第13章 三角形 进阶单元卷 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第13章三角形（进阶） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  2.在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图其中是点的对应点，其中线段一定是的中线的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.优质的教育资源是社会民生问题，在侯马市委、市政府的关心和支持下，侯马市新二中建设如火如荼，预计今年月份完工并投入使用，如图是建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是(    ) A. 两点之间，线段最短 B. 三角形任意两边之和大于第三边 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D  【解析】解：这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：． 根据三角形具有稳定性作答即可． 本题考查了三角形具有稳定性，线段的性质，垂线段最短，熟知以上知识是解题的关键． 4.如图，点，，在同一条直线上，若，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， ， ，， ． 故选：． 由三角形的外角性质得到，再利用三角形内角和定理可得答案． 本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，关键是由三角形的外角性质推出． 5.如图，，于，下列结论错误的是(    ) A. 图中有三个直角三角形 B. C. D. 和都是的余角 【答案】C  6.有四根长度分别为，，，为正整数的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，甲、乙分别给出了下列结论，判断正确的是    ． 甲：的取值可能有个； 乙：组成的三角形中，周长最大为． A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 甲正确，乙不正确 D. 甲不正确，乙正确 【答案】D  【解析】其中的任意三根的组合有，，；，，；，，；，，共四种情况， 由题意：从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，可得，即正整数的值为或或． 当选取的三根木棒长分别为，，时，组成的三角形周长最大，最大为． 所以可能的取值有个，三角形周长最大为． 故选D． 7.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  8.如图，将沿折叠，使点落在点处，且平分，平分若，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，是的两个外角，，由折叠，可知，，，平分，平分，． 9.如图，在中，，分别平分，，为外角的平分线，交的延长线于点，记，，给出下列结论，其中错误的是    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】为外角的平分线，平分，，．是的外角，，，故选项 A不符合题意；，分别平分，，，，，故选项 C，不符合题意，选项B符合题意故选B． 10.如图，已知的面积为，分别倍长延长一倍边，，得到，再分别倍长边，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】如图，连接，，，根据等底同高的三角形面积相等，可得，，，，，，的面积都相等，，同理可得，，则．，的面积为故选A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.三角形三边长分别为，，则的取值范围是          ． 【答案】  12.等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是______． 【答案】或  【解析】解：当是腰长时，三角形的三边长分别为、、， 此时能组成三角形，周长 当是底边长时，三角形的三边长分别为、、，此时能组成三角形，周长． 这个等腰三角形的周长是或． 13.如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 先求出，根据三角形内角和定理求出，得出，再根据三角形外角的性质即可得出答案． 【解答】 解：如图， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14.如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【解答】 解：点是的中点， ，， ， 点是的中点， 故答案为． 15.如图，在中，为延长线上一点，平分，平分，若，则的度数为          ． 【答案】  【解析】解：延长，交于点，  则  ，，  由内外角平分线模型可知． 16.如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在直线上的点处．当为直角三角形时，的度数为          ． 【答案】或  17.如图，是的中线，是边上一点，，与相交于点若的面积为，则          ． 【答案】  18.如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的角平分线与的平分线交于，若，则的度数为          ． 【答案】  【解析】是的外角，  是的外角，，的平分线与的平分线交于点， ，，，  同理，可得：  故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在中，，分别是边上的中线和高，，求和的长． 【答案】解：，， ． 又是边上的中线， ，． 20.本小题分 已知的三边长分别为，，． 化简： 若，，且三角形的周长为偶数． 求的值； 判断的形状． 【答案】(1)-a+3b-c (2)①5 ②等腰三角形  21.本小题分 如图，点，，在同一直线上，． 求证：； 求证：． 【答案】(1)证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠A+∠B，  又∵∠ADE＝∠B， ​​​​​​​∴∠CDE＝∠A；  (2)证明：∵∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝∠E+∠C，  ∠ADE＝∠C， ​​​​​​​∴∠ADB＝∠E．  22.本小题分 如图，在中，于点，平分若，． 求的度数； 若为线段上的任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1)∵BE平分∠ABC，∠ABC＝64°，∴．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵∠C＝∠AEB-∠EBC＝70°-32°＝38°，∴∠CAD＝90°-38°＝52°  (2)①当∠EFC＝90°时，∠BEF＝90°-∠EBC＝90°-32°＝58°．②当∠FEC＝90°时，∠EFC＝90°-∠C＝90°-38°＝52°，∴∠BEF＝∠EFC-∠EBC＝52°-32°＝20°．综上所述，∠BEF的度数为58°或20°  23.本小题分 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，那么我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，． 求，的度数； 若是中边上的高，则，是“友爱三角形”吗？为什么？ 如图，在中，，，是边上一点不与点，重合，连接D.若是“友爱三角形”，请直接写出的度数． 【答案】(1)①∠A=60°，∠B=30° ②△ACD，△BCD都是“友爱三角形”． 理由：∵CD是△ABC中AB边上的高， ∴∠ADC=∠BDC=90°． ∵∠A=60°，∠B=30°， ∴∠ACD=30°，∠BCD=60°． 在△ACD中，∵∠A=60°，∠ACD=30°， ∴． ∴△ACD是“友爱三角形”． 在△BCD中，∵∠BCD=60°，∠B=30°， ∴．∴△BCD是“友爱三角形”． (2)33°或38°  24.本小题分 【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边长为，，的三角形是“好运三角形”． 【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； 【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是不是“好运三角形”． 【答案】(1)4  (2)设AB＝x（x为偶数），则BC＝12-x，∴  解得4＜x＜8．∵x为偶数，∴AB＝x＝6．∴BC＝12-6＝6．  又∵AC＝4，∴△ABC是“好运三角形”．  第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章三角形（进阶） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是  (    ) A. B. C. D. 2.在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图其中是点的对应点，其中线段一定是的中线的是(    ) A. B. C. D. 3.优质的教育资源是社会民生问题，在侯马市委、市政府的关心和支持下，侯马市新二中建设如火如荼，预计今年月份完工并投入使用，如图是建设中采用的三角形钢结构架，这其中蕴含的数学道理是(    ) A. 两点之间，线段最短 B. 三角形任意两边之和大于第三边 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 4.如图，点，，在同一条直线上，若，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，，于，下列结论错误的是(    ) A. 图中有三个直角三角形 B. C. D. 和都是的余角 6.有四根长度分别为，，，为正整数的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，甲、乙分别给出了下列结论，判断正确的是    ． 甲：的取值可能有个； 乙：组成的三角形中，周长最大为． A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 甲正确，乙不正确 D. 甲不正确，乙正确 7.一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，将沿折叠，使点落在点处，且平分，平分若，则的度数为  (    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，分别平分，，为外角的平分线，交的延长线于点，记，，给出下列结论，其中错误的是    ． A. B. C. D. 10.如图，已知的面积为，分别倍长延长一倍边，，得到，再分别倍长边，，得到，，按此规律，倍长次后得到的的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.三角形三边长分别为，，则的取值范围是          ． 12.等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是______． 13.如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为          ． 14.如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则          ． 15.如图，在中，为延长线上一点，平分，平分，若，则的度数为          ． 16.如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在直线上的点处．当为直角三角形时，的度数为          ． 17.如图，是的中线，是边上一点，，与相交于点若的面积为，则          ． 18.如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的角平分线与的平分线交于，若，则的度数为          ． 三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在中，，分别是边上的中线和高，，求和的长． 20.本小题分 已知的三边长分别为，，． 化简： 若，，且三角形的周长为偶数． 求的值； 判断的形状． 21.本小题分 如图，点，，在同一直线上，． 求证：； 求证：． 22.本小题分 如图，在中，于点，平分若，． 求的度数； 若为线段上的任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 23.本小题分 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，那么我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，． 求，的度数； 若是中边上的高，则，是“友爱三角形”吗？为什么？ 如图，在中，，，是边上一点不与点，重合，连接D.若是“友爱三角形”，请直接写出的度数． 24.本小题分 【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边长为，，的三角形是“好运三角形”． 【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； 【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是不是“好运三角形”． 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $