精品解析：河北省邯郸市2025-2026学年高三上学期第一次调研监测数学试卷

邯郸市2026届高三年级第一次调研监测 数学试卷 班级______ 姓名______ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标运算求解. 【详解】向量，若，则有，解得. 故选：B. 2. 已知集合，若全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出指数不等式与对数不等式后利用交集与补集定义计算即可得解. 详解】由，可得，由，可得， 则，则， 则. 故选：D. 3. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法规则依次计算即可得解. 【详解】由题可得， 所以. 故选：A 4. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以 故选：C. 5. “”是“点在圆外部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由点在圆外结合二次方程表示圆的条件可将“点在圆外部”化为，据此可得答案. 【详解】因点在圆外部， 则，即， 解得：. 注意到是真子集， 则由“”不能得到“点在圆外部”， 由“点在圆外部”可得到“”， 即“”是“点在圆外部”的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（ ） A. 15 B. 32 C. 35 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算总体平均数，再代入总体方差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，总体平均数， 设组数据的平均数为，方差为，组数据的平均数是，方差是， 所以所有数据的总体方差， . 故选：B 7. 已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件先证明，由点到直线距离公式可得点到直线的距离，由的面积为结合三角形面积公式可得或，分情况解三角形求，列方程求，由此可得，再结合离心率定义求结论. 【详解】因为直线为双曲线的一条渐近线， 所以， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以点到直线的距离， 因为与圆交于两点（为坐标原点），所以， 因为的面积为，所以， 所以，又， 所以或， 若，则点到直线的距离， 所以，所以，所以， 所以， 此时双曲线的离心率， 若，则点到直线的距离， 所以，所以， 所以，与矛盾，舍去， 所以双曲线的离心率， 故选：C 8. 已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析在上单调递增，再利用换元法设，得到，解出值，则得到，再令，解出即可. 【详解】由题意知在上单调递增， 设，且为正常数。 则，则，，解得或（舍去）， 则，，令，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为等差数列的前项和，则（ ） A. 若，则 B. 成等差数列 C 可能成等差数列 D. 可能成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，求和公式，及等差数列等比数列的定义一一分析，进行求解. 【详解】对于选项A：，当时，； 当时，， 适合，，故选项A错误； 对于选项B：为等差数列的前项和，设的公差为d， 则， ，， ， , ，，，成等差数列，故选项B正确； 对于选项C：设等差数列的公差为，则，，， 若成等差数列，则， 即，解得， ，，，，，，成等差数列，故选项C正确； 对于选项D：设等差数列的公差为，则，，， 若成等比数列，则，即， 解得，将看成是关于的一元二次方程，， 只有当时，方程有解， 且解为，此时，则不可能成等比数列，故选项D错误. 故选：BC. 10. 某健身爱好者每周进行两次跑步训练，每次跑步距离为5km或6km，第一次跑步距离为5km或6km的概率均为，若第一次跑步距离为5km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为；若第一次跑步距离为6km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为.若一周跑步距离超过10km可以评定为“运动达人”，则（ ） A. 该人一周的跑步距离为12km的概率为 B. 该人一周的跑步距离为11km的概率为 C. 已知该人被评定为“运动达人”，则该人一周内跑步距离为12km的概率为 D. 若该人在连续的4周内被评定为“运动达人”的次数为，则的数学期望 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A利用乘法公式即可判断，对于B利用全概率公式即可判断，对于C利用条件概率公式即可判断，对于D利用二项分布的数学期望公式即可判断. 【详解】令事件表示第次跑步距离为，事件表示第次跑步距离为，， 所以， 令事件表示该人一周的跑步距离为12km，令事件表示该人一周的跑步距离为11km， 令事件表示该人被评定为“运动达人”， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：， 所以，所以，故C正确； 对于D：由，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线绕坐标原点分别旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影区域），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，则（ ） A. B. 的面积为16 C. 的值比32小 D. 直线截第二象限“花瓣”的弦长可能为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对称性，可求得各曲线的方程，进而求出交点，，从而判断选项和；对于阴影部分的面积，利用适当放大，可对选项进行判断；通过求出弦长与的函数关系，进而求出弦长的取值范围，可判断. 【详解】设抛物线绕原点顺时针旋转，，后得到的三条曲线分别为，，. 抛物线的焦点为，故的焦点为，的焦点为，的焦点为. 故，，，. 对于：为曲线与交点，联立方程，解得，即. 为曲线与交点，联立方程，解得，即. 又因为，故.故错误. 对于：由上述过程可得，，，的面积为.故正确. 对于：由于对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，故只讨论第一象限部分. 第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线与直线围成的部分. 设该阴影部分面积为，显然. 设函数，则.故过点的切线斜率为. 因此过点的切线方程为.该切线与轴交于，故. .故.故正确. 对于：第二象限的“花瓣”图形由曲线和曲线围成，两者关于对称. 直线与曲线相交，联立方程化简得，且交点在第二象限， 所以，故，所以交点坐标. 由于“花瓣”图形仅限阴影部分区域，故，即. 由于与关于直线对称，直线亦关于直线对称， 所以直线与的交点坐标为. 故弦长 设，则，故. 因此当或时，即或时，直线与两曲线交于一点，弦长为； 当时，即时，弦长最长，此时.故弦长的取值可能为，故正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合切点坐标，利用点斜式求出切线方程即可. 【详解】， 所以切线的斜率为， ， 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点，根据长度关系求出点为三棱锥的外接球球心，再根据的关系求出的最小值即可. 【详解】取线段的中点，连接， 因，，， 则由勾股定理可知，，，则， 则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为 因，则由勾股定理可知，， 因为的中点，则， 设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为， 则， 欲使截面面积最小，即最小，则要求最大， 当垂直截面时，最大，最大值为， 则的最小值为，则截面面积的最小值为. 故答案为： 14. 记是从1，2，3，4，5，6，7中任取三个不同的数字构成的最大的三位数（例如：取1，2，3时，则为321）；是从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数字构成的最大的三位数，则的概率为______. 【答案】##0.7 【解析】 【分析】利用组合数公式，求出的所有组合数量，再求出满足的取法数量，计算所求概率即可. 【详解】是从1，2，3，4，5，6，7中任取三个不同的数字构成的最大的三位数， 是从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数字构成的最大的三位数， 则取得的共有种组合， 中有数字7时，都满足，有种组合， 中没有数字7时，则和都是从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数字构成的最大的三位数， 共种组合， 其中满足有种组合，满足的有种组合， 所以依题意取到的和中，的概率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）递减区间为，递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，进而得到函数的单调区间； （2）先求得，利用导数求得函数单调性，得到函数的极小值（最小值），也是最小值，结合恒成立，得出不等式，，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，函数，其定义域为， 则， 令，解得， 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 解：由函数，可得的定义域为， 则， 因为， 则当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，也是最小值， 要使得恒成立，则，解得， 所以的取值范围为. 16. 已知等比数列的前项和为，若成等差数列. （1）求等比数列的公比； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由和并结合题意即可求解； （2）由（1）可求得，从而可得，再利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 由题意若成等差数列， 则得，即， 则得，所以， 故. 【小问2详解】 由（1）可知，又，所以， 则， 所以， ①， ②， 由①②可得 ， 解得. 所以数列的前项和. 17. 在锐角中，内角满足. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合三角恒等变换公式化简求解即可； （2）由正弦定理可得，由锐角可得，再表示出，进而求解即可； （3）结合分析法利用三角恒等变换公式求证即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 即，所以， 因为，所以，即. 【小问2详解】 由正弦定理， 所以， 因为，则， 又为锐角三角形，则，即， 所以 ， 因为，所以，则， 所以面积的取值范围是. 【小问3详解】 证明：由（1）可知，， 要证， 即证， 而 ， 即证， 即证， 即证， 而，显然满足上式，原式得证. 18. 如图，在四棱锥中，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； （3）若异面直线与所成的角为，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造辅助线，取的中点，通过证明，结合线面平行判定定理即可证得平面. （2）由于，则直线与底面所成角即直线与底面所成角， 过作于，推理可得即为直线与底而所成角，再结合已知条件计算其正切值； （3）由，可得或，取的中点，连接，过作交于，连接，则或它的补角即为平面和平面的夹角，借助余弦定理计算即可. 【小问1详解】 取的中点为，连接,则，且， 又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角， 如图，过作于， 又平面底面，平面底面，平面， 则底面，所以即为直线与底面所成角. 取的中点，连接，因为，则. 因为为的中点，所以为的中点. 又 则，, 在中，， 所以， 即直线与底面所成角的正切值为. 【小问3详解】 因为异面直线与所成的角为，又， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，所以或. 如图，取的中点，连接，因为，则. 过作交于，连接， 则或的补角，即为平面和平面的夹角. 由， 易知，，， 即为等腰直角三角形，所以. 当时，在中，， 由余弦定理得. 在中，， 由余弦定理得. 当时，在中，， 由余弦定理得， 在中，， 所以，此时不能构成三角形，不合题意，舍去. 综上，若异面直线与所成的角为，平面和平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. （1）求的方程； （2）若上存在不关于轴对称的两点，使得恰好被轴平分，求面积的取值范围； （3）过的直线与交于不同的两点椭圆在两点处的切线相交于为线段的中点，证明：三点共线. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可得到关于的方程，解方程即可得答案. （2）直线的方程可设为，联立椭圆的方程，利用韦达定理可得到关于点纵坐标的关系式，再由恰好被轴平分，即，可知直线的斜率与直线的斜率存在且，即可得到关于的关系式，再把的面积表示成关于的函数，代入，求函数值域即可得答案. （3）利用导数求出处的切线方程，同构可得到直线的方程，再利用直线过点，可得到点坐标，进而可得到的斜率；再利用点差法可得到的斜率，即可得到答案. 【小问1详解】 依题意可得解得，所以的方程为. 【小问2详解】 由题意可知，直线的方程可设为，设， 联立整理得， 因为恰好被轴平分，即， 易知直线的斜率与直线的斜率存在且， 即， 整理得，即，即. 因为，所以时符合题意，即直线经过定点（1，0）， 所以的面积， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以面积的取值范围是. 【小问3详解】 证明：依题意，根据对称性，不妨设在轴上方， 于是可化为，则， 设直线的方程为， 则在两点处的切线分别为， 整理可得在两点处的切线分别为. 设，则， 所以两点均在直线上，即直线的方程为. 又直线的方程为，即，所以，即， 则， 又， 联立两式作差可得， 即，即，即， 所以，所以三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸市2026届高三年级第一次调研监测 数学试卷 班级______ 姓名______ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 6 2. 已知集合，若全集，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A B. C. D. 5. “”是“点在圆外部”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知组数据“”和组数据“”（）平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（ ） A. 15 B. 32 C. 35 D. 42 7. 已知直线为双曲线的一条渐近线，与圆交于两点（为坐标原点），若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为等差数列的前项和，则（ ） A. 若，则 B. 成等差数列 C 可能成等差数列 D. 可能成等比数列 10. 某健身爱好者每周进行两次跑步训练，每次跑步距离为5km或6km，第一次跑步距离为5km或6km的概率均为，若第一次跑步距离为5km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为；若第一次跑步距离为6km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为.若一周跑步距离超过10km可以评定为“运动达人”，则（ ） A. 该人一周的跑步距离为12km的概率为 B. 该人一周的跑步距离为11km的概率为 C. 已知该人被评定为“运动达人”，则该人一周内跑步距离为12km概率为 D. 若该人在连续的4周内被评定为“运动达人”的次数为，则的数学期望 11. 如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线绕坐标原点分别旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影区域），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，则（ ） A. B. 的面积为16 C. 的值比32小 D. 直线截第二象限“花瓣”的弦长可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______. 13. 已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为______. 14. 记是从1，2，3，4，5，6，7中任取三个不同数字构成的最大的三位数（例如：取1，2，3时，则为321）；是从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数字构成的最大的三位数，则的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围. 16. 已知等比数列的前项和为，若成等差数列. （1）求等比数列的公比； （2）若，求数列的前项和. 17. 在锐角中，内角满足. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围； （3）证明：. 18. 如图，在四棱锥中，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； （3）若异面直线与所成的角为，求平面和平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为，为坐标原点，. （1）求的方程； （2）若上存在不关于轴对称的两点，使得恰好被轴平分，求面积的取值范围； （3）过的直线与交于不同的两点椭圆在两点处的切线相交于为线段的中点，证明：三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $