精品解析：浙江省绍兴市嵊州市爱德初级中学2025-2026学年九年级上学期开学考数学试卷

嵊州市爱德初级中学开学考 九年级数学 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 3. 抛物线与x轴的一个交点是，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 先求出抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点是， ∴这个抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，即为． 故选B． 4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 5. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 6. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的函数表达式为，即， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足， 点A， C， E， G均在双曲线 的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高的值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了双曲线的解析式、点的坐标与线段长度等知识点，求得双曲线的解析式是解题的关键． 把点A的坐标代入可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点E、点G的横坐标，代入解析式可得点E、点G的纵坐标，然后作差即可解答． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足， ∴点E的横坐标为，点G的横坐标为， ∴点E的纵坐标为，点G的纵坐标为， ∴， 故选：B． 8. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 9. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D 10. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0求解即可； 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，， 解得． 故答案为：． 12. 已知方程的一个根为2，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：令方程的另一个根为， 则， 所以， 即方程的另一个根为． 故答案为：． 13. 某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x=_____． 【答案】12或8 【解析】 【分析】先根据中位数和平均数的概念得到平均数等于 ，由题意得到=10或9，解出x即可． 【详解】∵这组数据的中位数和平均数相等， ∴=10或9， 解得：x=12或8， 故答案是：12或8． 【点睛】考查了中位数的概念：一组数据按从小到大排列，最中间那个数（或最中间两个数的平均数）就是这组数据的中位数． 14. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有______填序号 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，， ∴， ∴， ∴①错误； ②当时，由图象知， 把代入解析式得：， ∴， ∴②错误； ③∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为， ∴，，， ∴， ∴ ∴③正确； ④由①②知且， ∴，④正确； ⑤∵时，最大值， 时，， ∵的实数， ， ∴成立． ∴⑤正确． 故答案为：③④⑤． 15. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知、运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 则如图，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键． 16. 不论m取何值，二次函数 的图象都不经过直线上的点 P，则点 P 的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，掌握函数图象的交点坐标满足两函数解析式成为解题的关键． 联立两函数关系式可得，解方程可得或；再分和两种情况解答即可． 【详解】解：联立， 整理得：， 所以， ∵不论m取何值，二次函数 的图象都不经过直线上的点 P， ∴要使该等式对任意m值都不成立，必须满足 ， 解方程可得或， 当时，，符合题意； ∴，即； 当时，，符合题意； ∴，即． 综上，点 P 的坐标是或， 故答案为：或． 三、解答题：（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）0；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则和方法是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质、绝对值化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）直接用配方法求解即可． 【详解】解:（1） ． （2） ， ， ， ， ∴，． 18. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子， ∴选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有一个根是，求k的值． （2）若该方程的两个实数根满足， 求k的值． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）把代入方程求出k的值即可； （2）根据方程有两个实数根得到，求解可得k的取值范围；根据根与系数的关系可得，再整理并将整体代入得到关于k的一元二次方程求解即可； 【小问1详解】 解：把代入方程得： 解得：或； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根 ∴，解得：； ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）． ∴． 20. 如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： （1）如图2，求该抛物线的函数解析式． （2）当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） 【答案】（1）； （2）水面宽度增加米 【解析】 【分析】（1）根据题意可设该抛物线的函数解析式为，再把点代入，即可求解； （2）根据题意可得水面下降1米，到处时，点D的纵坐标为，把代入，可得到水面的宽度，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为， ∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米． ∴点，， 把点代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵水面下降1米，到处， ∴点D的纵坐标为， 当时，， 解得：， ∴此时水面宽度为米， ∴水面宽度增加米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键． 21. 如图，正方形中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴且． 又， ． ． 又． ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形是正方形，得出且．结合，得出．结合，即可证明四边形是平行四边形． （2）过点作于点．根据四边形是正方形，，得出．结合，证出四边形是矩形．得出．结合，得出．在中，由勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点． ∵四边形是正方形，， ． 又， ∴四边形是矩形． ． 又， ． 在中，由勾股定理得． 22. 如图， 在矩形中，， 点E在边上， 且． （1）求线段的长． （2）F为的中点， M为的中点， N为上一点， 若， 求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的性质与判定等知识点，熟知矩形的性质与勾股定理是解题的关键． （1）由已知条件易得，再利用勾股定理求解即可； （2）如图：过点M作于H，由矩形的性质得到，，证明得到，，则可证明，可得，则；由勾股定理得，则，解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：如图：过点M作于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，设函数（m是实数），，已知函数与的图象都经过点和点． （1）求函数，的解析式与点的坐标． （2）当时，请直接写出自变量x的取值范围． （3）已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为， （2）时，自变量的取值范围为或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）将点坐标代入一次函数求出值得到点坐标，得到反比例函数解析式，再联立方程组得到点坐标即可； （2）由两个函数性质及交点坐标直接写出不等式的解集即可； （3）根据题意先推出，再推出，，两者结合可得的取值范围． 【小问1详解】 解：函数经过点， ， 解得：， ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为． 联立方程组，解得，， ； 【小问2详解】 解：由两个函数的性质及交点坐标可知： 当时，自变量的取值范围为或； 【小问3详解】 解：点和点在函数的图象上， ，， ， ，， ， ， ， ． 的取值范围为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，，的最小值为 【解析】 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 ∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； 【小问3详解】 存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嵊州市爱德初级中学开学考 九年级数学 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 抛物线与x轴的一个交点是，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足， 点A， C， E， G均在双曲线 的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高的值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 9. 如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 10. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 已知方程的一个根为2，则另一个根为______． 13. 某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x，10，8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x=_____． 14. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有______填序号 15. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______． 16. 不论m取何值，二次函数 的图象都不经过直线上的点 P，则点 P 的坐标是______． 三、解答题：（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）若该方程有一个根是，求k的值． （2）若该方程的两个实数根满足， 求k的值． 20. 如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面2米时，水面宽4米，如图建立平面直角坐标系，解答下列问题： （1）如图2，求该抛物线的函数解析式． （2）当水面下降1米，到处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） 21. 如图，正方形中，点E，F分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，求的长． 22. 如图， 在矩形中，， 点E在边上， 且． （1）求线段的长． （2）F为的中点， M为的中点， N为上一点， 若， 求线段的长． 23. 在平面直角坐标系中，设函数（m是实数），，已知函数与的图象都经过点和点． （1）求函数，的解析式与点的坐标． （2）当时，请直接写出自变量x的取值范围． （3）已知点和点在函数的图象上，且，设，当时，求的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； （3）在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $