精品解析：四川省广元中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

四川省广元中学2025-2026学年度高2023级高三上人学数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. 11 D. 3. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 4. 已知为单位向量，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A. 2sin40° B. 2cos40° C. D. 6. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 7. 已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 66 B. 72 C. 132 D. 198 8. 已知定义在上的连续函数的导函数为，则下列说法错误的是（ ） A. 若关于中心对称，则关于对称 B. 若关于对称，则有对称中心 C. 若为周期函数，则为周期函数 D. 若为奇函数，为偶函数，则周期为 二．多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（    ） A. B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的值域为 10. 如图，正四面体的棱长为1，，分别是棱，上的点，且，，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 直线与直线异面 C. 不存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 11. 已知抛物线和椭圆有相同的焦点F，且交于M，N两点，C的准线与交于P，Q两点，则（ ） A. 存在，使为等边三角形 B. 存在，使四边形PQNM为正方形 C. 任意，点M总在圆外 D. 任意，椭圆上任一点总在圆外 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则______． 13. 某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为15，则该圆台的侧面积为______． 14. 函数，若f(x)>0在(0，+∞)恒成立，则a的取值范围是___. 四．解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，， （1）求； （2）当为奇数时，求数列的前项和 16. 如图1，，，且，D是中点，沿将折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：面面； （2）若线段上存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值． 17. 已知双曲线M与双曲线N：有共同的渐近线． （1）若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程； （2）若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程． 18. 如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”.已知，设曲线在点处的切线为. （1）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由； （2）如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数a的集合； （3）若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围. 19. 从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试． （1）若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列； （2）若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下： 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传回B节点. 初始时数据在节点，设经过次骰子投掷（即次传输）后，数据在A节点的概率为， ①求 ②求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广元中学2025-2026学年度高2023级高三上人学数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，画出数轴，可求出结果. 【详解】集合，，在数轴上表示如图所示：由图可得. 故选：B 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. 11 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚部定义求解. 【详解】复数的虚部为． 故选：D. 3. 函数的图像大致为 (　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，及函数的增长的快慢来确定函数图像. 【详解】，所以，为奇函数，故A错误； D错误； ，故当时，， 所以函数在上单调递增，且当时，， 即越大，函数值会无限增大，不会停止增长. 选项C：当时，函数图象缓慢增长，趋近一条水平直线， 函数值最终几乎不再增长，趋近某个常数，函数图象与不符，故C舍去； 选项B：当时，函数图象持续增长，且增长速度越来越快， 函数值随增大无限变大，函数图象与一致，故B正确. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知为单位向量，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由求出，再利用向量的夹角公式可求得结果. 【详解】因为为单位向量，且， 所以，得， 所以， 因为，所以. 故选：C 5. 双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A. 2sin40° B. 2cos40° C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线渐近线定义可得，再利用求双曲线的离心率． 【详解】由已知可得， ，故选D． 【点睛】对于双曲线：，有；对于椭圆，有，防止记混． 6. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意知本题需要分步计数， 2和4排在末位时，共有种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）． 故选：C． 7. 已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（ ） A. 66 B. 72 C. 132 D. 198 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的公差，求得其通项公式求解. 【详解】因为等差数列的公差, 所以，则 ， 所以 ， 由 ，得 ， 所以 或12时，该数列的前项和取得最大值， 最大值为， 故选：A 8. 已知定义在上的连续函数的导函数为，则下列说法错误的是（ ） A. 若关于中心对称，则关于对称 B. 若关于对称，则有对称中心 C. 若为周期函数，则为周期函数 D. 若为奇函数，为偶函数，则周期为 【答案】D 【解析】 【分析】由对称性可得，两边求导，即可判断A，由，令，求导可得，从而得到，即可判断B，根据周期性得到，求导即可判断C，根据奇偶性与周期性判断D. 【详解】对于A，若关于中心对称，则， 两边求导可得0，即， 所以关于对称，故A正确； 对于B，若关于对称，则， 令，则， 所以（为常数），即，所以有对称中心，故B正确； 对于C，若为周期函数，则， 两边求导可得，即，故C正确； 对于D，因为为奇函数，所以，， 即①， 又为偶函数，故，可得， 即②， 由①②得到，，故周期为4，故D错误. 故选：D. 【点睛】结论点睛：若图像关于直线对称． 若图像关于点对称. 二．多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（    ） A. B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数的图象性质以及图象的平移变换即可一一判断求解. 【详解】A选项：由题知，设的最小正周期为， 则，∴，∴. ∵，∴，则， 得，又，∴， ∴，故A正确； B选项：因为，所以其图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，故B正确； C选项：由得，则在区间上不单调，故C错误； D选项：∵，∴，∴， ∴，∴在区间上的值域为，故D正确. 故选：ABD. 10. 如图，正四面体的棱长为1，，分别是棱，上的点，且，，则（ ） A. 不存在，使得平面 B. 直线与直线异面 C. 不存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于B，根据异面直线的定义即可判断；对于A，当时，E，F分别是棱BD，CD的中点，得到，再根据线面平行的判定定理即可得解；对于C，根据题意得到当E，O，F三点共线时，平面平面BCD，然后利用平面向量基本定理的推论判断即可；对于D，先求出三棱锥的高AO，然后利用基本不等式求出面积的最大值，即可求出三棱锥体积的最大值． 【详解】因为直线与平面交于点，平面，且不经过点，所以直线与直线异面，故B正确. 当时，，分别是棱，的中点，此时， 因为平面，平面，所以平面，故A错误. 设为的中心，连接，因为经过点有且只有一条直线垂直于平面 ，所以经过点且垂直于平面的平面一定经过直线， 即当且仅当，，三点共线时，平面平面， 因为，， 所以，，设的中点为，连接， 则，因为，，三点共线， 所以，整理得，因为，所以此方程无解， 所以不存在，使得平面平面，故C正确. 易知，在中 ，，所以的面积， 当且仅当时等号成立，所以三棱推体积的最大值为. 故D错误. 故选：BC 11. 已知抛物线和椭圆有相同的焦点F，且交于M，N两点，C的准线与交于P，Q两点，则（ ） A. 存在，使为等边三角形 B. 存在，使四边形PQNM为正方形 C. 任意，点M总在圆外 D. 任意，椭圆上任一点总在圆外 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意,焦点，则抛物线，准线方程为，若为等边三角形，即，可求出，判断A；根据椭圆、抛物线的对称性，则，发生矛盾，可判断B；利用抛物线定义判断C；利用椭圆定义和性质判断D. 【详解】根据题意，椭圆， ，所以焦点， 则抛物线，准线方程为， 设椭圆左焦点为，准线过点， 若为等边三角形，即， 即，解得，故A正确； 根据椭圆、抛物线的对称性，若四边形PQNM为正方形， 则，所以直线方程为， 代入抛物线方程，得，此时，矛盾，B错误； 根据题意，又由抛物线定义，， 所以任意，点M总在圆外，C正确； 设椭圆上任意一点，根据椭圆定义， 则，而， 所以，所以点在圆外，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：选项C、D中，分别利用抛物线和椭圆定义进行判断是解题关键. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入公式计算即可. 【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量是， 所以，即，所以， 故答案为：. 13. 某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为15，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，根据条件求出，再利用圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设该圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则，其母线长， 所以，，故， 故答案为：. 14. 函数，若f(x)>0在(0，+∞)恒成立，则a的取值范围是___. 【答案】 【解析】 【分析】转化问题为在上恒成立,设和,分别求得和,则,进而求解. 【详解】要使, 即在上恒成立, 设,则, 当时,；当时,, 则在上递减,在上递增,且, 设,则, 当,；当时,, 所以在上递增,在上递减,则, 所以只需, 则, 故答案为: 【点睛】本题考查利用导函数求函数的最值,考查利用导函数处理不等式恒成立问题,考查转化思想和运算能力. 四．解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，， （1）求； （2）当为奇数时，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得出数列为等差数列，即可求出结果； （2）根据条件得出，由（1）知，再利用分组求和即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到， 设， 则， 又，所以为奇数时， 16. 如图1，，，且，D是中点，沿将折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：面面； （2）若线段上存在一点M，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值． 【答案】（1）因为，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 面面，面面， 故以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，在平面内过D点作的垂线所在直线为z轴，建立空间直角坐标系． ， ，，， 则平面的一个法向量， 设，则， ， 设面的一个法向量为， ，即， 令，得， 平面与平面夹角记为， 则，解得． 所以. 17. 已知双曲线M与双曲线N：有共同的渐近线． （1）若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程； （2）若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先利用共渐近线方程，设出曲线，再代入顶点坐标，即可求解； （2）根据双曲线的定义求，再分焦点的位置，根据双曲线的性质，即可求解. 【小问1详解】 依题意可设M的方程为． 抛物线，顶点为， 将代入M的方程，得，则M的方程为． 【小问2详解】 由题意易知，． 当焦点在x轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，， 则双曲线M的方程为． 当焦点在y轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，， 则双曲线M的方程为． 综上所述，双曲线M的方程为或． 18. 如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”.已知，设曲线在点处的切线为. （1）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由； （2）如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数a的集合； （3）若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，，则，即的斜率， 假设存在，则的斜率， 则有解，即在上有解， 该方程化简为，解得或，符合要求， 因此该函数存在另外一条与垂直的切线. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先求得的切线斜率，再根据“正交函数”的定义得到方程有解即可. （2）利用导数讨论的单调性，根据“正交函数”的定义即可得到 （3）结合第（2）问的结论，利用补集的思想与基本不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增； 设曲线的另一条切线的斜率为， 当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线； 当时，，且， ∴，，且，， ∴在、上各有一个零点， 故当，或时，都有； 当时，， 故必存在，即曲线存在相互垂直的两条切线， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为，由（2）知，曲线存在相互垂直的两条切线， 不妨设，，满足，即， 又，， 所以， 故， 当且仅当时等号成立，所以， 解得， 又，即， 解得， 因为，， 所以. 综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数解决函数新定义问题.关键点是根据题中函数的新定义，结合已学知识进行解题，第（3）问用到了补集的思想，即先求出存在相互垂直的两条切线时的范围，再求该范围的补集，即可得出结果. 19. 从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试． （1）若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列； （2）若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下： 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传回B节点. 初始时数据在节点，设经过次骰子投掷（即次传输）后，数据在A节点的概率为， ①求 ②求 【答案】（1）得分布列为： X 1 2 3 P （2）①；②．【解析】 【分析】（1）利用超几何分布可求的分布列； （2）设投掷次后，数据仍在中的概率为，则可得，，利用构造法可求通项. 【小问1详解】 的可能取值为1，2，3 ，， 所以得分布列为： X 1 2 3 P 【小问2详解】 ①由题意，当投掷3次骰子后，点数大于3的概率为，若点数大于4的概率为， 数据在中，共有4种情况： ，其概率为； ，概率为； ，概率为； ，概率为； 所以投掷3次后，数据在中的概率为． ②设投掷次后，数据在中的概率为， 所以当时，， ， 所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $