精品解析：云南省德宏州2025-2026学年高三上学期开学定位监测数学试卷

德宏州2026届高三年级开学定位监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量．则向量在向量上的投影向量为（ ） A B. C. D. 7 5. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b= A. B. C. 2 D. 3 6. 在的展开式中，常数项为（　　） A. B. C. 6 D. 12 7. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 过直线l：上一点P作圆M：两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ）． A. B. 当时，的最小值是3 C. 若，则的最小值为 D. 设，且，则的最小值是 10. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）． A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 在上单调递增 11. 如图，正方体棱长为1，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，13题第一空2分，第二空3分． 12. 已知，则________． 13. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的平均数为________，方差为________． 14. 已知函数的定义域为，是的导函数，，若对任意的，有，则不等式的解集是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 16. 某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求值； （2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值； （3）若采用分层按比例抽样方法从成绩在的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球的体积； （3）线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 18. 设数列的前n项和为．已知，． （1）求的值； （2）求证：为等差数列； （3）证明：对一切正整数n，有． 19. 已知曲线，点在曲线上． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）如图1，过曲线外一点（不在轴上）作的两条切线，切点为，在曲线上一点处的切线交于点，且，把这样的叫做“外切三角形”． ①连接交于点，证明：三点的纵坐标成等差数列； ②如图2，从点出发作出的第一个外切三角形是，再过点分别作出2个外切三角形，即和；继续过点分别作出4个外切三角形以此类推，依次作出个外切三角形．设的面积为，求这些“外切三角形”的面积之和，并判断与的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德宏州2026届高三年级开学定位监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集定义即可求解． 【详解】根据交集定义，． 故选：A． 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的几何表示即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以， 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由在单调递增，得可以推出，反之不成立，进而求解. 【详解】由在单调递增，所以， 当时，没有意义，所以不能推出， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 4. 已知向量．则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】向量在向量上的投影向量是. 故选：A． 5. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b= A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理得， 解得（舍去），故选D. 【考点】余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 6. 在的展开式中，常数项为（　　） A. B. C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】应用二项式的展开式求常数项即可. 【详解】由题设，二项式展开式为，， 所以时，常数项为. 故选：C 7. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题设推出是的一个周期，由为偶函数，得求出，再由周期和为偶函数，得到求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 又为奇函数，所以，所以， 所以，所以 所以是的一个周期. 所以， 由可得， 所以. 所以由可得. 故选：D. 8. 过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最大有且圆心到直线l的距离最短，利用圆的切线性质得，再应用点线距离公式列方程求参数值. 【详解】当时，圆心到直线l的距离最短，最大， 因为的最大值为， 在，中，，，所以， 当最大时，圆心M到直线l的距离为4，即，解得（舍）或． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ）． A. B. 当时，的最小值是3 C. 若，则的最小值为 D. 设，且，则的最小值是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，易知时不成立；对于B，根据基本不等式可得最小值；对于C，利用代入消元法化简可得，配方可得最小值；对于D，由1的妙用，，展开计算，结合基本不等式得到最小值即可． 【详解】对于A，当时，，故A不正确； 对于B，时，，则 ， 当，即时取等，所以的最小值是3，故B正确； 对于C，，则， 所以， 所以的最小值为2，故C错误； 对于D，当时， ， 当，，即时取等， 所以的最小值是，故D正确． 故选：BD． 10. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）． A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简可得，再由三角函数的图象变换可得，利用三角函数的周期性、对称性、单调性的判断方法依次判断各选项即可. 【详解】，则， 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，令，解得， 当时，，而在的范围内，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，连接，可证得平面，从而，A选项正确；对于B选项，根据几何体特征，三棱锥的体积和三棱锥的体积相等，根据三棱锥体积公式即可求解；对于C选项，根据题意，可得动点的轨迹为以为圆心，以为半径的四分之一圆，进而可求得其轨迹长度；对于D选项，作图可得，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为平面，根据几何体特征，分别求得，，，相加即可得其周长. 【详解】对于A选项，连接，在正方体中，平面， 又平面，所以， 又为正方形对角线，所以， 又为平面内的两条相交直线，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B选项，在正方体中，平面， 即平面，所以三棱锥的体积， 又，， 所以，故B正确； 对于C选项，点在底面内（包含边界）运动，且满足，所以动点的轨迹为以为圆心，以为半径的四分之一圆，所以其轨迹的长度为，故C错误； 对于D，取的中点，连接，，并延长与的延长线交于点， 则过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为平面， 因为正方体的棱长为1，分别为的中点， 所以可得，，， 所以四边形的周长为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，13题第一空2分，第二空3分． 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式列式计算. 【详解】由，得. 故答案为： 13. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的平均数为________，方差为________． 【答案】 ①. 4 ②. 5 【解析】 【分析】根据平均数和方差的定义计算可得. 【详解】设甲组数据为，，，，，.设乙组数据为，，，，，. 根据题意得，得.——① . 所以， 即.——② 同理，得.——③ ， 所以， 即.——④ 所以将甲、乙两组数据混合成一组数据平均数为：. 方差为： . 故答案为：4；5. 14. 已知函数的定义域为，是的导函数，，若对任意的，有，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】将所求不等式转化为，通过研究的单调性，结合，即可得到不等式解集. 【详解】设，则， 设，则，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 得， 因而，单调递减，又， 依题意，所求为，可得解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解； （2）将问题转化为，然后利用导数求出的最小值即可证明. 【小问1详解】 由题，，所以切线斜率为. 因为切点为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 证明：令，则， 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以当时，，即当时，. 16. 某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求的值； （2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值； （3）若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求解； （2）利用频率分布直方图，结合平均数的求法，即可求解； （3）先求出样本中三段分数的人数，再求出的可取值及对应概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 根据题意有：，解得：. 【小问2详解】 若以每一组数据的中间值为代表，估计本次考试的平均成绩为： . 【小问3详解】 根据频率分布直方图可知，全校同学中成绩在，，各段的同学人数比例为，所以样本中三段分数的同学人数为1人，3人，4人 所以随机变量的可取值为0，1，2，3 ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的外接球的体积； （3）线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在为靠近的处或中点，满足要求. 【解析】 【分析】（1）若是中点，连接，易得四边形为平行四边形，则，再由线面平行的判定证明结论； （2）首先注意是长宽高分别为长方体的一部分，再求出外接球的半径，即可求球体的体积； （3）构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设且，再求出与平面的方向向量、法向量，应用向量法求线面角得到方程，即可得结论. 【小问1详解】 若是的中点，连接，又为中点，则，， 由且，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 平面，平面，则平面； 【小问2详解】 由平面，即平面，平面，则 由，，则， 且都在平面内， 所以平面，易知是长宽高分别为的长方体的一部分， 所以为长方体的体对角线，且与该长方体的外接球重合，故， 所以外接球半径，则外接球的体积为； 【小问3详解】 构建如上图示的空间直角坐标系，则且， 所以， 若是平面的一个法向量，则，取，则， 由与平面所成角为，则， 所以，可得，可得或， 综上，存在为靠近的处或中点时，与平面所成角为. 18. 设数列前n项和为．已知，． （1）求的值； （2）求证：为等差数列； （3）证明：对一切正整数n，有． 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定递推公式，赋值计算即得. （2）根据给定的递推公式，结合变形，再利用等差数列定义推理得证. （3）由（2）求出，先验证的情况，当时，利用放缩法及裂项相减法即可推理得证. 【小问1详解】 数列中，， 当时，，而，则， 当时，，所以. 【小问2详解】 由，得， 当时，， 两式相减得，即， 整理得，而， 故数列是首项为，公差为1的等差数列. 【小问3详解】 由（2）知，则， 当时，，原不等式成立； 当时，，原不等式成立； 当时，由，得， 因此 ， 所以对一切正整数，有. 19. 已知曲线，点在曲线上． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）如图1，过曲线外一点（不在轴上）作的两条切线，切点为，在曲线上一点处的切线交于点，且，把这样的叫做“外切三角形”． ①连接交于点，证明：三点的纵坐标成等差数列； ②如图2，从点出发作出的第一个外切三角形是，再过点分别作出2个外切三角形，即和；继续过点分别作出4个外切三角形以此类推，依次作出个外切三角形．设的面积为，求这些“外切三角形”的面积之和，并判断与的大小关系． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②， 【解析】 【分析】（1）由导数知识可得切线在点Q处的斜率，即可得答案； （2）①由（1）结合A在AB上，同时A在AC上可得BC方程，再由，可得直线AM方程，据此可找到A，M，E三点的纵坐标的关系，可完成证明；②由（1）结合几何知识可得每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的，然后可由等比数列求和公式从而得与的大小关系．. 小问1详解】 由题可得，则， 故点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 ①设， 则由（1）可知直线，直线为， 由在上，同时在上，可知， 则直线的方程为，故， 而直线是抛物线在点处的切线，则， 而，，即， 则直线为点横坐标为， 在上，，则， ， 即三点的纵坐标成等差数列． ②由①可知三点的纵坐标成等差数列， 则，得到，即， 又，则， 可得，且相似比为， 故，同理可得， 如图，连接，由已知得，又， 则与在底边与底边对应的高相同， 又，则， 则， 得到． 即第二次所做的“外切三角形”的面积之和是第一次所做“外切三角形”的面积的， 同理每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的， 可得， 因，则，则，故． 【点睛】结论点睛：对于抛物线，若点在抛物线上，方程表示在点处的切线方程；若点在抛物线外，且可由做抛物线的两条切线，则表示切点弦方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $