1.4.2角平分线的性质 教学设计 2025-2026学年 苏科版 数学八年级上册

1.4.2　角平分线的性质 张田田 一、教学目标 1．经历观察、测量、猜想、验证、交流等活动，探索并证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2．能用角平分线的性质定理及其逆定理解决简单问题，发展学生推理能力的核心素养． 二、教学重点、难点 教学重点：探索并证明角平分线的性质定理及其逆定理． 教学难点：角平分线的性质定理及其逆定理的应用． 三、教学过程 （一）回顾旧知 问题1　上节课，我们研究了线段垂直平分线的相关知识，请你说一说． 问题2　研究完线段中特殊的线——垂直平分线，接下来我们继续研究角平分线，根据角平分线的定义，你得到哪些结论？ 追问1　研究完定义之后研究什么？ 追问2　你为什么会想到研究角平分线的性质和判定？如何研究？ 已学 新知 一脉相承的研究内容 一以贯之的研究方法 线段垂直平分线 类比 迁移 角平分线 性质 判定 应用 图1 预设　通过对已学线段垂直平分线的知识回顾，在师生问答中唤醒学生已有的认知，梳理线段垂直平分线的来龙去脉，然后研究角平分线的相关知识，明晰新旧知识之间的联系，找准知识的生长点，形成如图1的知识框架． 设计意图　由于学生已经学习了线段、角等基本元素，也研究了线段垂直平分线的性质定理与逆定理，掌握了研究几何图形的一般路径，有效迁移已有知识，引导学生在思考过去事情的同时总结经验，寻求探索方向，为探究新课“角平分线的性质”做铺垫． 　　（二）数学建构 1．探究角平分线的性质定理 问题3　如图2，在∠AOB的平分线上任意取一点P（异于点O），作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．测量PC和PD，你能得到哪些结论？ 图2 追问1　PC与PD一定相等吗？ 追问2　角平分线上的点是否都满足这样的结论？你能在角平分线上再取几个点试一下吗？请你用文字语言将你的结论表述出来． 追问3　你能通过严谨的逻辑推理证明这个结论吗？ 证明：∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴∠PCO＝∠PDO＝90°． ∵OP是∠AOB的角平分线， ∴∠COP＝∠DOP． 又∵OP＝OP， ∴△PCO≌△PDO． ∴PC＝PD． 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 符号语言：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴ PC＝PD． 预设　学生可以通过测量、折叠等方式，动手操作、观察比较发现PC＝PD．部分学生可以通过问题中的条件借助三角形全等进行演绎推理，探究角平分线的性质，最终结合图形语言，从文字语言和符号语言上归纳概括得出结论． 设计意图　首先请学生通过测量、折叠发现角平分线上的点到角两边距离相等的结论，过程遵循学生的认知规律，通过连续追问，引导学生发现角平分线上的任意一点到角两边的距离都相等的关系，渗透从特殊到一般的研究方法，实现了从操作几何到论证几何的进阶，让学生感受到逻辑推理论证的必然性，让学生能够深刻体会知识的发生和发展过程．学生经过上述研究活动，强化了对知识的理解，认识到了知识的来龙去脉，积累了数学几何知识探究的活动经验，这为实现知识迁移奠定了基础． 2．探究角平分线性质定理的逆定理 问题4　如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上吗？ 追问1　这个结论正确吗？ 追问2　你能用符号语言写出这个命题的已知和求证吗？如何证明？ 已知：如图3，点Q在∠AOB内，QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为C，D，且QC＝QD． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 图3 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 符号语言：∵ QC⊥OA，QD⊥OB，QC＝QD， ∴ OQ平分∠AOB． 角平分线是到角两边距离相等的点的集合． 设计意图　根据垂直平分线的研究思路，在研究完性质后要研究逆定理（判定），问题4引导学生通过猜想、验证探究角平分线性质定理的逆定理，会从文字命题中找出已知和求证，并转化为符号语言和图形语言，利用“HL”证明两个直角三角形全等，从而得到角相等，对所得结论进行演绎推理，使学生在推理的过程中进一步感受逻辑推理，发展学生的推理能力． （三）例题分析 例　如图4，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P．求证：点P在∠C的平分线上． 图4 问题5　若要证明点P在∠C的平分线上，需要满足什么条件？ 追问1　如何证明点P到∠C两边的距离相等？ 追问2　题目中有哪些条件？你能得到哪些结论？ 预设　学生通过独立思考，分析题干中角平分线AD，BE的条件，作辅助线PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC（如图5），利用角平分线的性质定理得到PF＝PN，PF＝PM，从而得到PM＝PN，再利用角平分线性质定理的逆定理得到点P在∠C的平分线上． 　　图5 结论　三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 设计意图　例题是角平分线的性质定理及其逆定理的直接应用，题中出现了两条角平分线，需要学生会正确作出辅助线并根据角平分线的性质定理，分析图形中线段的相等关系，再利用逆定理得出结论，过程中引导学生自己对问题进行分析和思考，形成如图6的思路分析图，提高学生分析问题、解决问题的能力． 图6 （四）视野拓展 探究　如图7，把直尺的一边落在∠AOB的边OA上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF；CD与EF相交于点P．连接OP，OP是∠AOB的平分线吗？为什么？ 图7 预设　学生通过例题中获取的经验可以想到过点P作OA，OB的垂线，同时题干中隐藏条件直尺的宽相等，从而得到线段相等，借助角平分线，性质定理的逆定理证得结论成立． 设计意图　探究是在前面研究的基础上，对角平分线性质定理的逆定理再次应用，关联思考实现迁移，引导学生从“怎么做”走向“怎么想”，让问题解决水到渠成，促进学生思维进阶与优化，贯穿融通，不断积累活动经验． 　　（五）课堂小结 1．通过今天的学习和研究，你对角平分线有了哪些新的认识？ 2．通过研究角平分线的性质，你获得了哪些经验？你还有哪些疑问？ 3．如果让你研究一个图形，你怎样研究？ 设计意图　师生共同从基础知识、活动经验、数学思想、核心素养等方面总结，引导学生对所学的知识、技能与方法有一个系统全面的认识，从而更好地理解数学，并渗透几何图形的一般研究路径，为学生研究其他新的图形奠定基础，结合数学思想方法和获得经验解决更多的问题，达到经验迁移和能力提升，从而学以致用，学有所用．回顾反思之处，亦是思维延伸之处，“你还有哪些疑问？”让学生主动地提出问题和解决问题，实现思维提升． 　　（六）作业布置 课本P38—39练习1，2，P40习题7，8． 四、教学设计说明 在本课教学中，教师从学生已有知识和经验出发，通过线段垂直平分线的研究路径让学生探索角平分线的性质，借助一系列的问题链，引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，进一步强化学生对新知的理解，提升数学能力． 学科网（北京）股份有限公司 $