精品解析：上海市实验学校2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试卷

2026届上海实验学校高三上开学摸底考数学试卷 一、填空题 1. 若，若实数的值为_______. 2. 设i为虚数单位，复数，则______． 3. 关于的方程的解集为________________． 4. 已知，且_______ 5. 若实数，满足，则的最小值为________． 6. 双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为__________ 7. 已知集合，，为从定义域到值域的函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为_______. 8. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则______． 9. 如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有________个. 10. 已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为______（用最简分数表示）. 11. 现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图），其杯口内径为，深，现将一半径为的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则的取值范围为________. 12. 已知，若存在实数满足，，则的最大值为__________． 二、单选题 13. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 15. 已知且，若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 16. 设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 三、解答题 17. 如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且． （1）求证：BE⊥平面； （2）求二面角的大小． 18. 对于函数与，记集合. （1）设，求集合； （2）设，若，求实数的取值范围. 19. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 20. 已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N. （1）求抛物线C的方程； （2）求直线的斜率的取值范围； （3）设O为原点，，求证：为定值. 21. 已知函数．, （1）对于任意的，求证； （2）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届上海实验学校高三上开学摸底考数学试卷 一、填空题 1. 若，若实数的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数的值. 【详解】因为，故或，故或， 若时，，与元素的互异性矛盾； 当，，符合题意； 故， 故答案为： 2. 设i为虚数单位，复数，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则化简得，根据虚部概念求解即可. 【详解】依题意，，所以 故答案为：1 3. 关于的方程的解集为________________． 【答案】 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】由， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，即，恒成立； 当时，方程为，解得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 4. 已知，且_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义可求极限值. 【详解】由题，, 故答案为： 5. 若实数，满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得=≥2=2，由不等式的性质变形可得． 【详解】∵正实数a，b满足， ∴=≥2=2， ∴ab≥2 当且仅当=即a=且b=2时取等号． 故答案为2． 【点睛】本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题． 6. 双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】计算双曲线的渐近线，过点P作x轴垂线，根据，计算的面积. 【详解】双曲线，一条渐近线方程为： 过点P作x轴垂线PM， 的面积为 故答案为 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，三角形面积，意在考查学生的计算能力. 7. 已知集合，，为从定义域到值域的函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，函数值可以从集合中选择两个元素与之对应，集合中剩余的两个元素分别与、对应，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，函数值可以从集合中选择两个元素与之对应，有种方法， 集合中的元素可从集合中剩余的两个元素选一个与之对应，有种方法， 集合中的元素只能对应集合中剩余的最后一个元素，有种方法， 由分步乘法计数原理可知，满足条件的函数个数为种. 故答案为：. 8. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，利用等比数列基本量的运算求得，由得，即可求解． 方法二：利用等比数列性质得及，然后利用等差中项性质求解即可. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得，可得． 方法二：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则；故. 故答案为：2 9. 如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据分类计数原理求解即可． 【详解】符合条件的点有两类：一，六条棱的中点；二，四个面的中心； 集合中有且只有个元素，符合条件的点有个． 故答案为： 10. 已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为______（用最简分数表示）. 【答案】## 【解析】 【分析】利用超几何分布求概率，利用对钩函数单调性来求最大值即可. 【详解】根据题意可得：， 由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 而，所以比较 可知，所以， 故答案为：. 11. 现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图），其杯口内径为，深，现将一半径为的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，问题转化为杯壁任一点到小球球心的距离最小值在杯底处取到.建立直角坐标系设半椭圆上任一点，球心，将最值转化为函数最值研究即可. 【详解】以杯口内径为短轴，杯深为长半轴，建立如图所示的直角坐标系， 故可设半椭圆轴截面方程为， 设小球球心为，为半椭圆上任一点， 则，其中， 设， 则函数图象的对称轴为，当时， 即当时，函数在单调递增， 则当时，取最小值，此时小球放入玻璃杯中，小球可以接触杯底 且； 当时，，则函数在单调递减， 即最小值必不在处取到，故此时小球放入玻璃杯中，小球不接触杯底. 综上所述，小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则半径的取值范围为. 故答案为：. 12. 已知，若存在实数满足，，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设，由 得为等边三角形，设边长为，，过作轴与，则，∴， ∴当 时，， 故答案为. 二、单选题 13. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为直线与直线垂直， 则，即，解得或； 因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件. 故选B 【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型. 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 15. 已知且，若在上恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对的符号分正负两种情况讨论，结合穿根法及三次函数的性质分析即可得到答案． 【详解】由得， ①若，则，且，， 根据穿根法可知或时不符合题意，舍去； ②若，要满足题意则，符合题意，如图所示； ③当时，同理要满足题意需，与前提矛盾； ④当，此时，则的三个零点都是负数，由穿根法可知符合题意； 综上可知满足在恒成立时，只有满足题意. 故选：C ． 16. 设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确、②错误 C. ①错误、②正确 D. ①、②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义判断①；变形函数，利用导数探讨单调性即可判断②. 【详解】函数的定义域为R，而， 对于①， ，因此函数是偶函数，①正确； 对于②，， 当时，令，求导得， 当时，，函数在上递减，则，因此， 当时，，函数在上递增，则，因此， 从而函数在上递增，同理在上都递增， 于是在上严格单调增，②正确， 故选：A 【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②或是定义域上的恒等式． 三、解答题 17. 如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且． （1）求证：BE⊥平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明：在直三棱柱中，，显然射线两两垂直， 以点为原点，射线的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 因为，，D为BC的中点，E为上的点，且， 则，， 于是，即， 而平面， 所以BE⊥平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）由（1）中坐标系，利用空间向量求二面角大小作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量，而平面的一个法向量， 显然二面角的平面角为锐角，设其大小为， 于是，则， 所以二面角的大小为. 18. 对于函数与，记集合. （1）设，求集合； （2）设，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接根据新定义解不等式即可， （2）由题意可得在R上恒成立，变量分离转求最值，即可求出a的取值范围， 试题解析： （1） 当得； 当 . (2) ， 即不等式在恒成立 时，恒成立， 在时最大值为， 故 点睛：不等式恒成立问题主要处理方式为变量分离，即把两个变量分离到不等式的两边，构造新函数，从而把问题转化为新函数的最值问题. 19. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 【答案】（1）的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）19 （3）应选 【解析】 【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适． 【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而 ； ； ； ； ； ； ． 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）由（1）知，，故的最小值为19． （3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用. 当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040； 当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080. 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选． 考点：离散型随机变量及其分布列 20. 已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N. （1）求抛物线C的方程； （2）求直线的斜率的取值范围； （3）设O为原点，，求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3）定值为2 【解析】 【分析】(1)将点P的坐标代入即可求出抛物线C的方程. (2)设出直线l方程，联立直线l与抛物线C的方程，借助判别式即可计算得解. (3)利用给定的向量关系，用点M，N的纵坐标表示和，结合(2)的信息并借助韦达定理即可计算作答. 【小问1详解】 因点在抛物线上，则，解得， 所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 令直线的斜率为k，则直线方程为：， 由消去y并整理得：， 因直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，则，解得且， 又直线PA，PB与轴相交，而点(1，-2)在抛物线C上，则直线不能过点(1，-2)， 否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此， 综上得：，且， 所以直线的斜率的取值范围. 【小问3详解】 设点，，，而，则，同理， 设，由(2)知， 直线方程：，即，则， 令，得，同理， 于是得 ， 所以为定值2. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 已知函数．, （1）对于任意的，求证； （2）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行． 【答案】（1）证明：令， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 于是，故，即． （2） （3）证明：如图，设点的坐标分别为， 则点的横坐标为，因，则在点处的切线斜率为， 又因，则在点处的切线斜率为， 假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即， 则， 即，设，则， ① 令，则， 所以在上单调递增，故， 则，这与①矛盾，假设不成立， 故在点处的切线与在点处的切线不平行． 【解析】 【分析】（1）令，利用求导判断函数的单调性，求得极值，即可证明结论； （2）将函数存在单调递减区间转化为有解，即有正数解，利用参变分离法即可求得参数的取值范围； （3）设点的坐标分别为，分别求出在点处的切线斜率与在点处的切线斜率，假设两切线平行，由推得，设，则， ①，构造函数，通过求导，判断函数的单调性，推得，与①矛盾，说明假设不成立，从而结论得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 则， 因为函数存在单调递减区间，所以有解， 又因为，则有正数解， 由，因， 故的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $