专题03 旋转3考点（期中真题汇编，天津专用）九年级数学上学期人教版

专题03 旋转 3大高频考点概览 考点01 旋转的概念与性质 考点02 旋转作图与坐标变换 考点03 旋转的几何综合题（难） 地 城 考点01 旋转的概念与性质 1．(24-25九上·天津静海区运河学校·期中)如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上．已知，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题的关键． 先由旋转的性质证明，再利用等边对等角证明，从而可得答案． 【详解】解：∵把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， 故选：A． 2．(24-25九上·天津河北区·期中)如图，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，连接交于点，当时，下列结论一定正确的是（　　） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质．根据旋转的性质和平行线的性质以及三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：把以点为中心顺时针旋转得到， ，，，故D不符合题意． ，故B不符合题意； 不一定等于， 不一定等于，故A不符合题意； 把△以点为中心顺时针旋转得到△， ， ， ， ，故C符合题意； 故选：C． 3．(24-25九上·天津河西区·期中)如图，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转，旋转角为α， ∴， ∴， 故选：D． 4．(24-25九上·天津红桥区·期中)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了选择的性质，等腰三角形的性质，三角形的边角关系和外角性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，由旋转可得，即得，再根据三角形外角性质可得，即可判断；由三角形的边角关系可判断；由三角形的三边关系可判断；由旋转的性质可得为等边三角形，进而得到，再根据平行线的判定即可判断，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：、由旋转可得，， ∴， ∵， ∴，故选项错误； 、∵为钝角， ∴， ∵， ∴，故选项错误； 、由旋转得，， ∵， ∴，故选项错误； 、∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 又由旋转可得，， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 故选：． 5．(24-25九上·天津河西区·期中)把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵等边三角形的两条中线的交点O， ∴， ∴， ∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合． 故选：C． 6．(24-25九上·天津河东四片区·期中)如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在上，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，，推出，再由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ， ， 故答案为：． 7．(24-25九上·天津·期中)如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是 ． 【答案】/50度 【分析】由，，得出，由旋转的性质可得，进而求出的度数，即可得出旋转角的大小． 本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的两个三角形是全等三角形及等腰三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的大小是， 故答案为：． 8．(23-24九上·天津西青区当城中学·期中)如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质得到，，求得，判定全等即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：由旋转可得：，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴由（1）可知， 在中， 由勾股定理，得， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理，得． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键． 9．(24-25九上·天津北辰区第三学区·期中)以中、为边分别作正方形、，连接、． (1)证明：． (2)请用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)可以看成是绕着A点逆时针旋转得到 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形的性质，即可证明； （2）根据正方形的性质结合旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：证明：在正方形和正方形中， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：正方形、中，， 可以看成是绕着A点逆时针旋转得到． 10．(24-25九上·天津河东四片区·期中)如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，． (1)________； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得； （2）根据旋转的性质得到三角形为等边三角形即可求解； （3）证明，在中，由勾股定理可求得的长即可． 【详解】（1）解：∵将绕点按顺时针旋转得到， ∴． （2）解：由旋转的性质得，，， ∵等边三角形 ∴， ∴ 即， 为等边三角形， ； （3）解：由旋转的性质得，， 为等边三角形， ， ∵， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确求得的长和证明为直角三角形是解题的关键． 11．(24-25九上·天津五区联考·期中)如图，在正方形中，E为上一点，把绕点A顺时针旋转至的位置，使得F，B，C三点在一条直线上． (1)旋转角的大小为______（度）； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)90 (2)． 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转前后对应边相等，对应角相等；以及勾股定理． （1）根据正方形的性质和旋转的性质，即可解答； （2）根据旋转的性质得出，，，利用直角三角形的性质结合勾股定理，即可解答． 【详解】（1）解：∵顺时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴旋转中心是点A，旋转角度为， 故答案为：90； （2）解：∵顾时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， 根据勾股定理可得：． 12．(24-25九上·天津静海区运河学校·期中)如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．连结． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若正方形的边长为，，求的长． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见详解 (2) 【分析】（1）结论：是等腰直三角形，由旋转的性质可得，结合正方形的性质即可推出，即可证明； （2）根据旋转可得，在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：结论：是等腰直角三角形； 理由：∵把顺时针旋转到的位置， ， ∵四边形是正方形， ， ， ∴是等腰直角三角形． （2）解：∵四边形是正方形， ， 根据旋转可得， ∴，， ∴在中，． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转不变性解决问题，属于中考常考题型． 13．(24-25九上·天津北辰区·期中)将边长为2的正方形按图1所示的方式放 置，O为原点． (1)若将正方形绕点O 逆时针旋转，如图2所示，求点A 的坐标； (2)若将图1中的正方形绕点O逆时针旋转15°，如图3所示，求点B 的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作x轴的垂线，垂足为D，，根据旋转角得出，进而得到，，据此可得点A的坐标； （2）连接，过B作轴于D，根据旋转角为，可得，根据勾股定理可得，再根据中，，，可得点B的坐标． 【详解】（1）解：过点A作x轴的垂线，垂足为D，， ∵旋转角为， ∴，， ∵正方形的边长为：， ∴，， ∴； （2）解：连接，过B作轴于D， ∵旋转角为，由正方形可得，，， ∴， ∴， ∴中，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转变换以及正方形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：正方形的四条边都相等，四个角都是直角． 14．(24-25九上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，一张长为，宽为的矩形纸片 (1)如图①，将矩形纸片沿着对角线剪开，将绕点A逆时针旋转得到，使边和在同一直线上．连接，请写出的形状，并说明理由； (2)如图②，将绕点A顺时针旋转（转动的度数小于），边与边相交于点M．当旋转度数为时，求点E到的距离． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】题目主要考查旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据旋转的性质得出，，然后结合图形及各角之间的关系即可得出结果； （2）过点E作于点H，根据矩形的性质确定，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，利用旋转的性质及图形确定，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵旋转， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）如图，过点E作于点H， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∴． 当旋转度数为时，． 在中， ∵，， ∴． 由旋转可知， ∴．                                  在中，， ∴ ． 15．(24-25九上·天津河西区·期中)在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，与边的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． (1)直接写出的度数； (2)在旋转过程中，试证明始终成立． （提示：由于符合勾股定理的形式，若通过将或进行旋转或轴对称变化，变换边、角的位置，最终使转化为一个直角三角形的三边就可以使得问题解决了．） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，旋转变换性质以及勾股定理等知识，根据题意作出旋转后的图形，利用三角形全等是解决问题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得,，利用角的和差关系可得结论； （2）运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴,， ∵ ∴； （2）证明：如图，将绕点A顺时针旋转至的位置， 则，旋转角． 连接， 在和中， ∵． ∴， ∴， 又， ∴， 即． 地 城 考点02 旋转作图与坐标变换 1．(24-25九上·天津南开大学附属中学津南学校·期中)如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点逆时针旋转后的； (3)求出（2）中的的面积是多少． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析 (3) 【分析】此题考查了坐标与图形、轴对称作图、旋转的作图等知识． （1）找到关于轴对称的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标； （2）找到绕点逆时针旋转后的对应点，顺次连接即可得到； （3）利用包含的正方形面积减去周围3个直角三角形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）如图，即为所求， （3）的面积 2．(24-25九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，已知， (1)在坐标系中画出关于原点的中心对称图形，并直接写出坐标______； (2)以A为旋转中心，将顺时针旋转形成，在图中画出，并直接写出坐标______． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】此题考查了旋转和中心对称的作图，熟练掌握作图方法是关键． （1）找到关于原点的中心对称的对应点顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可； （2）找到顺时针旋转的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为， 故答案为： （2）如图，即为所求，点的坐标为， 故答案为： 3．(24-25九上·天津红桥区·期中)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O均在格点上，C是小正方形边的中点． (1)的面积等于__________； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出绕点O逆时针旋转后的图形，并简要说明点的位置是如何找到的． 【答案】(1)2 (2)作图见解析，连接如图所示的点和点，与格线的交点即为点． 【分析】本题考查了网格中求三角形的面积以及旋转网格作图，解题关键是掌握旋转的性质． （1）直接利用三角形面积公式即可求解； （2）利用旋转前后的对应点到旋转中心O点的距离相等且与旋转中心所连线段的夹角等于即可求解． 【详解】（1）解：的面积， 故答案为：2； （2）作图如图所示； 连接如图所示的点和点，与格线的交点即为点． 4．(24-25九上·天津静海区实验中学·期中)如图，在正方形网格中，各顶点都在格点上，点A的坐标为，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)画出绕点A顺时针旋转后的； (2)画出关于原点O对称的； (3)点的坐标是 ；点的坐标是 ． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)， 【分析】本题考查作图—旋转变换，坐标与图形等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （3）根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由图形可得：点的坐标是；点的坐标是； 5．(24-25九上·天津西青区当城中学·期中)在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)画出将绕点O顺时针旋转的图形． (2)写出的坐标为________，的坐标为________，的坐标为________． 【答案】(1)画图见解析 (2)，， 【分析】本题主要考查了作旋转图形，图形与坐标，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）分别作出点、点和点绕点O顺时针旋转的对称点顺次连接各点即可得到图形； （2）直接根据图形写出点，，的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ； （2）解：根据旋转后的图形可得： ，，． 6．(24-25九上·天津静海区·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的，并求出的面积． 【答案】(1)见解析；点的坐标为 (2)见解析；的面积为6 【分析】本题主要考查了作中心对称图形与旋转图形，写出点的坐标，求图形面积，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；然后根据点的位置写出坐标即可； （2）分别作出点绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得；利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作；点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求作； ． 7．(24-25九上·天津红桥区·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，正方形的顶点，，． (1)顶点D的坐标为； (2)将正方形绕点O逆时针旋转得正方形，点A，B，C，D的对应点分别为，在图中画出正方形，并写出其各顶点的坐标． 【答案】(1)顶点的坐标为， (2)图见解析，顶点坐标为，，，． 【分析】本题考查了坐标与旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由图可直接得出点坐标； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可知，顶点的坐标为； （2）解：顶点，，，绕点O逆时针旋转得到，，，，依次连接，，，，得到正方形，则正方形即为所求，如图： ∴顶点坐标为：，，，． 8．(24-25九上·天津北辰区第三学区·期中)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的； (2)画出将绕原点按顺时针旋转所得的； (3)与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)与是中心对称图形，对称中心为． 【分析】本题主要考查作轴对称图形、中心对称和作旋转图形，掌握关于轴对称的点的特点和对称中心的求法是解题的关键． 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，因为点在轴上，所以点关于轴的对称点还是点，连接、、，即可得所要求的三角形； 分别画出点、、绕原点顺时针旋转得到的点、、，连接点、、，得到即为所求； 把和的对应点连接起来交于一点，这个交点就是对称中心，从图中写出对称中心的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示， 作点关于轴的对称点， 作点关于轴的对称点， 点在轴上， 点关于轴的对称点还是点， 连接点、、，得到即为所求； （2）解：如下图所示，分别画出点、、绕原点顺时针旋转得到的点、、， 连接点、、，得到即为所求； （3）解：由图可知，与是中心对称图形，对称中心为． 地 城 考点03 旋转的几何综合题（难） 1．(24-25九上·天津南开区·期中)如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B．8 C．5 D． 【答案】B 【分析】过点B作轴于点C，过点作轴于点D，证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接，根据两点之间线段最短，得出当在点E处时，最小，且最小值为的长度，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，过点作轴于点D，如图所示： 则， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， 如图，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点E，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当在点E处时，最小，且最小值为的长度， ∴最小值为：， ∴的周长最小值为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，两点之间线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 2．(24-25九上·天津实验中学滨海育华学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的性质，旋转的性质，利用圆模型求面积的最大值，构造圆，利用直径是圆中最长的弦来解决，是解决本题的关键． 以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点，当三点共线时，此时高最大，面积最大，求出的值，利用面积公式直接求解即可． 【详解】以A为圆心，为半径画，过点作交的延长线于点， 点A，点B ， 在，, ， 为中点，是直角三角形， ， ， 圆中最长的弦是直径， ∴当点旋转到如图所示的位置时，即三点共线时，此时高最大，面积最大， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 此时，； 3．(24-25九上·天津河北区·期中)如图，都是等腰直角三角形，，，．将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，则 ． 【答案】/ 【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，根据旋转的性质得到，，，由全等三角形的性质得到，过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，过作于， 、都是等腰直角三角形，，，，， ，， 将绕点逆时针方向旋转后得， ，，， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．(24-25九上·天津河北区·期中)在平面直角坐标系中，为原点，点，点，若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为． (1)如图，当时，求与的交点的坐标； (2)如图，当时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，求长的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）当时，可求出，进而求得的长，即可得出点的坐标； （）过做纵轴平行线交横轴于点，过做横轴平行线交于点，由得到 ，在中，，，得到，在 中，，，得到； （）连接，相交于点，则是的中点, 因为为线段的中点，所以，即点在以K为圆心，为半径的圆上运动，即可得出长的取值范围； 【详解】（1）解：∵，点， ∴， ∵，即 ∴， ∴， 在中，，， 则，， ∴； （2）解：由（）得， 过做纵轴平行线交横轴于点，过做横轴平行线交于点，如图， ∵， ∴， 在中，，，， ∴，， 故； 在中，，， ∴，， 故； （3）解：如图，连接，相交于点， 则是的中点， ∵为线段的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴最大值为，的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，圆的有关概念，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 5．(24-25九上·天津和平区·期中)已知，，将绕点B旋转得到，点A的对应点为，点C的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，求的长； (2)当点落直线上时，求的长； (3)连接，直线与直线相交于点D，在旋转过程中，线段的最大值为_____（直接写出结果即可）﹒ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定； （1）由勾股定理得，再由旋转的性质得，，再由等腰直角三角形的性质即可得的长； （2）当点落线段上时，由旋转的性质可得，进而可得，，再由勾股定理即可得的长，当点落线段的延长线上时，同理可得； （3）过作交延长线于，取中点，连接，，由斜边中线可得，再由平行和旋转性质可得得到，即可证明，得到，即为中点，则是中位线，最后根据，可得当，，三点共线时最大，最大值为﹒ 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴； （2）解：如图，当点落线段上时， 由旋转的性质可得， ∴，，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 如图，当点落线段的延长线上时， 由旋转的性质可得， ∴，，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 即的长为或； （3）解：过作交延长线于，取中点，连接，， ∵将绕点B旋转得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即为中点 ∴是中位线， ∴， ∵， ∴当，，三点共线时最大，最大值为， 故答案为：﹒ 6．(24-25九上·天津南开区·期中)如图1，在平面直角坐标系中，的顶点，，点在轴上，．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，，直线与交于点，旋转角记为． (1)如图2，点恰好落在线段上． ①求点的坐标； ②证明：点为的中点； (2)旋转过程中，当为等边三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】（1）①先根据勾股定理求出，根据旋转得出，，，结合已知可求，即可求出的坐标； ②连接，可证明，得出，则A、、、M四点共圆，根据圆内接四边形的性质求出，然后根据三线合一的性质即可得证； （2）分两种情况讨论：①当在的右侧时，连接，过A作于H，由（1）同理可证点为的中点，可证也是等边三角形，根据等边三角形的性质、勾股定理等可求，，，然后根据线段的和差关系求解即可；②当在的左侧时，类似①求解即可． 【详解】（1）解∶①∵，， ∴，， ∴， ∵旋转 ∴，，，， ∵后点恰好落在线段上， ∴， ∴； ②连接， 由①知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴A、、、M四点共圆， ∴， 又， ∴点为的中点； （2）解：①当在的右侧时，连接，过A作于H， 由（1）同理可证：A、、、M四点共圆，点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴也是等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ②当在的左侧时，连接，过A作于H， 同理可证：A、、、M四点共圆，点为的中点，也是等边三角形， 同理可求，，，，， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，圆内接四边形的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，证明A、、、M四点共圆是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 3大高频考点概览 考点01 旋转的概念与性质 考点02 旋转作图与坐标变换 考点03 旋转的几何综合题（难） 地 城 考点01 旋转的概念与性质 1．(24-25九上·天津静海区运河学校·期中)如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上．已知，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·天津河北区·期中)如图，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，连接交于点，当时，下列结论一定正确的是（　　） A． B．平分 C． D． 3．(24-25九上·天津河西区·期中)如图，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·天津红桥区·期中)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·天津河西区·期中)把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为 ． 6．(24-25九上·天津河东四片区·期中)如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在上，则 度． 7．(24-25九上·天津·期中)如图，，，可以看做是由绕点顺时针旋转角度得到的，若点在上，则旋转角的大小是 ． 8．(23-24九上·天津西青区当城中学·期中)如图1，在中，，，D为上一点，连接，将绕点C顺时针旋转至，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，，求的长． 9．(24-25九上·天津北辰区第三学区·期中)以中、为边分别作正方形、，连接、． (1)证明：． (2)请用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 10．(24-25九上·天津河东四片区·期中)如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，． (1)________； (2)求的度数； (3)若，，求的长． 11．(24-25九上·天津五区联考·期中)如图，在正方形中，E为上一点，把绕点A顺时针旋转至的位置，使得F，B，C三点在一条直线上． (1)旋转角的大小为______（度）； (2)若，，求线段的长． 12．(24-25九上·天津静海区运河学校·期中)如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．连结． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若正方形的边长为，，求的长． 13．(24-25九上·天津北辰区·期中)将边长为2的正方形按图1所示的方式放 置，O为原点． (1)若将正方形绕点O 逆时针旋转，如图2所示，求点A 的坐标； (2)若将图1中的正方形绕点O逆时针旋转15°，如图3所示，求点B 的坐标． 14．(24-25九上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中)如图，一张长为，宽为的矩形纸片 (1)如图①，将矩形纸片沿着对角线剪开，将绕点A逆时针旋转得到，使边和在同一直线上．连接，请写出的形状，并说明理由； (2)如图②，将绕点A顺时针旋转（转动的度数小于），边与边相交于点M．当旋转度数为时，求点E到的距离． 15．(24-25九上·天津河西区·期中)在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，与边的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． (1)直接写出的度数； (2)在旋转过程中，试证明始终成立． （提示：由于符合勾股定理的形式，若通过将或进行旋转或轴对称变化，变换边、角的位置，最终使转化为一个直角三角形的三边就可以使得问题解决了．） 地 城 考点02 旋转作图与坐标变换 1．(24-25九上·天津南开大学附属中学津南学校·期中)如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)请画出绕点逆时针旋转后的； (3)求出（2）中的的面积是多少． 2．(24-25九上·天津外国语大学附属滨海外国语学校·期中)在平面直角坐标系中，已知， (1)在坐标系中画出关于原点的中心对称图形，并直接写出坐标______； (2)以A为旋转中心，将顺时针旋转形成，在图中画出，并直接写出坐标______． 3．(24-25九上·天津红桥区·期中)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O均在格点上，C是小正方形边的中点． (1)的面积等于__________； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出绕点O逆时针旋转后的图形，并简要说明点的位置是如何找到的． 4．(24-25九上·天津静海区实验中学·期中)如图，在正方形网格中，各顶点都在格点上，点A的坐标为，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)画出绕点A顺时针旋转后的； (2)画出关于原点O对称的； (3)点的坐标是 ；点的坐标是 ． 5．(24-25九上·天津西青区当城中学·期中)在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)画出将绕点O顺时针旋转的图形． (2)写出的坐标为________，的坐标为________，的坐标为________． 6．(24-25九上·天津静海区·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的，并求出的面积． 7．(24-25九上·天津红桥区·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，正方形的顶点，，． (1)顶点D的坐标为； (2)将正方形绕点O逆时针旋转得正方形，点A，B，C，D的对应点分别为，在图中画出正方形，并写出其各顶点的坐标． 8．(24-25九上·天津北辰区第三学区·期中)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的； (2)画出将绕原点按顺时针旋转所得的； (3)与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标． 地 城 考点03 旋转的几何综合题（难） 1．(24-25九上·天津南开区·期中)如图，平面直角坐标系中，点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B．8 C．5 D． 2．(24-25九上·天津实验中学滨海育华学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ． 3．(24-25九上·天津河北区·期中)如图，都是等腰直角三角形，，，．将绕点B逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，则 ． 4．(24-25九上·天津河北区·期中)在平面直角坐标系中，为原点，点，点，若正方形绕点顺时针旋转，得正方形，记旋转角为． (1)如图，当时，求与的交点的坐标； (2)如图，当时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，求长的取值范围（直接写出结果即可）． 5．(24-25九上·天津和平区·期中)已知，，将绕点B旋转得到，点A的对应点为，点C的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，求的长； (2)当点落直线上时，求的长； (3)连接，直线与直线相交于点D，在旋转过程中，线段的最大值为_____（直接写出结果即可）﹒ 6．(24-25九上·天津南开区·期中)如图1，在平面直角坐标系中，的顶点，，点在轴上，．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，，直线与交于点，旋转角记为． (1)如图2，点恰好落在线段上． ①求点的坐标； ②证明：点为的中点； (2)旋转过程中，当为等边三角形时，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $