精品解析：上海市实验学校2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

6学科网 命组卷网 2026届上海实验学校高三上开学摸底考数学试卷 一、填空题 1.若1e{e,a, 若实数a的值为 【答案】-1 【解析】 【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数的值 【详解】因为1∈{女，a,故a2=1或a=1,故a=-1或a=1, 若a=1时， a2=a ,与元素的互异性矛盾： 当a=-l,{a={l. 符合题意： 故a=-1, 故答案为：-1 2.设i为虚数单位，复数2=(1+2-i),则mc=一 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则化简得z=3+i,根据虚部概念求解即可 【详解】依思意，2=(1+i2-i)=3+i,所以lme=l 故答案为：1 3.关于的方程 x-1|+|4-x=3 的解集为。 【答案】 {x1≤x≤4 【解析】 【分析】分x≤1,1<x<4,x≥4三种情况讨论求解即可. 第1页/共22页 命学科网命组卷网 x-1川+|4-x=3 【详解】由 当x≤1时，方程为1-x+4-x=3,解得x=1: 当1<x<4时，方程为x-1+4-x=3,即3=3，恒成立； 当x≥4时，方程为x-1+x-4=3,解得x=4, 综上所述，方程x-1川+川4-x非3的解集为{1≤x≤4号 故答案为：{≤x≤4 4已知f(y)=sin2x,且m 【答案】-2 【解析】 【分析】根据导数的定义可求极限值 【详解】由题f()=2c0s2x’吗 lim 货小且f-2am=2 故答案为：一2 1.2 二+-=Vab 5.若正实数a,b满足ab ,则ab的最小值是 【答案】 2V2 【解析】 【分析】由基本不等式放缩得出关于b的不等式，然后解不等式得结论. 2 1+2=ab≥2 12 5 【详解】由己知ab √ab,解得ab≥2√2，当且仅当a6即a=24,b=24时等号成立， 第2页/共22页 6学科网 命组卷网 故答案为： 2W2 C x2y2 6.双曲线 =1 42=的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若PO=PF,则 △PFO 的面积为 32 【答案】4 【解析】 【分析】计算双曲线的渐近线，过点P作x轴垂线，根据P0=PA,计算aPF0的面积 【详解】双曲线 C: =1 42 ,一条渐近线方程为：ys2 2 0F=V6 过点P作x轴垂线PM, PO=PF 0M=10F=16 2 PM-2y 16_ 222 aPF0的面积为2×6x53 1 24 3V2 故答案为4 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，三角形面积，意在考查学生的计算能力 7.已知集合4={a,b,cd,B=L,23,f:A→B为从定义域A到值域B的函数，且()=l有两 个不同的实数根，则这样的函数个数为 【答案】12 第3页/共22页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】由题意可知，函数值1可以从集合A中选择两个元素与之对应，集合A中剩余的两个元素分别与 23 对应，结合分步乘法计数原理可得结果. 2 【详解】由题意可知，函数值可以从集合A中选择两个元素与之对应，有4种方法， 集合B中的元素2可从集合A中剩余的两个元素选一个与之对应，有2种方法， 集合B中的元素3只能对应集合A中剩余的最后一个元素，有1种方法， 由分步乘法计数原理可知，满足条件的函数个数为C×2×1=12种 故答案为：12. 8.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”， 已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列a,}, 该数列的前3项成等差数列，后7 项成等比数列，且4=1,4=12,4=192，则4 【答案】2 【解析】 【分所】方法：夜前3项的公差为心。后项公比为9>0，利用等比疑送本量新运究球得9=2 ,由 4=1+2d= g得d=1即可求解。 方法二：利用等比数列性质得4=48及凸=3。 ，然后利用等差中项性质求解即可. d 【详解】方法一：设前3项的公差为“，后7项公比为 9>0 则9=2=192-16 412 ,且g>0,可得q=2, 第4页/共22页 6学科网 列组卷网 则4=1+2d= q2,即1+2d=3,可得d=1'可得a2=4+d=2. 方法二：因为{a,}3≤n≤7为等比数列，则G=4,4=12×192=48 且9，>0 所以8=48 又因为G-44:别4=三=3 4=3:枚4-8+4=2 2 故答案为：2 9.如图，设点P为正四面体A-BCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组 成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有一个. 【答案】10 【解析】 【分析】根据分类计数原理求解即可. 【详解】符合条件的点P有两类：一，六条棱的中点；二，四个面的中心： 集合M中有且只有2个元素，符合条件的点P有4+6=10个. 故答案为：10 10已知袋中有9+n(≥2m∈N)个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球n个，从中任取两个球， 取出的两球是一黄一红的概率为B,则P的最大值为 P (用最简分数表示)· 9 9 【答案】17#17 第5页/共22页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】利用超几何分布求概率，利用对钩函数单调性来求最大值即可 c.= P.= 9n 18n 18 n+9(n+8)n2+17n+72 72 【详解】根据题意可得： n+17+ 2 n 72 由于函数少=x+ 在区间（Q,6√)上单调递减，在区间(6W2,+如）上单调递箱， 62≈6×1.414=8.484，所以比较834号8 <189 可知n +2≥17，所以n+17+2347 n n 9 故答案为：17 11.现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图），其杯口内径为4cm,深8cm,现将一半径为 cm的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则”的取值范围为 【答案】 02 【解析】 【分析】由题意，问题转化为杯壁任一点到小球球心的距离最小值在杯底处取到.建立直角坐标系设半椭 第6页/共22页 命学科网命组卷网 圆上任一点P(x,y),球心D(0,),将PD最值转化为函数了少=16y一2少+ 最值研究即可： 【详解】以杯口内径为短轴，杯深为长半轴，建立如图所示的直角坐标系， y+=10≤0) 故可设半椭圆轴截面方程为644 设小球球心为D0,0,1∈(-8，+0），P(x八为半椭圈上任一点， 则PD-r+0--8-2y*f*4,其tye80 0-8-25r+4 16 y= 16158 则函数图象的对称轴为》=5，当 时， 即当8<1s15 时，函数f0y)在【一8,0单调递增， 则当y=-8时，PD取最小值，此时小球放入玻璃杯中，小球可以接触杯底 单调递减， y=-8 即最小值必不在 处取到，故此时小球放入玻璃杯中，小球不接触杯底 综上所述，小球入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则半径，的取值范围为 2 故答案为： 02 第7页/共22页 6学科网6组卷网 12.已知b≥a>0,若存在实数x,y满足0≤x≤a,0≤y≤b,(x-a+(y-b)}=x2+b2=a2+y2 b 则a的最大值为 2W5 【答案】3 【解析】 【详解】设4A(0,b),B(x,0),C(a,b-),由(x-a+(y-b=r+=a+严得△MBC为等边三 角形，设△1BC边长为m, 过C作CH⊥x轴与H,则 b= cos0 AH=0-a=mw0-君}=m0,m0-分 2W5 ∴当0=0时， a 3, 2W5 故答案为3。 第8页/共22页 6学科网命组卷网 二、单选题 134ms 2”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0垂直”的 A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线垂直求出m的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果， (m+2)x+3my+1=0 (m-2)x+(m+2)y-3=0 【详解】因为直线 与直线 垂直， 1 则(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,即(m+2)(4m-2)=0,解得m=-2或"2： 1 m= 因此由“ 2”能推出“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0垂直”，反之不 能推出， 1 m= 所以“ 2”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0垂直”的充分非必要条 件 故选B 【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的 判定条件即可，属于常考题型 14.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表 示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的 第9页/共22页 6学科网6组卷网 球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是T,则() A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 61 【详解】 用-名Gr网-6P)-名6. 6 P甲丙=0≠P甲)P丙，P甲刀)==P甲P() 36 PZ丙=36*PZ)P丙.P俩)=0≠PT)P丙， 故选：B A,B P(A)P(B)=P(AB) 【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立 15.已知a,beR且ab≠0，若(x-ax-b(x-2a-b)≥0在x20上恒成立，则（) A.4<0 B.a>0 c b<o D.B>0 【答案】C 【解析】 【分析】对4，力的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答案。 【i详解】由ab≠0得a≠0，b≠0，f()=(x-a(x-b)(x-2a-b)=0→x=a,5=b,x=2a+b ①老a>0,b>0,则2a+b>0,且2a+b>a,2a+b>b, 第10页/供22页 6学科网命组卷网 根据穿根法可知x∈(a,2a+b)或x∈(6,2a+b)时不符合题意，合去； >0,b< ②若 ,要满足题意则a=2a+b>b→a+h=0,符合题意，如图所示： y=f(x) a=2a+b ③当4<0，b>0 时，同理要满足题意需2a+h=b>a→Q=0,与前提矛盾， ④当a<0,b<0,此时2a+b<0,则f(=(x-a(x-b(x-20-b)的三个零点都是负数，由穿根 法可知符合题意： 综上可知满足(x-(x-bx-2a-b)≥0在x之0恒成立时，只有b<0满足题意 故选：C 16设正数ab,c不全相等，bc=l,函数f(四-(+)+b+c）.关于说法 ①对任意a,bcf()都为偶函数， ②对任意a6,cf(x在[0.01,0.02]上严格单调递增。 以下判断正确的是() A.①、②都正确 B.①正确、②错误 C.①错误、②正确 D.①、②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断@：变形的数) 利用导数探讨单调性即可判断②： 【详解】函数f)=0+l+b1+c)的定义域为R,而bc=1, 第11页/共22页 6学科网命组卷网 对于0，f(-=1+aX1+b*1+c)=0+41+b0+c) (abe)* =0+r)1+h1+c)=f四，因此函数f)是偶函数，①正确： 对于@，f四=0+a+b+cI+c=2+d+a*+h+b+c+c 当x>0时，令8=a+a,求号相8=(a-a)血a, 当0<a<1时，ha<0,函数y=a-a在0，+o)上递减，则0-a<0,因t8(>0, 当a>l时，lha>0,函数y=a-a在0，+o)上递增，则4-a>0,因此8()>0 从而函数3)=+a在0，+w)上造增，同理)=b+b,y=c+c在0，+切)上都递增。 于是四在0，+切)上严格单调增，②正痛， 在 故选：A 【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函 数为奇西数或偶两数的必要非充分条件：②代-)=-f(田或心-)= 是定义域上的恒等式 三、解答题 17.如图，直三棱t柱4BC-ABG中，∠BAC=90,MB=AC=2,M4=4,D为BC的中点，E 为CC上的点，且 第12页/供22页 6学科网命组卷网 B B (1)求证：BB1平面1DB (2)求二面 B-AB,-D的大小。 【答案】（山）证明：在直三枝柱1BC-4BG中，∠BAC=90,显然射线MB,AC,AM两两垂直， 以点A为原点，射线1B,1C,14的方向分别为元少2轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 因为=hC=2,4=4,D为C佰中点，B为CG上的点.日C4=CC】 则A0,0,0,B(2,0,0),B(2,0,4),D(11,0),E0,2,1).AB=(2,0,4,AD=11,0),BE=(-2,2,1) 于是AB·BE=2×(-2)+4x1=0,AD·BE=Ix(-2)+1x2=0,即AB1BE,AD⊥BE ADOAB=A,AD,ABC平面MDB 而 ADB 所以BE⊥平面 第13页/供22页 命学科网组卷网 B (2) D 2 arccos 3 【解析】 【分析】(1)以点A为原点，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答 (2)由(1)中坐标系，利用空间向量求二面角大小作答 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由4)知，平面1DB的一个法向量BE=(-2,21,而平面4BB的一个法向量n=(0,10 B-AB-D 显然二面角 的平面角为锐角，设其大小为日， cos=cos(BE,)= BE.22 于是 BE团3x13,则B=arccos 3 防以二面约B-极-D衍人小为am号 18对于函数f四与8)，记集合Dpg={xf)>g(x)} 1)设f四=248)=x+3,求集合D, （2)设四=x-1,)=+a-3+1,)= ,若RAUDN=R,求实数a的取值范围 第14页/供22页 6学科网命组卷网 【管1@(-u(6+w）a号 9 【解析】 【详解】试题分析：(1)直接根据新定义解不等式即可， )+a.3+1>0 (2)由题意可得3 在R上恒成立，变量分离转求最值，即可求出a的取值范围， 试题解析： (1)当x≥0得2x>x+3,x>3 得 当0时，得-2xx+3,x<-1 ∴.Dpg=(-0,-lU(3,+∞) s-+e女gas410 DD>h=R,Dh2(-0,1] 即不等式3 y产+a3+1>0 在x≤1恒成立 .g⑥ 恒成立， g座 时大值为一号 a79 故 点睛：不等式恒成立问题主要处理方式为变量分离，即把两个变量分离到不等式的两边，构造新函数，从 而把问题转化为新函数的最值问题. 19.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以 额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需 第15页/供22页 命学科网命组卷网 决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易 损零件数，得下面柱状图： 不频数 40--- 20 0891011更换的易损零件数 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器 三年内共需更换的易损零件数，”表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列： P(X≤n)≥0.5 (2)若要求 确定”的最小值： (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？ 【答案】(1)X的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)19 (3)应选n=19【解析】 【分析】(1)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22，分别求出相应的概率，由此能求 出X的分布列： (2)由X的分布列求出P(X≤18)=0.44.P(X≤19)=0.68 由此能确定满足P(X≤n)≥0.5中n 的最小值： (3)购买零件所用费用含两部分，一部分为最初购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费 用，分别求出n=19时费用的期望和当n=20时费用的期望，从而得到买19个更合适. 【小问1详解】 由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为 第16页/共22页 6学科网6组卷网 0.2,0.4,0.2,0.2,从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04P(X=17）=2×0.2×0.4=0.16 P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.08+0.16=0.24 P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.08+0.16=0.24 P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.16+0.04=0.20 P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08P(X=22)=0.2×0.2=0.04 所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 【小问2详解】由(1)知 P(X≤18)=0.04+0.16+0.24=0.44<0.5 P(X≤19)=0.04+0.16+0.24+0.24=0.68>0.5 P(X≤n)≥0.5 因为 故”的最小值为19. 【小问3详解】 购买零件所用费用含两部分，一部分为最初购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.设 Y为购买零件所用费用（单位：元）， 当n=19时，费用的期望为 (Y)=19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040 当n=20时，费用的期望为E(Y)=20×200+500x0.08+1000×0.04=4080 4040<4080 n=19 ,即当 n=20 时所需费用的期望值小于 时所需费用的期望值， 故应选n=19 20.已知 P,2)在抛物线C:y=2px上，过点0，D的直线l与抛物线C有两个不同的交点4，B,且 第17页/共22页 6学科网列组卷网 直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N (1)求抛物线C的方程； (2)求直线1的斜率的取值范围： 1.1 (3)设0为原点，QM=2Q0,QN=4Q0,求证：2u为定值. 【答案】(1)y2=4x （2)（-0,-3U(-3,0U0,1） (3)定值为2 【解析】 【分析】(I)将点P的坐标代入即可求出抛物线C的方程. (2)设出直线1方程，联立直线1与抛物线C的方程，借助判别式△>0即可计算得解. (3)利用给定的向量关系，用点M,N的纵坐标表示九和“，结合（②）的信息并借助韦达定理即可计算作答 【小问1详解】 因点P,2)在揽物线C:广=2p上，则2=2p1,解得P=2, 所以抛物线C的方程为 2=4x 【小问2详解】 y=kx+1 令直线的斜率为飞，则直线方程为： y=kx+1 由y2=4x消去y并整理得：K2x2+2(k-2)x+1=0, k2≠0 因直线)与抛物线C有两个不同的交点A、B,则1△=4k-2)2-4k2>0,解得k<1且k≠0' 又直线A,PB与y轴相交，而点(1，-2)在抛物线C上，则直线1不能过点(1，-2)， 第18页/共22页 6学科网6组卷网 否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此k≠-3， 综上得：k<1,k≠0且k≠-3， （-o,-3)U(-3,0)U(0,1) 所以直线的斜率的取值范围 【小问3详解】 设点M(0,wbN0,w),M=0,w-),Q0=(0,-),而QM=00,则1=1-h,同理 4=1-yN 2k-41 设4，bB,）,由2+5=-e,京， y-2=2-4x-) 直线pM方程：-2二化-)即 1-x1 1、 ,则y-2=,4x-. 4 2+y 2y 2y2 令x=0,得w2+巧，同理2+2， 1+1=1+1=2+丛+2+2=8-2yy=8-2(c+10,+0) 于是得元41-yM1-yw2-片2-2(2-2-y2)(-c)1-x) =8-5++5+_8-2-k2头4， e08涨2x4 1-k(x+x2)+k2xx2 1+k.2k4 2左之4公4 k2 1,1 所以24为定值2. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（①）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关： (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 21.已知函数f()=lnr.8()=)ar2+bxa≠0 第19页/供22页 6学科网命组卷网 1)对于任意的x>0,求证f()≤x-l, (②若b=2,日h)=f(✉)8()存在单调莲减区间，求实数口的取值范国 (3)设函数f(x)的图象G与函数8(？)的图象C,交于点P,卫，过线段P巴的中点作x轴的垂线分别交 G,G于点M,N,证明：C在点M处的切线与C在点W处的切线不平行 【答案】(1)证明：令F(x)=f()-x+1=nr-x+1 则F()=11=1-x x, 当x(0,时.F'(>0,则函数F(四在O,1)上单调遥增。 当xc(（山，+o)时，F'(女)<0，则函数F(x)在(（L,+o)上单调递减， 于是F()sF()=0.故lnx-x+1s0,即f(c)≤x-l (2)（-1,0U(0,+o) (3)证明：如图，设点P的坐标分别为：，少)(：，乃)，0<x<, 1 2 则点M,N的横华标为x=卢，因了(-王则C在点M处的切线斜宰 2 k=x+五名+ 2 第20页/供22页 6学科网6组卷网 又因8(x)=r+b,则C2在点N处的切线斜率为 2=as+2+b 2 2=a(s+）+b 假设C在点M处的切线与C,在点N处的切线平行，则k=k2,即x+x2 2》--+6b6--号5+)-号+)=为-%=-， 则X+x2 2(-10 h= 即“x1+5,设1=点，则=2-少，@ 1+tt>1 2s1r0-片0 令)=r-2-), 所以在（，+o)上单调递增，故>r(0=0, 则ms2业-) 1+t，这与①矛盾，假设不成立， 放C在点M处的切线与C在点N处的切线不平行。 【解析】 【分折】（山）令F()-f()-x+1=血x-x+1,利用求导判断函数的单调性，求得极值，即可证明结 论； (2)将函数 ()存在单调递减区间转化为h()<0有解，即m2+2x-1>0有正数解，利用参变分离 法即可求得参数a的取值范围； (3)设点P的坐标分别为(：，乃)，(：，乃)，0<<5，分别求出G在点M处的切线斜率k与C在 第21页/供22页 6学科网列组卷网 2(2-10 In= 点处的切线斜率，假设两切线平行，由 推得“1+点，设1=点，则-2-少. N k k=k x 1+t 1>1@.构适函数)=m- 2-),通过求导，判断函数的单调性，推得> 、2(t-1) 1+t 1+t，与 ①矛盾，说明假设不成立，从而结论得证 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当6=2时， h(x)=lnx-Iax'-2x 2 则h)=}m-2=-m2+2x-1 因为函数h()存在单调递减区间，所以()<0有解， 又因为r>0,则+2x-1>0有正数解， >2-21a0 故a的取值范围为-1,0)U(0,+∞) 【小问3详解】 略 第22页供22页 2026届上海实验学校高三上开学摸底考数学试卷 一、填空题 1. 若，若实数的值为_______. 2. 设i为虚数单位，复数，则______． 3. 关于的方程的解集为________________． 4. 已知，且_______ 5. 若正实数满足，则的最小值是___. 6. 双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为__________ 7. 已知集合，，为从定义域到值域的函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为_______. 8. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则______． 9. 如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有________个. 10. 已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为______（用最简分数表示）. 11. 现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图），其杯口内径为，深，现将一半径为的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则的取值范围为________. 12. 已知，若存在实数满足，，则的最大值为__________． 二、单选题 13. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 15. 已知且，若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 16. 设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 三、解答题 17. 如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且． （1）求证：BE⊥平面； （2）求二面角的大小． 18. 对于函数与，记集合. （1）设，求集合； （2）设，若，求实数的取值范围. 19. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求的分布列； （2）若要求，确定的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 20. 已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N. （1）求抛物线C的方程； （2）求直线的斜率的取值范围； （3）设O为原点，，求证：为定值. 21. 已知函数．, （1）对于任意的，求证； （2）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $