精品解析：安徽省安庆市怀宁县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

怀宁部分学校联考2025-2026学年九年级上学期开学 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 32，42，52 C. 3，4，5 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足，称为勾股数．由此判定即可． 【详解】解：A、能构成直角三角形，但不是整数，不能构成勾股数，故选项错误； B、 不能构成勾股数，故选项错误； C、 能构成勾股数，故选项正确； D、 又不是整数，不能构成勾股数，故选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股数，勾股定理的逆定理，掌握理解勾股数的含义是解题的关键． 3. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法解方程的方法对各选项进行判断． 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B.由得，，故选项B不符合题意； C. ，故选项C符合题意； D. ，故选项D不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法；用配方法解一元二次方程时，先把原方程化为的形式；再方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 4. 下列关于分式的判断正确的是（ ） A. 当时，分式的值为0 B. 当时，分式无意义 C. 无论x为何值，分式的值不可能得整数 D. 无论x为何值，分式的值总为正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的意义，因数，非负数，熟练掌握分式的分子、分母的取值对分式结果的影响是解题的关键． 根据当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分子为零，分母不为零时，分式的值为零，因数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、当时，的分母为零，分式无意义，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当，，，时，的值是整数，故本选项不符合题意； D、， 无论为何值，的值总为正数，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多127.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设全国旅游收入日平均增长率为x，则5月2日的收入为亿元，5月3日的收入为亿元，据此列出方程即可． 【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 6. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数和方差概念．根据中位数、众数、平均数和方差概念即可解答． 【详解】解：A选项：将这组数据从小到大排列为：17、19、22、26、26、30、35， 从中可以看出，一共7个数据，第4个数据为26，所以这组数据的中位数为26； B选项：这组数据中26出现的次数最多，所以这组数据的众数为26； C选项：（个），所以这组数据的平均数为25； D选项：方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，所以当方差等于0时，这组7个数据应相同，不符合题意； 故选：B． 7. 四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第一四分位数的定义，将8个数据按从小到大的顺序排列后，第2个与第3个数的平均数即为所求． 【详解】解：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为： ， 则这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数，理解第一四分位数的定义是解题的关键． 8. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故先：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根． 9. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若，，则GH的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH =AF，求出AF的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接AF，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB= BC= 2， ∵ G， H分别为AE，EF的中点， ∴GH是△AEF的中位线， ∴GH =AF， ∴当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB = 90°， ∵∠B= 45°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴GH =， 即GH的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 10. 已知，如图，在中，点P在边上，于M，于N，且 ，交于点Q，下列结论：①，②，③其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ① D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质以及三角形内角和定理 ；解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 利用定理得出，进而判断①成立；根据平行线的性质再结合三角形内角和及、与、的关系，判断②成立；根据已知条件，无法通过三角形全等判定方法得出与相关的三角形全等，判断③不成立． 【详解】∵于M， ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确． ∵， ∴． ∵， ∴．，，． 在中，， ∴，结论②正确． ∵， ∴． ， 但无法判定，进而不能确定．结论③错误； 综上，正确的结论是①②， 故选A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在中，，则__________ 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先求出，再根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， 故答案为：60． 12. 如图，一次函数与的图象交点横坐标为，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系．满足关于x的不等式的不等式就是直线位于直线的下方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象交点横坐标为， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 13. 一组数据，，，，的平均数是，这组数据的中位数为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了平均数和中位数的定义及求法，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；中位数：是指将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于最中间位置的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据平均数先求得，进而根据中位数的定义，即可求解． 【详解】一组数据，，，，的平均数是， ， 解得＝， 将这组数据从小到大排列为：，，，，， 这组数据的中位数为． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到． 【详解】解：当时，设，则， ∵沿翻折得， ∴， 在Rt△ABE中由勾股定理可得：即， 解得：； 当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H， ∵AH⊥，， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴， 在△ABE和△AHE中， ∴△ABE≌△AHE（AAS）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 综上所述，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则，将二次根式化为最简二次根式，利用零指数幂、绝对值的求法计算，最后进行加减运算即可得出． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算的理解与运用能力．二次根式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号时先算括号里面的．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．任何不等于0的数的零次幂都等于1．灵活运用二次根式的混合运算法则先将各个二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算是解本题的关键． 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一般式，再运用代入数值，进行化简计算，即可作答． 【详解】解：， 移项得， ∴， 则． 即，． 17. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A、B均在格点上． （1）在图1中画出以为边且周长为的平行四边形，且C点和D点均在格点上（画出一个即可）； （2）在图2中画出以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判断，菱形的判定，勾股定理： （1）由，则，结合网格的特点作图即可； （2）根据网格的特点，结合作图即可． 【小问1详解】 解：如图1所示：四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图2所示，四边形即为所求． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ． （2）请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 【答案】（1） （2）第n个式子是：n； 证明如下： ． 【解析】 【分析】（1）根据题目给出的例子求出相应的值； （2）由（1）探求的结果可以写出用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律； 【小问1详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …； 第4个等式：； 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ （1）涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． （2）探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 【答案】（1）⑤；2，2，5不能构成三角形 （2）①当时，的周长为；②当为等边三角形时，的值为1． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【小问1详解】 解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形； 【小问2详解】 解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为； ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， △， ， 答：当为等边三角形时，的值为1． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 21. “书香润泽心灵，阅读丰富人生”，伴着百花飘香，杨柳依依的美好春光，某中学迎来了校园读书节活动．该中学计划为在本次校园读书节活动中获奖的同学购买甲、乙两种奖品，其中甲种奖品的单价为每件20元、乙种奖品的单价为每件10元，共购买50件．设甲种奖品购买x件，购买两种奖品的总费用为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的3倍，请你设计费用最少时的购买方案，并求出最少费用． 【答案】（1） （2）甲：13件，乙：37件；630元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出函数关系式和不等式关系式是解题的关键． （1）分别算出甲、乙两种奖品的费用相加即是总费用； （2）一次函数的系数，故根据函数的性质可知随的增大而增大，根据题（1）可求最小值． 【小问1详解】 解：由题意，得． 【小问2详解】 由题意，得， 解得． 由（1），得， ， 随x的增大而增大． 为整数， 当时，， 乙：（件）． 答：甲种奖品购买13件，乙种奖品购买37件时，费用最少，最少为630元． 22. 已知平行四边形的边延长至点E，使得．连接相交于点O， （1）当满足什么条件时，四边形为菱形？ （2）求证：当时，四边形为矩形； 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，根据，结合平行线的性质，推出，即可得出四边形为菱形； （2）先根据平行线的性质，得到，进而得到，三角形的外角，推出，得到，进而得到，即可得证． 【小问1详解】 当时，四边形为菱形，理由如下： ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平行四边形的边延长至点E，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； 【小问2详解】 ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 23. 正方形，E是的中点，F为射线上一点（不与点B，C重合），连接并延长到点G，使得，连接．过点C作的垂线交直线于点H． （1）如图①，当点F在线段上时，求证：； （2）如图②，当点F在线段上时，试说明之间的数量关系； （3）如图③当点F在的延长线上时，直接写出线段之间的数量关系：______． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）过点作，先证明，得到，再证明，即可得出结论； （2）过点作，证明，得到，，再证明，得到，根据结合等量代换即可得出结论； （3）过点作，同法（2）即可得出结论． 【小问1详解】 证明：过点作，则：， ∵正方形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点作，则：， 同（1）法可证：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 过点作， 同法可证：，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀宁部分学校联考2025-2026学年九年级上学期开学 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 32，42，52 C. 3，4，5 D. ，， 3. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于分式的判断正确的是（ ） A. 当时，分式的值为0 B. 当时，分式无意义 C. 无论x为何值，分式的值不可能得整数 D. 无论x为何值，分式的值总为正数 5. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月3日比5月2日的全国旅游收入多127.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 6. 某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派7名学生组成参赛团队，其中九年级（1）班选派的7名学生一次性垫球成绩（单位：个）如图所示．则下列结论中，正确的是（ ） A. 中位数为17 B. 众数为26 C. 平均成绩为20 D. 方差为0 7. 四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　） A. B. C. D. 8. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若，，则GH的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 10. 已知，如图，在中，点P在边上，于M，于N，且 ，交于点Q，下列结论：①，②，③其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ① D. ①②③ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在中，，则__________ 12. 如图，一次函数与的图象交点横坐标为，则不等式的解集为________． 13. 一组数据，，，，的平均数是，这组数据的中位数为______． 14. 如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 解方程： 17. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A、B均在格点上． （1）在图1中画出以为边且周长为的平行四边形，且C点和D点均在格点上（画出一个即可）； （2）在图2中画出以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 观察下列各等式，其中反映了某种规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ． （2）请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式． 20. 发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ （1）涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． （2）探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 21. “书香润泽心灵，阅读丰富人生”，伴着百花飘香，杨柳依依的美好春光，某中学迎来了校园读书节活动．该中学计划为在本次校园读书节活动中获奖的同学购买甲、乙两种奖品，其中甲种奖品的单价为每件20元、乙种奖品的单价为每件10元，共购买50件．设甲种奖品购买x件，购买两种奖品的总费用为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的3倍，请你设计费用最少时的购买方案，并求出最少费用． 22. 已知平行四边形的边延长至点E，使得．连接相交于点O， （1）当满足什么条件时，四边形为菱形？ （2）求证：当时，四边形为矩形； 23. 正方形，E是的中点，F为射线上一点（不与点B，C重合），连接并延长到点G，使得，连接．过点C作的垂线交直线于点H． （1）如图①，当点F在线段上时，求证：； （2）如图②，当点F在线段上时，试说明之间的数量关系； （3）如图③当点F在的延长线上时，直接写出线段之间的数量关系：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $