第23章旋转中的常见模型专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第23章旋转中的常见模型 类型一 特殊旋转角构造特殊三角形 典例学方法：根据旋转前后线段相等，可得等腰三角形。若旋转60°，则构成等边三角形。若旋转90°，则构成等腰三角形。 【典例1】（2024•武威三模）如图，点O是等边△ABC内一点，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形． （2）当α＝150°时，OB＝4，OC＝3，求OA的长． 【典例2】（2024春•东昌府区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC边上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接DE，CE． （1）求证：BD＝CE； （2）若，求DE长． 针对训练： 1．（2023秋•平谷区期末）已知：如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图（2））． （1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明； （2）当旋转角α＝60°时，猜想DB′与AE的位置关系并说明理由． 2．（2023春•振兴区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）判断AD与BE的关系，并证明你的结论； （3）当AD＝BF时，求∠BEF的度数． 类型二 旋转180°讲线段或角集中在一起 典例学方法：将一个图形旋转180°，可构造中心对称图形，此类题同昌可利用平行四边形或全等三角形的知识解答 【典例3】（2023•枣庄模拟）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE． （1）判断四边形ABDF的形状，并证明； （2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积． 针对训练： 1．（2022秋•溆浦县校级期中）（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围，并说明理由． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断． （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DM⊥DN于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连接MN，求证：BM+CN＞MN． 类型三 半角模型 典例学方法：半角模型特征：1.共顶点的等线段，2.共顶点的倍（半）角；通过旋转或做辅助线可以构造全等三角形。 常见的半角模型有90°角含45°角和120°角夹60°角。120°角夹60°角 如图，四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝120°，∠ECF＝∠A＝60°． 结论：(1)EF＝BE＋DF；(2)点C在∠BAD的平分线上． 90°角夹45°角 正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF＝45°． 结论：(1)EF＝BE＋DF： (2)AE平分∠BEF，AF平分∠DFE． 【典例4】（2023春•成武县期末）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，求证：EF＝BE+DF． 针对训练： 1．（2021秋•内江期末）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且． （1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结DF． ①∠DAF＝　 　 ；②求证：DF＝DE； （2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章旋转中的常见模型 类型一 特殊旋转角构造特殊三角形 典例学方法：根据旋转前后线段相等，可得等腰三角形。若旋转60°，则构成等边三角形。若旋转90°，则构成等腰三角形。 【典例1】（2024•武威三模）如图，点O是等边△ABC内一点，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形． （2）当α＝150°时，OB＝4，OC＝3，求OA的长． 【思路引领】（1）根据旋转的性质得出CO＝CD，∠OCD＝60°，即可得出结论； （2）根据旋转的性质得出∠ADC＝∠BOC＝150°，AD＝OB＝4，再结合△COD是等边三角形，即可求解． 【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC， ∴CO＝CD，∠OCD＝60°， ∴△COD是等边三角形； （2）解：∵将△BOC绕点C顺时针旋转60°得到△ADC， ∴△BOC≌△ADC， ∴∠ADC＝∠BOC＝150°，AD＝OB＝4， 又∵△COD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°，OD＝OC＝3， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键． 【典例2】（2024春•东昌府区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC边上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接DE，CE． （1）求证：BD＝CE； （2）若，求DE长． 【思路引领】（1）根据旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝90°，从而得到∠BAD＝∠CAE，可证明△BAD≌△CAE，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得∠B＝∠ACE，，再由等腰直角三角形的性质可得∠B＝∠ACE＝∠ACB＝45°，，从而得到∠DCE＝90°，，然后在Rt△DCE中，根据勾股定理，即可求解． 【解答】（1）证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ∵AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：由（1）得：△BAD≌△CAE， ∴∠B＝∠ACE，， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3， ∴∠B＝∠ACE＝∠ACB＝45°，， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，， 在Rt△DCE中，． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 针对训练： 1．（2023秋•平谷区期末）已知：如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图（2））． （1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明； （2）当旋转角α＝60°时，猜想DB′与AE的位置关系并说明理由． 【思路引领】（1）由于AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点，则AD＝AEAB，再根据旋转的性质得到∠B′AD＝∠C′AE＝α，AB′＝AB，AC′＝AC，则AB′＝AC′，根据三角形全等的判定方法可得到△B′AD≌△C′AE（SAS），则有DB′＝EC′； （2）DB'∥AE．如图2，延长AE使AE＝EF，连接FC'．易证△AFC'是等边三角形，则由“三线合一”的性质推知∠AEC'＝90°．结合△B′AD≌△C′AE，得 ∠ADB'＝∠AEC'＝90°，则∠ADB'＝∠DAE＝90°，故DB'∥AE． 【解答】（1）DB'＝EC'…（1分） 证明：D、E分别是AB、AC边的中点， ∴ADAB，AEAC． ∵AB＝AC， ∴AD＝AE． ∵△B′AC′是△BAC顺时针旋转得到， ∴∠DAB′＝∠EAC′＝α，AC′＝AC＝AB′＝AB， 在△B′AD与△C′AE中， ， ∴△B′AD≌△C′AE（SAS）， ∴DB′＝EC′； （2）猜想：DB'∥AE． 延长AE使AE＝EF，连接FC'． ∴AC'＝AF ∵α＝60° ∴△AFC'是等边三角形 ∴C'E⊥AF，即∠AEC'＝90° 由△B′AD≌△C′AE，得∠ADB'＝∠AEC'＝90° ∴∠ADB'＝∠DAE＝90° ∴DB'∥AE． 【总结提升】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角都等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 2．（2023春•振兴区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）判断AD与BE的关系，并证明你的结论； （3）当AD＝BF时，求∠BEF的度数． 【思路引领】（1）由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，由于∠ACB＝90°，所以∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD＝∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）， （2）△ACD≌△BCE（SAS），得出AD＝BE； （3）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A＝∠CBE＝45°，BE＝BF，从而可求出∠BEF的度数． 【解答】（1）证明：∵CD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB， ∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）解：AD＝BE， ∵CD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB， ∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； （3）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°， 由（1）可知：∠A＝∠CBE＝45°， ∵AD＝BF， ∴BE＝BF， ∴∠BEF＝67.5°． 【总结提升】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型． 类型二 旋转180°讲线段或角集中在一起 典例学方法：将一个图形旋转180°，可构造中心对称图形，此类题同昌可利用平行四边形或全等三角形的知识解答 【典例3】（2023•枣庄模拟）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE． （1）判断四边形ABDF的形状，并证明； （2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积． 【思路引领】（1）根据三角形中位线定理可得DF∥AB，根据旋转的性质，BD∥AF，可证明四边形是平行四边形，再根据BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点，可知BD＝AB，所以四边形是菱形； （2）设OA＝x，OB＝y，构造方程求出2xy即可． 【解答】解：（1）四边形ABDF是菱形，理由如下：∵D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DF∥AB， 又∵△CDE绕点E旋转180度后得△AFE， ∴∠C＝∠FAE， ∴BD∥AF， ∴四边形ABDF是平行四边形， 又∵BC＝2AB， ∴AB＝BD， ∴四边形ABDF是菱形． （2）如图，连接BF，AD交于点O， ∵四边形ABDF为菱形， ∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD， 设OA＝x，OB＝y， 则有2x+2y＝8，x2+y2＝32， ∴x+y＝4， ∴x2+2xy+y2＝16， ∴2xy＝7， ∴SBF×AD＝2xy＝7． 【点睛】本题考查了中心对称，三角形的面积，三角形的中位线定理，菱形的判定和性质等相关知识，解题关键是掌握这些基本知识，并且熟练运用． 针对训练： 1．（2022秋•溆浦县校级期中）（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围，并说明理由． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断． （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DM⊥DN于点D，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连接MN，求证：BM+CN＞MN． 【思路引领】（1）延长AD到点E使DE＝AD，连接BE，证明△ACD≌△EBD得到BE＝AC＝12，再利用三角形三边的关系即可求解； （2）延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF，MF，证明△BFD≌△CND得到BF＝CN，再利用线段垂直平分线的性质得到MF＝MN，再根据三角形的三边关系即可证得结论． 【解答】（1）解：延长AD到点E使DE＝AD，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ACD和△EBD中，， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴BE＝AC＝12， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：BE﹣AB＜AE＜BE+AB， ∴12﹣8＜AE＜12+8，即4＜2AD＜20， ∴2＜AD＜10； （2）问题解决： 证明：延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF，MF，如图1所示： ∵D是BC边上的中点， ∴BD＝CD， 在△BFD和△CND中，， ∴△BFD≌△CND（SAS）， ∴BF＝CN， ∵DM⊥DN，FD＝ND， ∴MF＝MN， 在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF， ∴BM+CN＞MN． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的三边关系，添加适当的辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键． 类型三 半角模型 典例学方法：半角模型特征：1.共顶点的等线段，2.共顶点的倍（半）角；通过旋转或做辅助线可以构造全等三角形。 常见的半角模型有90°角含45°角和120°角夹60°角。120°角夹60°角 如图，四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝120°，∠ECF＝∠A＝60°． 结论：(1)EF＝BE＋DF；(2)点C在∠BAD的平分线上． 90°角夹45°角 正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF＝45°． 结论：(1)EF＝BE＋DF： (2)AE平分∠BEF，AF平分∠DFE． 【典例4】（2023春•成武县期末）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，求证：EF＝BE+DF． 【思路引领】如图，作辅助线，首先证明△AFE≌△AFG，进而得到EF＝FG问题即可解决． 【解答】证明：∵AB＝AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图： ∴∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG， ∵∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中， ， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG， 即：EF＝BE+DF 【点睛】考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 针对训练： 1．（2021秋•内江期末）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC上，且． （1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结DF． ①∠DAF＝　30°　 ；②求证：DF＝DE； （2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由． 【思路引领】（1）①先求出∠EAF＝60°，再求出∠DAE＝30°，即可求出答案； ②用SAS判断出△DAF≌△DAE，即可得出结论； （2）将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连结DF，得出AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC，进而判断出△BAF≌△CAE（SAS），得出BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，再判断出∠DBF＝90°，用勾股定理，即可得出结论． 【解答】（1）①解：由旋转知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°， ∵∠DAEα，∠BAC＝α＝60°， ∴∠DAE60°＝30°， ∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°， ∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°， 故答案为：30°； ②证明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°， ∵AB＝AC， ∴△DAF≌△DAE（SAS）， ∴DF＝DE； （2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下： 如图， 将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连结DF， ∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， ∴△BAF≌△CAE（SAS）， ∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE， 在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°， ∴∠ABF＝45°， ∴∠DBF＝90°，根据勾股定理得，DF2＝BD2+BF2， ∴DF2＝BD2+CE2， 同（1）②的方法得，DF＝DE， ∴DE2＝BD2+CE2． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ADF≌△ADE是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $