第13～14章 三角形与全等三角形 综合训练 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第13-14章三角形与全等三角形强化训练2025-2026学年 人教版八年级上册 一、选择题 1.如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 2.在Rt△ABC中，∠A＝35°，则另一个锐角∠B＝（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 3.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 4.如图．点 D、E在BC上，△ABE≌△ACD，BC＝10，DE＝4，则BD的长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 5．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（    ）    A．在边，两条高的交点处 B．在边，两条中线的交点处 C．在边，两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 6.如图，是的中线， E和F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 7．如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（   ）    A． B． C． D． 8.如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知是的角平分线，，交于点E、，交于点F，则下列说法：①；②；③；④；⑤，错误的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11.如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 　 　． 12．为的中线，为的高，的面积为，，，则的长为 ． 13.如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝94°，∠B＝55°，则∠CAD＝　 °． 14.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 　 　． 15.如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 16．如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等．的值为 ． 三、解答题 17.已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数． 18.如图，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7． （1）试说明AB＝CD． （2）求线段AB的长． 19．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，OB＝OC． （1）求证：OD＝OE； （2）求证：OA平分∠BAC． 20.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证： （1）DF∥BC； （2）GD＝CE． 21．【初步认识】 （1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝100°，则∠P＝　 　 ；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是　 　 ； 【继续探索】 （2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出∠A的度数． 【答案】 一、选择题 1.如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 2.在Rt△ABC中，∠A＝35°，则另一个锐角∠B＝（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】B 3.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【答案】D。 4.如图．点 D、E在BC上，△ABE≌△ACD，BC＝10，DE＝4，则BD的长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 5．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（    ）    A．在边，两条高的交点处 B．在边，两条中线的交点处 C．在边，两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 【答案】D 6.如图，是的中线， E和F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 7．如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 8.如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 9．如图，已知是的角平分线，，交于点E、，交于点F，则下列说法：①；②；③；④；⑤，错误的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 10．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 二、填空题 11.如果将长度为a﹣2，a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 　 　． 【答案】a＞5。 12．为的中线，为的高，的面积为，，，则的长为 ． 【答案】4或8/8或4 13.如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝94°，∠B＝55°，则∠CAD＝　 °． 【答案】31。 14.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 　 　． 【答案】120°。 15.如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 【答案】8 16．如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等．的值为 ． 【答案】或 三、解答题 17.已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数． 【解答】解：∵AD⊥BC，∠B＝60°， ∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣90°﹣60°＝30°， 又∵∠DAE＝10°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+10°＝40°， 又∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE＝80°， ∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°． 答：∠C的度数是40°． 18.如图，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7． （1）试说明AB＝CD． （2）求线段AB的长． 【解答】解：（1）∵△ACF≌△DBE， ∴AC＝DB， ∴AC﹣BC＝DB﹣BC， 即AB＝CD （2）∵AD＝11，BC＝7， ∴AB＝（AD﹣BC）＝（11﹣7）＝2 即AB＝2 19．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，OB＝OC． （1）求证：OD＝OE； （2）求证：OA平分∠BAC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】证明：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO． 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD=OE． （2）∵OD⊥AB，OE⊥AC，且OD=OE， ∴∠BAO=∠CAO， 即AO平分∠BAC． 20.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证： （1）DF∥BC； （2）GD＝CE． 【答案】（1）∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAF． 在△ACF和△ADF中， ， ∴△ACF≌△ADF（SAS）． ∴∠ACF＝∠ADF． ∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°， ∴∠ACF＝∠B， ∴∠ADF＝∠B． ∴DF∥BC； （2）∵DF∥BC，BC⊥AC， ∴FG⊥AC． ∵FE⊥AB， ∴∠DGA＝∠CEA＝90°， 在△DGA和△CEA中， ， ∴△DGA≌△CEA（AAS）， ∴GD＝CE． 21．【初步认识】 （1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝100°，则∠P＝　 　 ；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是　 　 ； 【继续探索】 （2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出∠A的度数． 【答案】（1）140°，∠A＝2∠M； （2）； （3）30°或120°或135°或45°． 【解答】解：（1）如图①，由条件可知： ， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝80°， ∴； 如图②，由条件可知： ， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCM＝∠M+∠CBM， ∴2∠DCM＝∠A+2∠CBM＝2（∠M+∠CBM），整理得，∠A＝2∠M． 故答案为：140°，∠A＝2∠M． （2）∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB， ∴， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠CBE+∠BCF＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°+∠A， ∴， ∴； （3）由题意知，∠NBM＝90°，，∠A＝2∠M， ∴当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ①当∠NBM＝3∠M时，∠NBM＝3∠M， ∴∠M＝30°， ∴∠A＝2∠M＝60°； ②当∠NBM＝3∠N时，， ∴∠A＝120°； ③当∠M＝3∠N时，， ∴∠A＝135°； ④当∠N＝3∠M时，， ∴∠A＝45°． 综上所述，∠A的度数为30°或120°或135°或45°． 学科网（北京）股份有限公司 $