精品解析：上海市延安中学2025-2026学年高三上学期9月质量调研数学试题

上海市延安中学2025学年第一学期质量调研 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____． 2. 不等式的解集是______ 3. 已知，则______． 4. 已知函数，则_______． 5. 若向量，则在方向上的投影向量的坐标为______. 6. 已知、，且是关于的方程的一个根，______． 7. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是___________． 8. 大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则______． 9. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 10. 已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是______． 11. 已知集合，是由函数，的图像上两两不同的点构成的点集．集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差的等差数列，符合条件的点集的个数为________． 12. 若函数在定义域内的图像上的所有点均在直线的下方，则称函数为定义域内的“下界函数”.若函数为定义域内的“下界函数”，则的最大值减去的最小值等于________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 根据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 15. 正四面体的棱长为1，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为（ ） A. B. C. D. 16. 已知实数a，b，c满足，且b是a，c的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤． 17. 设的内角所对的边分别是，且向量与共线， （1）求； （2）若，，求边上的高. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 19. 暑期旅游期间，小明一家四口到西湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． （1）小明家点一道汤、一种米面类和两种炒菜类美食的不同组合方式有多少种？ （2）用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布和期望． 20. 已知双曲线的离心率为，且过点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 21. 已知定义在上的函数和，和分别为其导函数．若对任意，恒成立，则称为的“倍导函数”． （1）判断函数是否是的“2倍导函数”； （2）若函数是的“倍导函数”，求的取值范围； （3）已知函数，是偶函数，．若是的“1倍导函数”，证明：“”的充要条件是“是上的常值函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市延安中学2025学年第一学期质量调研 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】已知集合，，则. 故答案为：. 2. 不等式的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】由分式不等式的步骤进行求解. 【详解】，解得. 故答案为： 3. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 4. 已知函数，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数，代值求解即可. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 5. 若向量，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式直接计算可得. 【详解】因为， 所以，， 所以，向量在方向上的投影向量坐标为， 故答案为：． 6. 已知、，且是关于的方程的一个根，______． 【答案】34 【解析】 【分析】利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即得． 【详解】由是关于的方程的一个根， 则， 整理得， 则，解得， 所以． 故答案为：34． 7. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图可得所有等可能结果；再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：. 故答案为：． 8. 大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则______． 【答案】81 【解析】 【分析】根据题意列出等式，根据对数的计算法则进行化简求解 【详解】当鲑鱼游速时，耗氧量单位数为，故，化简得. 当鲑鱼游速时，耗氧量单位数为，故，化简得. 两式相减得，. 所以. 故答案为：81 9. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 因为不等式恒成立，所以，即或， 解得或，即. 故答案为： 10. 已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，再根据对称性求出直线的倾斜角，从而得到其斜率，再由点斜式即可求得直线的方程． 【详解】由点关于轴对称点为，则直线与轴的夹角相等， 又，则直线的倾斜角为， 则直线的倾斜角为，即直线的斜率为， 又椭圆的右焦点为， 所以直线的方程是，即， 故答案为：． 11. 已知集合，是由函数，的图像上两两不同的点构成的点集．集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差的等差数列，符合条件的点集的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意用列举法表示出集合，分析出集合中元素的特点；再根据集合中元素是函数，图象上的点，列出所有满足条件的点；最后根据计数原理可求解. 【详解】因为、， 所以，. 又因为集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差的等差数列， 所以， 则点的纵坐标的所有可能取值有：， 所以集合中至少有个元素，且必有点、 因为点在函数，的图象上， 所以当时，，对应的点为； 当时，或，对应的点为或； 当时，或，对应的点为或； 当时，或，对应的点为或； 当时，或，对应的点为或， 所有可能的点共个，分别为，，，，，，，，. 当集合中有个元素时，有种情况； 当集合中有个元素时，有种情况； 当集合中有个元素时，有种情况； 当集合中有个元素时，有种情况； 当集合中有个元素时，有种情况； 共种. 所以符合条件的点集的个数为. 故答案为：. 12. 若函数在定义域内的图像上的所有点均在直线的下方，则称函数为定义域内的“下界函数”.若函数为定义域内的“下界函数”，则的最大值减去的最小值等于________. 【答案】3 【解析】 【分析】依题意有恒成立，即恒成立，利用导数求出函数的最值，即可得到，依题意即，令，利用导数求出函数的单调性，结合特殊值，即可求出的值，从而得解. 【详解】因为函数为定义域内的“下界函数”， 即有恒成立，即恒成立， 因为， 所以当时，；当时， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以， 依题意得，即， 令，，则， 因为在上单调递增，且， 所以当时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，，且， 所以，所以. 故答案为：3. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得. 【详解】由指数函数的单调性可得：， 由可得，而由不能推出，如，但没有意义， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 14. 根据一组样本数据，，…，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 【答案】B 【解析】 【分析】回归直线必过样本中心点，根据原经验回归方程求出，经计算可知去除两个样本点后，样本点的中心仍为，代入重新求得的经验回归方程，即可求出的值. 【详解】因为原经验回归方程为，且平均数， 所以代入方程得， 因为去除的两个样本点和， 由， 所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为， 代入重新求得的经验回归方程，可得， 解得. 故选：B. 15. 正四面体的棱长为1，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性关系，动点的轨迹所形成的空间区域是以为邻边的平行六面体除去正四面体，再利用棱柱、棱锥体积公式求体积. 【详解】由题意，动点的轨迹所形成的空间区域是以为邻边的平行六面体除去正四面体余下的部分， 如图所示，为的中点，为四面体的高， 已知是正四面体，可得，则，， 所求体积. 故选：B 16. 已知实数a，b，c满足，且b是a，c的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设条件构造函数，求导判断其单调性推得，结合可得，又由可得，由取平方推出即得结论. 【详解】由，得， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 故，因，则， 又b是a，c的等比中项，则，故， 0，则，，所以，即， 结合，得，故，综上所述，． 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤． 17. 设的内角所对的边分别是，且向量与共线， （1）求； （2）若，，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示以及正弦定理求解； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【小问1详解】 因为向量与共线， 所以， 边化角可得，， 因为，所以，所以， 即， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，可得， 整理得，解得或（舍）， 所以， 即，解得. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 【答案】（1）证明：∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 19. 暑期旅游期间，小明一家四口到西湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． （1）小明家点一道汤、一种米面类和两种炒菜类美食的不同组合方式有多少种？ （2）用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布和期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得家点一道汤、一种米面类和两种炒菜类美食的选法数，结合分步计数原理，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出方程，结合期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，其中小明家点一道汤、一种米面类和两种炒菜类美食， 可得汤类只有1种选法，米面类有种选法，炒菜类有种选法， 由分步计数原理得，共有种不同的选法. 【小问2详解】 解：根据题意，随机变量的可能取值为， 可得， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. 20. 已知双曲线的离心率为，且过点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）已知直线l经过点， ①若直线l与双曲线C的左支相切，求直线l的方程； ②若双曲线C的右顶点为P，直线l与双曲线C交于A，B两点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：为定值． 【答案】（1） （2）① ②由题意知，， 设，直线l的方程为， 联立双曲线方程，化简可得， ， 由①知， 所以， ， 所以 ， 即为定值. 【解析】 【分析】（1）根据离心率得出关系，再代入点的坐标即可求出，写出标准方程； （2）①点斜式设出直线方程，联立双曲线方程，利用判别式为0求解； ②根据直线与方程联立后根与系数的关系、斜率公式，求和后化简即可得证. 【小问1详解】 由，可得，即， 所以双曲线方程为，代入点， 可得， 所以双曲线方程为. 【小问2详解】 如图， ①由题意，直线斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消元可得： ， 由直线与双曲线相切，则， 即，解得, 所以直线l的方程为，即. ②略 21. 已知定义在上的函数和，和分别为其导函数．若对任意，恒成立，则称为的“倍导函数”． （1）判断函数是否是的“2倍导函数”； （2）若函数是的“倍导函数”，求的取值范围； （3）已知函数，是偶函数，．若是的“1倍导函数”，证明：“”的充要条件是“是上的常值函数”． 【答案】（1）是的“2倍导函数”，理由见解析； （2）； （3）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）函数求导后利用余弦函数的有界性推出，即得是的“2倍导函数”； （2）参变分离得到在上恒成立，令，故只需，求导，得到，从而得到结论； （3）先证明充分性，若为R上的常值函数，易得为偶函数，故，从而得到方程，求出；再证明必要性，先得到为偶函数，由题意得，因为，求导可得，，故恒成立，所以为常函数，从而得到结论. 【小问1详解】 是的“2倍导函数”，理由如下： ，， 因为对,都有，所以， 故，是的“2倍导函数”； 【小问2详解】 ，， 因为函数是的“倍导函数”， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，故只需， 其中 ， 因为，， 所以令，解得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，的取值范围是； 【小问3详解】 证明充分性： 若为R上的常值函数，则存在常数，，， 由，故为偶函数， 由，得， 又为偶函数，故， 即，所以在R上恒成立， 故； 再证明必要性： 若，则，所以， 即为偶函数， 因为是的“1倍导函数”，所以， 因为，所以， 所以，即，， 所以， 综上，，故，恒成立， 所以为常值函数； 综上，“”的充要条件是“是上的常值函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $