2.3专题 点、线对称问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题 点、线对称问题 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 7．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） A．直线必过定点 B．点关于直线对称的点是 C．直线的斜率为 D．点到的距离是 10．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线，则下述正确的是（   ） A．直线始终过第二象限 B．时，直线的倾斜角为 C．时，直线l关于原点对称的直线方程为 D．时，原点关于直线对称的点 三、填空题 12．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为 . 13．（24-25高二上·天津·期中）三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 14．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 四、解答题 15．（24-25高二上�福建龙岩�阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 16．（2024高三·全国·专题练习）求直线关于直线对称的直线的方程． 17．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 18．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 19．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 点、线对称问题 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据中点坐标公式求解即可. 【详解】设点坐标为， 则由题意可得，解得， 所以点坐标为, 故选：B 2．（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求两点的对称轴 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 4．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 6．（23-24高二上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【知识点】直线围成图形的面积问题、求点关于直线的对称点、求直线关于点的对称直线、直线关于直线对称问题 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 7．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线过定点问题、求直线关于点的对称直线 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 8．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 二、多选题 9．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）下列说法中，正确的有（   ） A．直线必过定点 B．点关于直线对称的点是 C．直线的斜率为 D．点到的距离是 【答案】ACD 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线过定点问题、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】将直线方程变形，可求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；利用点与点关于直线对称，求出点关于直线对称的点的坐标，可判断B选项；求出直线的斜率，可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线方程可化为， 由可得，所以，直线必过定点，A对； 对于B选项，设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 所以，点关于直线对称的点的坐标为，B错； 对于C选项，直线的斜率为，C对； 对于D选项，点到的距离是，D对. 故选：ACD. 10．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】已知直线垂直求参数、求点关于直线的对称点 【分析】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的中点，代入直线的方程，求出，再利用两直线垂直关系求出. 【详解】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得， 故选：AC. 11．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线，则下述正确的是（   ） A．直线始终过第二象限 B．时，直线的倾斜角为 C．时，直线l关于原点对称的直线方程为 D．时，原点关于直线对称的点 【答案】AD 【知识点】直线的倾斜角、直线过定点问题、轨迹问题——直线、求点关于直线的对称点 【分析】直线恒过定点，可判断 A选项；时，直线，斜率为1，所以倾斜角为，可判断B选项；时，直线，利用相关点法求关于原点的对称直线，可判断C选项；设对称的点为，根据点关于线对称列式求解即可判断D . 【详解】对于选项A：直线，可变形为， 令，解得，即直线恒过定点， 所以直线始终过第二象限，故A正确； 对于选项B：当时，直线，斜率为1，所以倾斜角为，故B错误； 对于选项CD：当时，直线， 设对称的直线上任取一点，则点关于原点对称的点为， 可得，即， 所以直线l关于原点对称的直线方程为，故C错误； 设原点关于直线对称的点为， 则，解得， 所以原点关于直线对称的点，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为 . 【答案】4 【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值. 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和，如图， 点关于的对称点为，， 当点三点重合时，最小，最小值为4. 故答案为：4 13．（24-25高二上·天津·期中）三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、将军饮马问题求最值 【分析】利用轴对称求得对称点，结合图象，可得答案. 【详解】由，则其关于轴的对称点为， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 作图如下： 的周长. 故答案为：. 14．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是 . 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点C，从而将题目问题转化为求解. 【详解】如图， 点关于直线的对称点为，则，即， 解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程为. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上�福建龙岩�阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】求点关于直线的对称点、求直线关于点的对称直线、直线关于直线对称问题 【分析】（1）设对称点为，由与直线垂直，中点在直线上列方程组求解； （2）求出与的交点坐标，再求出直线上一点关于直线的对称点的坐标，由这两点可得直线方程； （3）设直线关于点对称的直线方程为，由点到这两条平行线间距离相等求解． 【详解】（1）设点P的对称点为， 则，解得， 所以对称点坐标为； （2）由，解得，即直线与的交点为， 点是直线上的一点，设它关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，所以直线的方程为，即； （3）设直线关于点对称的直线方程为， 由，解得（舍去）或， 所以对称直线方程为． 16．（2024高三·全国·专题练习）求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】法一，联立方程解出和的交点坐标，直线也过该点，在直线上取一点，求出点M关于直线l的对称点坐标，由两点式可得到直线的方程；法二，联立方程解出和的交点坐标，设直线的斜率为，由点斜式设出直线的方程，在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等，求出，即可求得直线的方程；法三，由于对称轴的斜率为，可用直接代入的方法：把，代入的方程，即可求得直线的方程. 【详解】解法一：由，得两直线的交点， 在直线上取一点，设点M关于直线l的对称点为， 则，解得，由题意知经过此点， 则由两点式得，即， 所以的方程为． 解法二：由解法一得，设直线的方程为，即， 在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等， 即，解得或（舍去）． ∴的方程为． 解法三：由于对称轴的斜率为， 可用直接代入的方法：把，代入， 得，即， ∴的方程为． 【点睛】方法点睛：解法三，凡对称轴方程的斜率为，均可用代入法．如果对称轴方程的斜率不为，则不能用此法，只能用上述的解法一和解法二． 17．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】（1）求出，再写出点斜式方程即可； （2）取点，求出其关于直线的对称点坐标，再利用点斜式方程即可. 【详解】（1）令，则，解得， 则，因为直线的斜率，则， 则直线的方程为，即. （2）取点，设其关于直线的对称点， 则，解得. 则点所在的直线的方程，即.    18．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】(1) (2) 【知识点】由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点 【分析】（1）利用垂直关系得到直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）设点坐标，利用已知信息求得点坐标，再求点关于直线的对称点，由两点式可求直线方程. 【详解】（1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 19．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【知识点】相等向量、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求； （2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案. （3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积. 【详解】（1）设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. （2）直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. （3）， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 对称问题 题型1 点关于直线对称 4 题型2 直线关于点对称 6 题型3 直线关于直线对称 7 题型4 入射光线与反射光线的对称问题 11 题型5 利用对称解决线段的和、差最值问题 15 知识点一 对称问题 对称问题主要有以下几类：(1)点关于点的对称问题；(2)点关于线的对称问题；(3)线关于点的对称问题；(4)线关于线的对称问题. 1．点关于点的对称问题 点关于点的对称点满足：点是线段的中点.此类问题利用中点坐标公式求解. 设点坐标为,点坐标为,点坐标为, 则有即有 2．点关于线的对称问题 点关于直线的对称点满足:(1)线段与直线垂直;(2)线段的中点在直线上,列两个方程然后求解. 即 点关于线对称的求解方法：设出对称点,利用垂直(当已知点与所求对称点连线斜率和已知直线斜率存在时,斜率之积为)、平分(点与对称点连线的中点在对称直线上)解决. 一个点关于斜率为的直线对称点的求法：代求,代求,就可以得到对称点的坐标. 切记：此情况只适合斜率为±1的情况. 3．线关于点的对称问题 方法一：直线关于点对称的直线满足：(1)直线与直线平行；(2)直线上的任意一点关于点的对称点都在直线上. 方法二:若直线的方程为,点,可设直线的方程为.由点到直线和的距离相等,可列方程求解,进而可得直线的方程. 4．线关于线的对称问题 (1)求直线关于直线的对称直线的问题,分为与相交和与平行两种情况. ①若 与相交,首先求出直线与的交点,然后在直线上选择一点,求出关于直线的对称点,再由两点式或者点斜式求出直线的方程,即求出直线的方程. ②若直线与平行,则与也平行,首先变形使得直线与方程中项的系数分别相等,即,设直线的方程为 由直线到和距离相等,可列方程求解,进而可得直线的方程. 特别地,直线关于直线的对称直线为;直线关于直线的对称直线为. (2)已知直线关于直线的对称直线为,求直线的方程,这类问题只需在直线上任取一点,由点到与的距离相等即可求出直线的方程. 即可列式求出直线的方程. 注：结合几何特征,求出的直线应该有两条且相互垂直.求一个角的平分线也是用这个方法,但要数形结合舍去一条. 知识点二 利用直线的对称求距离的最值 平面内常见的距离最值问题：(1)在直线上求一点,使该点到两定点,的距离之差最大(即差最大问题)；(2)在直线上求一点,使点到平面上两定点,的距离之和最小(即和最小问题). 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差的绝对值小于第三边)可知, 1．“差最大”问题的解决方法：若,两点位于直线的同侧,则只需求出直线的方程,再求它与已知直线的交点,即得所求的点的坐标；若,两点位于直线的异侧,则先求,两点中某一点的对称点,如关于直线的对称点,得直线的方程,再求其与直线的交点即可. 2．“和最小”问题的解决方法：若,两点位于直线的异侧,则只需求出直线的方程,再求它与已知直线的交点,即得所求的点的坐标；若,两点位于直线的同侧,则先求,两点中某一点的对称点,如关于直线的对称点,得直线的方程,再求其与直线的交点即可. 题型1 点关于直线对称 1．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据中点坐标公式求解即可. 【详解】设点坐标为， 则由题意可得，解得， 所以点坐标为, 故选：B 2．（24-25高二上·福建福州·期中）点关于直线的对称点坐标是 . 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】利用中点关系和垂直关系可求对称点的坐标. 【详解】设所求对称点坐标为，则， 故，故对称点的坐标为， 故答案为： 3．（多选）（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（   ） A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 【答案】ABD 【知识点】已知两点求斜率、求点关于直线的对称点、已知直线垂直求参数 【分析】根据题意可知直线为的垂直平分线，由两直线垂直的关系表式计算可判断得出结论. 【详解】易知的中点坐标为，则点在直线上， 所以，解得， 所以直线的斜率为. 又因为，所以， 解得. 故选：ABD 4．若点与关于直线对称，则实数a，b的值分别为（    ） A．，2 B．4， C．2，4 D．4，2 【答案】D 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】由直线与已知直线垂直，及的中点在已知直线上列方程组可得． 【详解】因为点.A，B关于直线对称，所以A，B两点所在直线的斜率，即，即. 易知线段的中点在直线上，所以，所以，所以. 故选：D． 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，两点关于直线对称，由，的中点在直线上． 5．（24-25高二上�广东深圳�期末）已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2)． 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、由斜率判断两条直线垂直 【分析】（1）联立直线与方程可得，设点，则，根据点分别在直线上列方程组可得结果. （2）设，根据及线段中点在上列方程组可得结果. 【详解】（1）由得，∴. 设点，则， ∴，解得，即 ∴，故直线的方程为，即. （2）设，则的中点坐标为，， ∴，解得：，故. 题型2 直线关于点对称 6．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 7．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】求直线关于点的对称直线 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 题型3 直线关于直线对称 8．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】直线关于直线对称问题、求平行线间的距离 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 9．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【答案】 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程. 【详解】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 故答案为：. 10．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线关于直线对称问题、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 11．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线关于直线对称问题 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 12．已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【知识点】直线关于直线对称问题、求关于平行直线对称的直线 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 题型4 入射光线与反射光线的对称问题 13．（24-25高二上·全国·课后作业）一束光线从点射入，经轴上点反射后经过点，则反射光线的倾斜角为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、已知两点求斜率 【分析】设，根据反射定律得到，利用两点的坐标求斜率，建立等式求解出斜率，再求出倾斜角即可． 【详解】设，由反射定律可知， 解得，则反射光线的斜率， 所以反射光线的倾斜角为， 故答案为：． 14．（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点关于直线的对称点、直线两点式方程及辨析 【分析】先求出点关于直线的对称点，由光学知识可得反射光线经过点，，由直线的两点式即可求解. 【详解】根据题意可得反射光线经过点，易得入射光线所在直线经过点， 因为入射光线经过点，所以入射光线所在直线的方程为， 即. 故选：. 15．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求点关于直线的对称点 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 16．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【详解】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故选：B 17．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程，由于光线经过的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图直角坐标系， 可得，故直线BC的方程为， 则的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过重心，代入得， 化简得或（舍去），故，所以. 故选：D 18．（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、直角坐标系中的基本公式的应用、求平面两点间的距离、已知斜率求参数 【分析】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标； （2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标； （3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； （2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. （3）由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 题型5 利用对称解决线段的和、差最值问题 19．（24-25高二下�上海�阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    20．（23-24高二上�安徽�期中）已知在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】利用对称将三角形的周长转化为四点共线问题，求出两点之间距离即可. 【详解】设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，连接交于，交轴于， 则此时的周长取最小值，且最小值为，与关于直线对称，，解得，易求得，，即周长的最小值为. 故选：. 21．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】根据题意作图，分类讨论：当A与B重合于坐标原点O时；当A与B不重合时，从而可求得答案. 【详解】如图，设点关于y轴的对称点为P，关于x轴的对称点为Q， 则P的坐标为，Q的坐标为，则．    当A与B重合于坐标原点O时， ； 当A与B不重合时， ． 综上可知，当A与B重合于坐标原点O时， 取得最小值10． 故选：A 22．（24-25高二上�广东广州�阶段练习）已知点P在直线上，点，，则的最小值为 ，此时点P坐标为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】作图分析，结合对称性将转化为，则点与在同一直线时，最小，求得此时点坐标即可. 【详解】如图， 设关于直线的对称点为，则， 解得，则，于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时， 而，直线为， 由，得点，因此取得最小值时点坐标为. 故答案为：； 23．（24-25高二上�河南南阳�期中）已知直线：． (1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； (2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 【答案】(1)或； (2). 【知识点】求直线交点坐标、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、由两条直线平行求方程 【分析】（1）设出直线m的方程，利用平行线间距离公式列式求解. （2）求出点关于直线的对称点坐标，结合图形，利用线段和差关系确定点位置，进而求出其坐标. 【详解】（1）由直线m与平行，设直线m的方程为， 由m，之间的距离为，得，解得或， 所以直线m的方程为或. （2）设点关于直线：的对称点为， 则，解得，即， 而，当且仅当三点共线时取等号， 直线的方程为，即， 由，解得，点， 所以取得最大值时点P的坐标.    24．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【知识点】用两点间的距离公式求函数最值 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 25．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【知识点】坐标法的应用——点到直线的距离、求点关于直线的对称点 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 对称问题 题型1 点关于直线对称 4 题型2 直线关于点对称 6 题型3 直线关于直线对称 7 题型4 入射光线与反射光线的对称问题 11 题型5 利用对称解决线段的和、差最值问题 15 知识点一 对称问题 对称问题主要有以下几类：(1)点关于点的对称问题；(2)点关于线的对称问题；(3)线关于点的对称问题；(4)线关于线的对称问题. 1．点关于点的对称问题 点关于点的对称点满足：点是线段的中点.此类问题利用中点坐标公式求解. 设点坐标为,点坐标为,点坐标为, 则有即有 2．点关于线的对称问题 点关于直线的对称点满足:(1)线段与直线垂直;(2)线段的中点在直线上,列两个方程然后求解. 即 点关于线对称的求解方法：设出对称点,利用垂直(当已知点与所求对称点连线斜率和已知直线斜率存在时,斜率之积为)、平分(点与对称点连线的中点在对称直线上)解决. 一个点关于斜率为的直线对称点的求法：代求,代求,就可以得到对称点的坐标. 切记：此情况只适合斜率为±1的情况. 3．线关于点的对称问题 方法一：直线关于点对称的直线满足：(1)直线与直线平行；(2)直线上的任意一点关于点的对称点都在直线上. 方法二:若直线的方程为,点,可设直线的方程为.由点到直线和的距离相等,可列方程求解,进而可得直线的方程. 4．线关于线的对称问题 (1)求直线关于直线的对称直线的问题,分为与相交和与平行两种情况. ①若 与相交,首先求出直线与的交点,然后在直线上选择一点,求出关于直线的对称点,再由两点式或者点斜式求出直线的方程,即求出直线的方程. ②若直线与平行,则与也平行,首先变形使得直线与方程中项的系数分别相等,即,设直线的方程为 由直线到和距离相等,可列方程求解,进而可得直线的方程. 特别地,直线关于直线的对称直线为;直线关于直线的对称直线为. (2)已知直线关于直线的对称直线为,求直线的方程,这类问题只需在直线上任取一点,由点到与的距离相等即可求出直线的方程. 即可列式求出直线的方程. 注：结合几何特征,求出的直线应该有两条且相互垂直.求一个角的平分线也是用这个方法,但要数形结合舍去一条. 知识点二 利用直线的对称求距离的最值 平面内常见的距离最值问题：(1)在直线上求一点,使该点到两定点,的距离之差最大(即差最大问题)；(2)在直线上求一点,使点到平面上两定点,的距离之和最小(即和最小问题). 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差的绝对值小于第三边)可知, 1．“差最大”问题的解决方法：若,两点位于直线的同侧,则只需求出直线的方程,再求它与已知直线的交点,即得所求的点的坐标；若,两点位于直线的异侧,则先求,两点中某一点的对称点,如关于直线的对称点,得直线的方程,再求其与直线的交点即可. 2．“和最小”问题的解决方法：若,两点位于直线的异侧,则只需求出直线的方程,再求它与已知直线的交点,即得所求的点的坐标；若,两点位于直线的同侧,则先求,两点中某一点的对称点,如关于直线的对称点,得直线的方程,再求其与直线的交点即可. 题型1 点关于直线对称 1．（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）点关于直线的对称点坐标是 . 3．（多选）（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（   ） A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 4．若点与关于直线对称，则实数a，b的值分别为（    ） A．，2 B．4， C．2，4 D．4，2 5．（24-25高二上�广东深圳�期末）已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 题型2 直线关于点对称 6．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 7．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 题型3 直线关于直线对称 8．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 10．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 12．已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 题型4 入射光线与反射光线的对称问题 13．（24-25高二上·全国·课后作业）一束光线从点射入，经轴上点反射后经过点，则反射光线的倾斜角为 ． 14．（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 17．（2025高三·全国·专题练习）在等腰直角中，是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 18．（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 题型5 利用对称解决线段的和、差最值问题 19．（24-25高二下�上海�阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 20．（23-24高二上�安徽�期中）已知在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 22．（24-25高二上�广东广州�阶段练习）已知点P在直线上，点，，则的最小值为 ，此时点P坐标为 . 23．（24-25高二上�河南南阳�期中）已知直线：． (1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； (2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标．    24．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 25．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 2 学科网（北京）股份有限公司 $