第一节集合及其基本运算 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义全面覆盖集合的概念、关系、运算等高考核心考点，按考纲要求构建四课时递进式复习框架，通过知识梳理、题型突破、易错提醒等环节帮助学生系统掌握集合知识，精准突破元素特性、含参运算等难点。 资料以数学思维和数学语言为核心，创新设计分类讨论解决含参问题、Venn图转化集合关系等教学活动，结合分层练习匹配不同难度层级，解题思想提炼助力快速解题，有效提升学生逻辑推理与知识迁移能力，为教师提供清晰复习路径，保障高效备考。

第一节 集合 一、考纲总览 2 二、具体考查内容与要求 2 三、考查形式说明 5 第一课时 集合的概念与表示、元素的特性 6 第二课时 元素与集合的关系、集合的基本关系 8 第三课时 集合的基本运算、Venn 图的应用 11 第四课时 集合中元素的个数问题、新定义集合问题 14 四、全节整合提升 18 （一）核心考点梳理 18 （二）易错点汇总 18 （三）解题思想提炼 19 一、考纲总览 1. 模块定位：集合是高考数学的基础核心模块，承载数学语言表达、逻辑推理的启蒙功能，为函数、不等式等后续知识提供工具支撑。 2. 考查权重：通常以 1-2 道选择题或填空题形式呈现，分值 5-10 分，难度以基础题、中档题为主，新定义题型偶为中档偏难题。 3. 核心目标：考查考生对集合概念、关系、运算的理解与应用能力，以及从具体情境中提取集合信息、运用逻辑规则解决问题的素养。 二、具体考查内容与要求 （一）集合的概念与表示 1. 知识要求： 掌握集合的定义，明确集合元素的基本属性（隐含考查，为后续特性题型铺垫）。 熟练掌握列举法、描述法两种基本表示方法，理解两种表示方法的内在等价性。 能识别常见数集的符号表示（如 N、Z、Q、R 等）。 2. 考查目标：判断集合表示的正确性，实现不同表示方法的转化，根据描述法确定集合元素。 3. 难度层级：基础题（容易） 4. 对应题型示例：判断 “是否为同一集合”。 （二）集合中元素的特性 1. 知识要求： 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性，重点掌握互异性的应用规则。 能结合元素特性分析集合的合法性，求解含参数集合中的参数取值范围。 2. 考查目标：运用元素特性（尤其是互异性）解决集合合法性判断、参数求解问题。 3. 难度层级：基础题至中档题（容易 - 中等） 4. 对应题型示例：已知集合，求的取值范围。 （三）元素与集合的关系 1. 知识要求 明确 “属于” 与 “不属于” 的符号含义及使用场景。 能根据集合的确定性条件，判断元素与集合的关系，或由元素与集合的关系推导参数范围。 2. 考查目标：判断具体元素与集合的关系，利用关系条件求解参数。 3. 难度层级：基础题（容易） 4. 对应题型示例：已知集合，判断与的关系；若，求的取值范围。 （四）集合的基本关系 1. 知识要求 掌握子集、真子集⫋、相等的定义及符号表示。 理解空集的特殊性，明确空集是任何集合的子集、任何非空集合的真子集。 能判断两个集合的关系，或根据集合间的包含关系求解参数范围、列举子集。 2. 考查目标：识别集合间的关系，利用包含关系解决参数、子集列举问题。 3. 难度层级：基础题至中档题（容易 - 中等） 4. 对应题型示例：判断与的关系；已知，求集合的所有可能情况。 （五）集合的基本运算 1. 知识要求 掌握交集、并集、补集的定义、符号及运算性质。 能进行有限集、无限集的交、并、补运算，结合不等式表示的集合进行运算求解。 能根据运算结果逆向求解集合中的参数值或范围。 2. 考查目标：熟练进行集合的交、并、补运算，通过运算结果反推参数。 3. 难度层级：基础题至中档题（容易 - 中等） 4. 对应题型示例：已知，求；若，求参数取值。 （六）Venn 图的应用 1. 知识要求 理解 Venn 图的直观性特点，掌握用 Venn 图表示集合关系（子集、相等）和运算（交、并、补）的方法。 能从 Venn 图中提取集合元素、关系及运算的信息，反向用 Venn 图表示给定集合问题。 2. 考查目标：借助 Venn 图分析集合问题，实现图形与集合语言的转化。 3. 难度层级：基础题（容易） 4. 对应题型示例：根据 Venn 图中阴影部分，写出对应的集合表达式；用 Venn 图表示集合A、B的并集与交集。 （七）集合中元素的个数问题 1. 知识要求 掌握有限集元素个数的计数方法，理解无限集元素个数的描述性概念（如可数、不可数）。 能结合集合的关系、运算求解有限集的元素个数，或根据元素个数条件求参数。 了解并集元素个数公式：（韦恩图辅助理解）。 2. 考查目标：计算有限集元素个数，利用元素个数条件解决参数问题。 3. 难度层级：基础题至中档题（容易 - 中等） 4. 对应题型示例：求集合的元素个数；已知，求。 （八）新定义集合问题 1. 知识要求 具备快速阅读理解新定义的能力，准确提取新定义中的集合规则、运算方式或性质。 能将新定义与已有集合知识结合，迁移应用解决计算、判断、证明等问题。 2. 考查目标：阅读理解新定义，迁移运用集合知识解决创新问题。 3. 难度层级：中档偏难题（中等 - 较难） 4. 对应题型示例：定义 “差集”，求；证明新定义运算的交换律或结合律。 三、考查形式说明 1. 题型分布：选择题（主要）、填空题（主要）、解答题（仅新定义题型偶见）。 2. 命题特点： 3. 基础题型注重概念辨析与基本运算，直接考查核心知识。 1. 中档题型侧重知识综合，如结合不等式、参数考查集合关系与运算。 2. 创新题型以新定义为载体，考查逻辑推理与知识迁移能力，常结合函数、不等式等知识拓展。 第一课时 集合的概念与表示、元素的特性 【学习目标】 1. 掌握集合的定义、两种表示方法及常见数集符号，能实现表示方法转化。 2. 理解元素的确定性、互异性、无序性，能运用互异性求参数范围。 【知识梳理】 一、集合的基本概念 1. 元素与集合：研究对象称为元素（用小写字母表示），元素组成的总体称为集合（用大写字母表示）。 2. 常见数集符号： 自然数集：（含 0） 正整数集：或 整数集：；有理数集：；实数集： 二、集合的表示方法 方法 形式 适用场景 示例 列举法 元素有限且较少 描述法 元素无限或有共同特征 三、元素的特性 · 确定性：元素是否属于集合明确（如 “高个子” 不能构成集合）。 · 互异性：集合中元素互不重复（核心考点）。 · 无序性：元素顺序不影响集合（如）。 【题型突破一：集合的概念与表示】 典例剖析 例 1：判断下列集合表示是否正确，若错误请改正。 （1）表示大于 5 的数集；（2）；（3）。 解析：（1）正确，符合描述法规范； （2）错误，违背互异性，改正为； （3）错误，点集需用有序数对，改正为。 例 2：将集合用列举法表示，集合用描述法表示。 解析：中整数元素为，故； 中元素是不大于 6 的非负偶数，故。 变式训练 1. 下列集合与表示同一集合的是（ ） 2. 用适当方法表示 “所有被 3 整除的整数” 组成的集合。 【题型突破二：集合中元素的特性】 典例剖析 例 3：已知集合，若，求实数的值。 解析：分情况讨论： · 若，则，集合为，满足互异性； · 若，则，此时集合分别为，均满足互异性。 综上，或。 例 4：已知集合中只有 1 个元素，求实数的值。 解析： · 当时，方程为，解为，集合，符合题意； · 当时，，解得，此时方程有唯一解，集合，符合题意。 综上，或。 变式训练 1. 已知集合，若，求的值。 2. 若集合中元素只有 1，求的值。 【易错提醒】 1. 用描述法时，切勿遗漏代表元素的特征（如不能写成。 2. 求参数后必须检验互异性，避免出现重复元素。 【课时小结】 1. 集合表示需遵循规范，列举法去重，描述法含 “代表元素 + 特征”。 2. 元素特性中，互异性是解题关键，参数问题需分类讨论并检验。 【课后作业】 1. 用描述法表示集合。 第二课时 元素与集合的关系、集合的基本关系 【学习目标】 1. 能准确判断元素与集合的 “属于” 或 “不属于” 关系。 2. 掌握子集、真子集、相等的定义，能解决含参数的包含关系问题。 【知识梳理】 一、元素与集合的关系 1. 若是集合的元素，记作；否则记作。 2. 本质：个体与整体的确定性关系（如。 二、集合的基本关系 关系 定义 符号表示 性质 子集 中元素均在中 真子集 相等 元素完全相同 三、子集个数公式 若集合有个元素，则： · 子集个数： ；真子集个数： ；非空真子集个数： 【题型突破三：元素与集合的关系】 典例剖析 例 1：用或填空： （1）；（2）； 解析：（1）是实数）；（2）（正整数集不含负数）。 例 2：已知集合，证明：。 解析： 假设，故。 变式训练 1. 2. 【题型突破四：集合的基本关系】 典例剖析 例 3：判断下列集合关系： （1）；（2）。 解析：（1）解方程得；（2）菱形是特殊平行四边形，故。 例 4：已知集合，若，求的取值范围。 解析：结合数轴，要使中所有元素均在中，需，则，不满足），故。 例 5：求集合的所有子集和真子集。 解析：子集共：； 真子集共个（去掉自身）。 变式训练 1. 已知集合，则的关系是（ ） 2. 已知集合，若，求的值。 【易错提醒】 1. 空集是任何集合的子集，含参数的包含关系问题需优先考虑空集（如，若可能为空集，先讨论）。 2. 区分 “元素与集合”（）和 “集合与集合”（）的关系符号。 【课时小结】 1. 元素与集合的关系需紧扣集合的元素特征，代入验证即可。 2. 集合关系判断可通过列举元素或画数轴，含参数问题注意分类讨论空集。 【课后作业】 1. 已知集合，求的取值范 第三课时 集合的基本运算、Venn 图的应用 【学习目标】 1. 熟练掌握交集、并集、补集的运算，能解决含参数的运算问题。 1. 会用 Venn 图表示集合关系与运算，提取图形中的集合信息。 【知识梳理】 一、集合的基本运算 运算 定义 符号表示 性质 交集 公共元素组成的集合 并集 所有元素（去重）组成的集合 补集 全集内不属于的元素组成的集合 二、Venn 图的应用 1. 表示关系：子集（圆内含）、真子集（圆内含且不重合）、相等（圆重合）。 2. 表示运算：交集（两圆重叠部分）、并集（两圆覆盖区域）、补集（矩形内圆外区域）。 【题型突破五：集合的基本运算】 典例剖析 例 1：，求： 。 解析：（1）（公共元素）；（2）（所有元素）；（3）中不含的元素）。 例 2：已知，，求和，并在数轴上表示。 解析：数轴略，（重叠区间）；（合并区间）。 例 3：已知，，若，求的值。 解析：，由得： · 当时，，成立； · 当时，，则或，解得或。 综上，。 变式训练 1. 设 2. 【题型突破六：Venn 图的应用】 典例剖析 例 4：如图（ 图略），为全集，为其子集，阴影部分表示的集合是（ ） 解析：阴影部分位于集合的区域内，且在集合的区域外，即属于且不属于的元素组成的集合，故表示，选 C。 例 5：用 图表示全集，集合，，并标出和对应的区域。 解析：画矩形表示，内部画两个相交的圆分别表示和： · 两圆重叠部分标注； · 两圆覆盖的全部区域标注； · 矩形内两圆外的区域标注。 变式训练 1. 已知全集，集合的 Venn 图如图（Venn 图略），阴影部分表示的集合是（ ） 2. 用 Venn 图表示 “集合是集合的真子集，且集合是集合的子集”，并写出图中所有区域对应的集合。 【易错提醒】 1. 用 Venn 图表示补集时，需先明确全集范围，避免遗漏 “矩形边界” 的限定作用。 2. 多集合的 Venn 图中，需准确区分 “重叠区域” 对应的交集关系，避免混淆多集合的运算组合。 【课时小结】 1. 集合运算需紧扣 “交集取公共、并集取全部、补集取剩余” 的核心规则，无限集运算借助数轴更直观。 2. Venn 图是集合关系与运算的 “可视化工具”，关键是明确阴影区域与集合运算的对应关系。 【课后作业】 1. 已知是小于 10 的正整数}，，用 Venn 图表示，并写出各集合的元素。 第四课时 集合中元素的个数问题、新定义集合问题 【学习目标】 1. 掌握有限集元素个数的计数方法，能运用并集元素个数公式解决实际问题。 2. 能快速理解新定义集合的规则，迁移运用已有知识解决创新问题。 【知识梳理】 一、集合中元素的个数 1. 相关概念： 1. 有限集：元素个数确定的集合，用表示集合的元素个数（如，则。 1. 无限集：元素个数无限的集合（如），不讨论具体元素个数。 1. 核心公式：对于任意两个有限集，（减去重复计数的交集部分）。 1. 拓展公式：若有三个有限集，则。 二、新定义集合问题 1. 题型特征：给出新的集合概念（如差集、对称差集等）或运算规则，要求结合已有知识求解。 1. 解题关键： · 第一步：精准解读新定义，明确 “新关系” 或 “新运算” 的本质（如 “差集” 即中去掉的元素）。 1. 第二步：将新定义转化为熟悉的集合关系或运算（如。 1. 第三步：运用集合的基本性质或运算规则求解。 【题型突破七：集合中元素的个数问题】 典例剖析 例 1：求下列集合的元素个数： （1）；（2）。 解析：（1）满足条件的整数为，共 7 个，故； （2）满足条件的有序数对为，共 6 个，故。 例 2：某校高一年级有 100 名学生，其中参加篮球社团的有 35 人，参加足球社团的有 45 人，既参加篮球社团又参加足球社团的有 10 人，求： （1）至少参加一个社团的学生人数；（2）两个社团都不参加的学生人数。 解析：设，，则。 （1）至少参加一个社团的人数为； （2）两个社团都不参加的人数为。 例 3：已知集合，若，求实数的值。 解析：解方程得，即，故 2 和 3 是方程的根： · 代入，即，解得； · 代入 综上，。 变式训练 1. 已知集合，，求。 1. 已知集合，若，求实数的值。 【题型突破八：新定义集合问题】 典例剖析 例 4：定义集的 “对称差集” 为，其中。已知，求。 解析：先求： · ； · ； 故。 例 5：定义 “闭集”：若集合，则，称为闭集。判断下列集合是否为闭集，并说明理由： （1）整数集；（2）有理数集；（3）集合；（4）集合。 解析：（1）是闭集：任意两个整数的和与差仍为整数，满足闭集定义； （2）是闭集：任意两个有理数的和与差仍为有理数，满足闭集定义； （3）是闭集：设，则，满足定义； （4）不是闭集：取，不满足闭集定义。 变式训练 1. 2. 【易错提醒】 1. 运用元素个数公式时，需先明确集合是否为有限集，无限集不能使用该公式。 2. 新定义问题中，若对定义理解模糊，可先代入具体元素验证，再提炼本质规律。 【课时小结】 1. 有限集元素个数问题可通过 “枚举法” 或 “公式法” 求解，实际问题需先转化为集合关系。 2. 新定义集合问题的核心是 “翻译”，将陌生定义转化为熟悉的集合语言，再结合基本性质求解。 【课后作业】 1. 定义集合的 “商集” 为。已知，求。 四、全节整合提升 （一）核心考点梳理 题型类别 核心考点 考查频率 难度层级 集合的概念与表示 表示方法转化、代表元素识别 高频 基础 集合中元素的特性 互异性的应用 高频 基础 元素与集合的关系 与的判断 高频 基础 集合的基本关系 子集、真子集的判断与参数求解 高频 中档 集合的基本运算 交、并、补运算及参数问题 高频 中档 Venn 图的应用 图形与集合运算的转化 中频 基础 集合中元素的个数 有限集计数与公式应用 中频 中档 新定义集合问题 定义解读与知识迁移 中频 中档偏难 （二）易错点汇总 1. 描述法中遗漏代表元素； 2. 忽略空集的特殊性（含参数的子集问题未讨论空集）； 3. 混淆元素与集合的关系符号（如用表示元素属于集合）； 4. 新定义问题中对规则理解不全面（未验证特殊情况）。 （三）解题思想提炼 1. 分类讨论思想：含参数的集合问题（如子集、运算求参数）需分类讨论参数取值； 2. 数形结合思想：无限集的关系与运算借助数轴，多集合关系借助 Venn 图； 3. 转化与化归思想：新定义问题转化为熟悉的集合语言，实际问题转化为集合关系。 1 学科网（北京）股份有限公司 $