专题2.3.1 点、直线对称重点题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.3.1 点、直线对称 目录 考点1 关于点对称 0 题型1 点关于点的对称点 1 题型2 直线关于点对称 2 考点2 关于线对称 3 题型3 点关于直线对称 4 题型4 直线关于直线对称 5 考点3 将军饮马求最值 9 题型5 将军饮马求最值 9 考点4 光线反射问题 13 题型6 光线反射问题 13 考点1 关于点对称 一、点关于点的对称 设点关于点的对称点为（根据点式中点可求） 二、直线关于点的对称 若两条直线关于某点对称，则这两条直线平行 方法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 方法二：（一般性方法）设所求直线上任一点,求出它关于点A的对称点，该点在直线上，将该对称点代入到直线方程，即可得出所求的直线方程 题型1 点关于点对称 1．（2025高二上·黑龙江）已知，则A关于的对称点为 . 【答案】 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】因为， 则A关于的对称坐标为， 故答案为： 2．（25-26高二上·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点的对称特征即可求解. 【详解】点关于点的对称点的坐标是， 即. 故选：A 3．（25-26高二上·全国·课前预习）已知，那么 ，则A关于的对称点坐标为 . 【答案】 6 【分析】根据两点之间距离公式以及中点坐标公式计算即可. 【详解】由题可知：，中点坐标为，即. 故答案为：6， 4．（2025高二·全国·专题练习）若两点与点关于点对称，则点所在的直线方程为 ． 【答案】 【详解】根据题意C点坐标为(, )， 由 = 2 有 C点在 直线上 题型2 直线关于点对称 1．（2025高三·天津·专题练习）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线，求直线关于对称的直线方程． 【答案】 【分析】分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 6．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线恒过点，然后利用关于原点对称的性质求出其对称点，即可得解. 【详解】因为直线恒过点，点关于原点对称的点的坐标为， 所以直线恒过点. 故选：A 考点2 关于线对称 一、点关于直线的对称 设点关于直线对称的点为，根据 ①直线垂直于直线，有 ②的中点在直线上，有 可解出即可求得对成点坐标． 二、直线关于直线的对称 转化为点关于直线的对称问题来解决 ①若两条直线相交，则求出交点，然后再任取一点，求该点关于直线的对称点，根据交点与对称点，就可以求出直线方程。 ②若两条直线平行，则对称的两条直线到对称轴的距离相等，则可以求出该直线方程。 ③若两条直线关于轴或轴或与轴轴平行的直线对称，这时两条直线的斜率互为相反数 ④若两条直线关于对称，则把一条直线的方程中与互换即可得到对称的直线方程 题型3 点关于直线对称 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 2．（25-26高二上·阶段练习）已知点和点关于直线对称，则 . 【答案】0 【分析】求出点的坐标. 【详解】设点，则，解得，则， 3．（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据点关于轴对称分别得出的坐标即可求解. 【详解】点与点关于轴对称，则； 点与点关于轴对称，则； 点与点关于直线对称，则． 故答案为：. 5．（2025高二·全国·专题练习）若不同的两点与点关于直线对称，则的倾斜角为 ． 【答案】 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为， 因为，由题意知． 所以，即． 故答案为：. 6．（25-26高二上·全国·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 【答案】 【分析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故先求出AB中点坐标，又因为折痕与直线AB垂直，进而求出折痕所在直线的斜率，然后用点斜式求出折痕所在直线方程. 【详解】设，，则线段AB的中点坐标为， 又，所以折痕所在直线的斜率为1， 故折痕所在直线的方程为，即. 故答案为：. 题型4 直线关于直线对称 【两条直线关于对称轴对称】 1．（25-26高二上·北京·阶段练习）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于y轴对称的点为，利用相关点法求直线方程. 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为. 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 3．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 【两条平行直线的对称】 4．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 【两条直线关于对称】 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知，直线和关于直线对称，故把l的方程中的x 和y交换位置即得直线l的方程． 【详解】由题意可得直线l与直线关于直线对称， 由于直线上的任意一点关于直线的对称点为， 因为已知直线，则的方程是，即， 故答案为：. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【答案】 【分析】由直线斜率得与直线平行，由两条平行线距离公式得与直线间的距离，由对称关系得与平行和与距离，接着设直线方程，依据与距离列式求解并检验即可得解. 【详解】易知，所以与直线平行， 与直线间的距离为， 又因为与关于直线对称， 所以与平行，且两直线间的距离为， 设直线，所以，解得或， 当时，直线与直线间的距离为， 即直线与关于直线不对称； 当时，直线与直线间的距离为，符合， 所以. 【关于直线对称的一般情况】 8．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 9．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可. 【详解】    易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 考点3 将军饮马求最值 题型5 将军饮马求最值 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知P，Q是直线：上两动点，且，点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意，设点在点的左下方，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为．    故答案为：. 2．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 3．（25-26高二上·河北石家庄·开学考试）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】C 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图，   ， 在直线上， 设点A关于直线的对称点为A'，则所在直线为， 代入点，可得，解得， 故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点， 则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为， 所以的最小值是， 故选：C 4．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先判断 A，B在直线的同侧，作B关于直线的对称点，当A，P，三点共线时，最小. 【详解】解：由题意知点A，B在直线的同侧， 设点B关于直线的对称点为， 则解得 即， 所以 故答案为： 5．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为 【答案】4 【分析】根据所求式子，转化为动点到两个定点的距离和，利用数形结合，结合对称性，即可求最小值. 【详解】， 表示直线上的点到定点和的距离和，如图， 点关于的对称点为，， 当点三点重合时，最小，最小值为4. 故答案为：4 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．（为坐标原点）的最小值为 D．的最小值为3 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标关系，即可求解A，根据两点距离公式即可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，利用对称即可求解D. 【详解】因为点在直线上，所以设. 对于A，因为点， 所以直线的方向向量分别为，. 若，则，即，化简得. 因为，所以此方程有两个不相等的实数根， 所以存在点，使得，故A正确. 对于B，由，， 得，化简得. 因为，所以此方程有两个不相等的实数根， 所以存在点，使得，故B正确. 对于C，的最小值为点到直线的距离，由题意得，故C正确. 对于D，因为点，所以线段的方程为，. 在中，令，解得， 所以点不在线段上，即点在直线的同侧. 设点关于直线的对称点为， 则当点为线段与直线的交点时，取得最小值，最小值为. 由题意，得，解得， 所以，即的最小值为，故D错误， 故选：D.    考点4 光线反射问题 题型6 光线反射问题 1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】先求出点关于直线的对称点为，再利用点斜式方程即可得答案. 【详解】点关于直线的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过，Q的直线， 由直线点斜式方程得直线的方程为：， 化为 故答案为： 3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点斜式求得直线，再利用点关于直线对称求得点关于直线的对称点，进而利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，. 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3.1 点、直线对称 目录 考点1 关于点对称 0 题型1 点关于点对称 1 题型2 直线关于点对称 1 考点2 关于线对称 2 题型3 点关于直线对称 2 题型4 直线关于直线对称 3 考点3 将军饮马求最值 4 题型5 将军饮马求最值 4 考点4 光线反射问题 5 题型6 光线反射问题 5 考点1 关于点对称 一、点关于点的对称 设点关于点的对称点为（根据点式中点可求） 二、直线关于点的对称 若两条直线关于某点对称，则这两条直线平行 方法一：在已知直线上取两点，利用点与点的对称方法求出对称点，再由两点式求出直线方程即可； 方法二：（一般性方法）设所求直线上任一点,求出它关于点A的对称点，该点在直线上，将该对称点代入到直线方程，即可得出所求的直线方程 题型1 点关于点对称 1．（2025高二上·黑龙江）已知，则A关于的对称点为 . 2．（25-26高二上·阶段练习）点关于点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·课前预习）已知，那么 ，则A关于的对称点坐标为 . 4．（2025高二·全国·专题练习）若两点与点关于点对称，则点所在的直线方程为 ． 题型2 直线关于点对称 1．（2025高三·天津·专题练习）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为 . 2．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线，求直线关于对称的直线方程． 6．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 考点2 关于线对称 一、点关于直线的对称 设点关于直线对称的点为，根据 ①直线垂直于直线，有 ②的中点在直线上，有 可解出即可求得对成点坐标． 二、直线关于直线的对称 转化为点关于直线的对称问题来解决 ①若两条直线相交，则求出交点，然后再任取一点，求该点关于直线的对称点，根据交点与对称点，就可以求出直线方程。 ②若两条直线平行，则对称的两条直线到对称轴的距离相等，则可以求出该直线方程。 ③若两条直线关于轴或轴或与轴轴平行的直线对称，这时两条直线的斜率互为相反数 ④若两条直线关于对称，则把一条直线的方程中与互换即可得到对称的直线方程 题型3 点关于直线对称 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·阶段练习）已知点和点关于直线对称，则 . 3．（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二·全国·专题练习）若不同的两点与点关于直线对称，则的倾斜角为 ． 6．（25-26高二上·全国·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是 . 题型4 直线关于直线对称 【两条直线关于对称轴对称】 1．（25-26高二上·北京·阶段练习）与直线关于y轴对称的直线的方程为（   ）. A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【两条平行直线的对称】 4．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【两条直线关于对称】 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 . 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程. 【关于直线对称的一般情况】 8．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 考点3 将军饮马求最值 题型5 将军饮马求最值 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知P，Q是直线：上两动点，且，点，则的最小值为 ． 2．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 3．（25-26高二上·河北石家庄·开学考试）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，点C的坐标为（），则的最小值是（   ） A．6 B． C． D．5 4．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 5．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．（为坐标原点）的最小值为 D．的最小值为3 考点4 光线反射问题 题型6 光线反射问题 1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）一条光线从点射出，经过直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 . 3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $