ， ． （1）作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （② ） 又∵ ， ∵ ∴（⑤ ） 【答案】（1）如图，作图如下： （2）；②；；；⑤同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查的是作角平分线，全等三角形的判定与性质； （1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小； （2）若的面积为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用角平分线定义得到，根据三角形的外角，求出，根据高的定义和互余两角的性质求出； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求出的长． 【小问1详解】 解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵为的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 22. 随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． （1）、两个工种工人的月工资分别为多少万元； （2）由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 【答案】（1）A工种工人的月工资为1万元，B工种工人的月工资为1.2万元 （2）三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这60个工人的工资总额最少，最少为68万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（其他问题），一元一次不等式组的其他应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或不等式组是解题的关键． （1）设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，根据题意列方程求解即可； （2）设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，根据题意列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元， 根据题意可列方程：， 解得：， 则， 、两个工种工人的月工资分别为1万元、1.2万元； 【小问2详解】 解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人， 根据题意可列不等式组： ， 解得：， 为整数， 的值为、、， 该车间共有三种招聘方案： ①招聘工种工人人，工种工人人； ②招聘工种工人人，工种工人人； ③招聘工种工人人，工种工人人； 工种工人的月工资比工种工人的月工资低， 招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少， 招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元， 答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为68万元． 23. 如图，在中，，是角平分线，与相交于点F，，垂足分别为M，N． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ∵F是角平分线交点， ∴也是角平分线， ∴， ∵ 由（1）知，， ，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）求出，根据角平分线定义，得，，得，； （2）连接，判定也是角平分线，∴，证明 ，得，即得． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形角平分线．熟练掌握角平分线定义和性质，三角形内角和定理，直角三角形角性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解题关键． 24. 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． （1）已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； （2）若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； （3）若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 【答案】（1）③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断； （2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可； （3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出． 【小问1详解】 解：，解得：， ，故①不成立； ，故②不成立； ，故③成立， 故答案为：③； 【小问2详解】 ∵是方程与不等式组的“调和解”， ∴，， 解得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 不等式组，解得：， 将代入，得，解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数， ∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知方程组的解求参数的范围等知识点，解题关键是正确求解方程组与不等式组． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，将线段平移至对应线段，已知点，，其中m,n满足． （1）直接写出：______，______，点的坐标为______； （2）如图2，连接，，若为线段延长线上一点，过点作于点，作于点，请探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，线段向左平移个单位，若的面积为，且，求的取值范围． 【答案】（1），4， （2） ，理由：如图1，连接，设直线与轴相交于 ； ， 又； ； ； ； 即. （3）或 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质可得，再解方程组即可； （2）如图1，连接，设直线与轴相交于 ，由；可得，再进一步求解即可； （3）①当在轴右侧移动时，如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为，结合平移可得：，求解；结合，再解不等式组即可；②当在轴左侧移动时，如图3所示，同理可得：；同法进一步求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当在轴右侧移动时， 如图2所示，过作轴的平行线，分别过作轴的平行线，交点分别为， 结合平移可得：， ； ； ； ； ； ； ； ； ②当在轴左侧移动时，如图3所示， 同理可得：； ； ， ； ； ； ； ， 综上可知：或. 【点睛】本题考查的是平移的性质，坐标与图形面积，算术平方根的非负性的应用，二元一次方程组的解法，不等式组的解法，作出图形是解本题的关键. 第1页/共1页 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B. C. D. 2. 下列采用的调查方式中，合适的是（ ） A. 调查观众对《哪吒2》的满意度，采用全面调查 B. 对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查 C. 调查河南省中学生的睡眠时间，采用抽样调查 D. 企业对招聘人员面试，采用抽样调查 3. 已知，下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果点在x轴上，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（　　） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，直线最短 6. 当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一条数轴被覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则a的值是（ ） A. 130 B. 1300 C. 169 D. 1690 9. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，平移后点，的坐标分别为，，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每空3分，共18分) 11. 把方程写成用含的式子表示的形式为___________． 12. 若点在第二象限，则点在第___________象限． 13. 已知方程组的解满足，则________． 14. 研究人员为了预估某试验田中玉米的长势情况，随机测量了40株玉米的株高（单位：），玉米株高的最大值是，最小值是，如果取组距为，那么可以将这40个数据分成_____组． 15. 如图，，若，则_____度． 16. 已知，，则的取值范围是________． 三、解答题(17-19题每题6分， 20、21每题8分， 22、23题每题9分， 24、25题每题10分) 17. 计算： ． 18. 解不等式组，并写出所有非负整数解． 19. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是 ；B组所对应的扇形圆心角为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校共有学生1400人，估计该校喜欢跳绳的学生约有多少人； 20. 如图，在中， ， ， ． （1）作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （② ） 又∵ ， ∵ ∴（⑤ ） 21. 如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小； （2）若的面积为，，求的长． 22. 随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元． （1）、两个工种工人的月工资分别为多少万元； （2）由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？ 23. 如图，在中，，是角平分线，与相交于点F，，垂足分别为M，N． （1）求的度数； （2）求证：． 24. 使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． （1）已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； （2）若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； （3）若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，将线段平移至对应线段，已知点，，其中m,n满足． （1）直接写出：______，______，点的坐标为______； （2）如图2，连接，，若为线段延长线上一点，过点作于点，作于点，请探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，线段向左平移个单位，若的面积为，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $