专题02 全等三角形 （20大题型，含6大常考几何模型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材人教版

专题02 全等三角形 题型1 图形的全等 题型11 尺规作图（重点） 题型2 全等三角形的概念 题型12 角平分线的性质定理（易错点） 题型3 全等三角形的性质（常考点） 题型13 角平分线的判定定理（易错点） 题型4 全等的性质和SSS综合（重点） 题型14 角平分线性质的实际应用 题型5 全等的性质和SAS综合（重点） 题型十五 一线三等角模型（难点） 题型6 全等的性质和ASA（AAS）综合（重点） 题型十六 手拉手模型（难点） 题型7 全等的性质和HL综合（重点） 题型十七 角含半角模型 （难点） 题型8 添加条件使三角形全等（常考点） 题型十八 利用“倍长中线法”构造全等三角形（难点） 题型9 灵活选用判定方法证全等（常考点） 题型十九 利用角平分线构造全等三角形 （难点） 题型10 全等三角形综合问题（难点） 题型二十 利用“截长补短法”构造全等三角形（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 图形的全等（共3小题） 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·河南许昌·期中）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则（    ） A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 题型二 全等三角形的概念（共4小题） 4．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·全国·期中）全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 ，重合的边叫 ，重合的角叫 ． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 题型三 全等三角形的性质（共6小题） 8．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 9．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，，，，则度数为（   ）    A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·全国·期中）给出下列说法：①全等三角形的形状相同，大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有 ． 11．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，，，，，则的长为 ． 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求的度数． 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知于点，点在上，交于点F，． (1)若，，求的长． (2)试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 题型四 全等的性质和SSS综合（共3小题） 14．（24-25八年级上·河南南阳·期中）三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，，支撑杆，等长，当伞圈D沿着伞柄滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．这里推断的理由是（   ） A．由，，，得 B．由，，，得 C．由，，，得 D．由，，，得 15．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，在中，，分别以为一边，向外作和，若,，则的度数为 ．    16．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 题型五 全等的性质和SAS综合（共9小题） 17．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知四边形中，，，，，点是线段的三等分点（靠近处）．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若要使得与全等，则点的运动速度为（      ）． A． B．或 C． D．或 18．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 20．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，平分，，则 ． 21．（24-25八年级上·江西新余·期中）在中，边，中线，则边的取值范围是 ． 22．（24-25八年级上·北京·期中）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，，，，求证：． 证明：∵， ∴____________， 即____________ 在和中， ∴（______）． 23．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，公园有一条形道路．其中，在处各有一个石凳，且为的中点，连接．    (1)石凳到石凳的距离是否相等？请说明理由； (2)三点是否共线？请说明理由． 24．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 25．（24-25八年级·湖南岳阳·期中）如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：． 题型六 全等的性质和ASA（AAS）综合 （共4小题） 26．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，，则 ． 27．（22-23八年级上·全国·期中）如图，，，，于D，，，则 ． 28．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知如图，在和中，，交于点M．求证：； 29．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型七 全等的性质和HL综合（共8小题） 30．（24-25八年级上·河北唐山·期中）使两个直角三角形全等的条件是（   ） A．一个锐角分别相等 B．斜边和一条直角边分别相等 C．一条直角边分别相等 D．两锐角分别相等 31．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，可以判定的依据是（   ）    A． B． C． D． 32．（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 33．（22-23八年级上·全国·期中）如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 34．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为 ． 35．（24-25八年级·福建漳州·期中）如图，已知，于点，于点，．求证：． 36．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 37．（24-25八年级·陕西咸阳·期中）将和按如图①方式摆放，已知，，点在线段上，延长交线段于点． (1)线段与之间的数量关系是___________； (2)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其余条件不变，如图②，求证：； (3)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且的延长线交线段于点，其余条件不变，如图③，（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 题型八 添加条件使三角形全等（共3小题） 38．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·天津红桥·期中）如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 40．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 题型九 灵活选用判定方法证全等 （共2小题） 41．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 42．（24-25八年级·江西萍乡·期中）下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（   ） ①两个锐角对应相等            ②两条直角边对应相等        ③斜边和一直角边对应相等 ④一锐角和斜边对应相等        ⑤一锐角和一直角边对应相等 A．5 B．4 C．3 D．2 题型十 全等三角形综合问题（共3小题） 43．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在和中，，，点，分别在边和边上，，下列判断正确的是（   ） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等． A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 44．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 45．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）问题背景：如图1，四边形，绕点旋转，它的两边分别交于．探究图中线段之间的数量关系．小白同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是； 探究延伸1：如图2，在四边形中，绕点旋转．它的两边分别交于，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要求说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中，绕点旋转．它的两边分交于．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在中俄联合军演中，辽宁舰在指挥中心（处）北偏西的A处．瓦良格号舰在指挥中心南偏东的处，并且两舰到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，同时瓦良格号沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到辽，瓦两舰分别到达处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 题型十一 尺规作图（共6小题） 46．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 47．（24-25八年级上·广东江门·期中）在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25八年级上·全国·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 49．（24-25八年级上·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 50．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中， (1)尺规作图：作出，使得，其中点在线段上，点在点上方； (2)判断线段与的关系，并说明理由． 51．（24-25八年级上·北京·期中）作图题． (1)如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，， 的面积是________； 已知与关于轴对称，请在坐标系中画出 (2)已知： 求作：的角平分线（要求：用无刻度的直尺和圆规完成作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 题型十二 角平分线的性质定理（共5小题） 52．（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 53．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于(    ) A． B． C． D． 54．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 55．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，平分交于点为的中点，已知，则 ． 56．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 题型十三 角平分线的判定定理（共4小题） 57．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 58．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，D到和距离相等，，，则度数为 ．    59．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 60．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，点D，E分别在，上，且满足，，连接，求证：是的平分线． 题型十四 角平分线性质的实际应用（共4小题） 61．（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 62．（23-24八年级上·北京·期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 63．（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 64．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 题型十五 一线三等角模型 （共3小题） 65.（24-25八年级上·山西阳泉·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 如图1，是直角三角形，，是过直角顶点的一条直线，直线，垂足为，直线，垂足为．试说明．          解：直线，垂足为， ． ．（依据：______） 点，，在同一条直线上， ． ， ______ ． 在这道题中，因为，所以这种模型也叫做“一线三等角”模型． 任务： (1)将上述解答过程中的空白部分补充完整． (2)在图1中，除了上面两个角相等、直角相等外，请你再写出一组相等的角． (3)如图2，是等边三角形，，直角三角形的顶点在边上，，，与交于点，与交于点，请写出图中所有除角及对顶角以外相等的角，并选择一组说明理由． 66.（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 67.（22-23八年级上·全国·期中）如图1，在中，，，分别过两点作过点A的直线l的垂线，垂足为； (1)如图1，当两点在直线的同侧时，猜想，三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，，，．点P从B点出发沿路径向终点C运动；点Q从C点出发沿路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出答案） 题型十六 手拉手模型 （共3小题） 68.（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 69.【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 70.（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 题型十七 角含半角模型 （共2小题） 71.（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 72.（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 题型十八 利用“倍长中线法”构造全等三角形 （共3小题） 73.（24-25八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 74.（24-25八年级上·广东汕头·期中）【方法呈现】 如图：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 在中，，垂足为M，，点D是线段上一动点． （1）如图1，点C是延长线上一点，，连接，若，求的长； 【构建联系】 （2）如图2，在（1）的条件下，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 75.（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 题型十九 利用角平分线构造全等三角形 （共3小题） 76.（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 77.（24-25八年级上·重庆·期中）（1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】 如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，点在线段上，且，于，交于，请直接写出和之间的数量关系为　　． 78.（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    题型二十 利用“截长补短法”构造全等三角形 （共2小题） 79.（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 80.（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由. $专题02 全等三角形 题型1 图形的全等 题型11 尺规作图（重点） 题型2 全等三角形的概念 题型12 角平分线的性质定理（易错点） 题型3 全等三角形的性质（常考点） 题型13 角平分线的判定定理（易错点） 题型4 全等的性质和SSS综合（重点） 题型14 角平分线性质的实际应用 题型5 全等的性质和SAS综合（重点） 题型十五 一线三等角模型（难点） 题型6 全等的性质和ASA（AAS）综合（重点） 题型十六 手拉手模型（难点） 题型7 全等的性质和HL综合（重点） 题型十七 角含半角模型 （难点） 题型8 添加条件使三角形全等（常考点） 题型十八 利用“倍长中线法”构造全等三角形（难点） 题型9 灵活选用判定方法证全等（常考点） 题型十九 利用角平分线构造全等三角形 （难点） 题型10 全等三角形综合问题（难点） 题型二十 利用“截长补短法”构造全等三角形（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 图形的全等（共3小题） 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查的是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故A选项不符合题意； B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故B选项不符合题意； C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故C选项符合题意； D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（22-23八年级上·河南许昌·期中）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则（    ） A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【知识点】图形的全等 【分析】由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有． 【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形， 所以， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，做题的关键是找清相互重合的对应边． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ． 【答案】/ 【知识点】图形的全等 【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵， 可设，， ∴， ∴， 由全等三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二 全等三角形的概念（共4小题） 4．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 5．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的对应角是， 故选：B． 6．（24-25八年级上·全国·期中）全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 ，重合的边叫 ，重合的角叫 ． 【答案】 对应点 对应边 对应角 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题主要考查两个全等三角形对应边角的概念，掌握概念是解题的关键，直接根据全等三角形的对应关系的概念填空即可． 【详解】全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起， 重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角． 故答案为：对应点；对应边；对应角． 7．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 【答案】66 【知识点】图形类规律探索、全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 题型三 全等三角形的性质（共6小题） 8．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，，在同一直线上，且，，与，与是对应点，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查全等三角形的性质，根据三角形全等得到，，由此求出即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 9．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，，，，则度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，先由三角形内角和定理求出的度数，再由全等三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10．（22-23八年级上·全国·期中）给出下列说法：①全等三角形的形状相同，大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有 ． 【答案】①②③④ 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：全等三角形的形状相同，大小相等；故①正确； 全等三角形的对应边相等；故②正确； 全等三角形的对应角相等；故③正确； 全等三角形的周长、面积分别相等；故④正确； 故答案为：①②③④ 11．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，，，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，即可得出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 12．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明即可． 【详解】（1）∵， ， ； （2）∵， ， ∵B，C，D共线， ， ， ， ． 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知于点，点在上，交于点F，． (1)若，，求的长． (2)试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 【知识点】线段的和与差、对顶角相等、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，进而可得，然后根据线段之间的和差关系可得，由此即可求出的长； （2）由可得，由全等三角形的性质可得，，由对顶角相等可得，进而可得，由三角形的内角和定理可得，因而可得，于是结论得证． 【详解】（1）解：， ，， ，， ， ； （2）解：，且，理由如下： ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ，且． 题型四 全等的性质和SSS综合（共3小题） 14．（24-25八年级上·河南南阳·期中）三月西湖，许仙与白娘子篷船借伞，还伞定情，《白蛇传》的故事千古流传，我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，，支撑杆，等长，当伞圈D沿着伞柄滑动时，纸伞随之打开或收拢，而无论纸伞打开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．这里推断的理由是（   ） A．由，，，得 B．由，，，得 C．由，，，得 D．由，，，得 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再利用即可证明，即可得解． 【详解】解：由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：B． 15．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，在中，，分别以为一边，向外作和，若,，则的度数为 ．    【答案】/115度 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 16．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据“”证明三角形全等，进而得到结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴≌， ∴． 题型五 全等的性质和SAS综合（共9小题） 17．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知四边形中，，，，，点是线段的三等分点（靠近处）．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若要使得与全等，则点的运动速度为（      ）． A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】列代数式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、线段n等分点的有关计算、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】设运动时间为秒，点的运动速度为，则，，，根据三等分点求出，根据全等三角形的判定得出：当，时；当，时；能够使得与全等，分别列方程求解，即可求出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为， 则，，， 点是线段的三等分点（靠近处）， ， ， 要使与全等，则必须满足，或，， 分两种情况： 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度为； 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度为； 综上所述，当点的运动速度为或时，能够使得与全等， 故选：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，线段等分点的有关计算，全等三角形的判定，解一元一次方程等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法并运用分类讨论思想是解题的关键． 18．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 19．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（    ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键． 由E、F分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：∵E、F分别是、上的任意点， ∴与不一定相等，故①错误； ∵于点B，于点D， ∴， ∵， ∴的另一个条件是， ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， ∴平分，故③⑤正确； 当平分时，，而， ∴， 即只有当时，平分， 但是动点，角度不固定，故④错误； 故选：C． 20．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，平分，，则 ． 【答案】/105度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·江西新余·期中）在中，边，中线，则边的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系．倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 延长至，使，连接．利用全等三角形的性质把要求的线段和已知的线段构造到了一个三角形中，从而根据三角形的三边关系进行求解． 【详解】解：延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，根据三角形的三边关系定理得：， ， ， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·北京·期中）补全证明过程：如图，已知B，E，F，C四个点在同一条直线上，，，，求证：． 证明：∵， ∴____________， 即____________ 在和中， ∴（______）． 【答案】；；；；； 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理结合证明过程中前后步骤的逻辑关系填空即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， 故答案为：；；；；；． 23．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，公园有一条形道路．其中，在处各有一个石凳，且为的中点，连接．    (1)石凳到石凳的距离是否相等？请说明理由； (2)三点是否共线？请说明理由． 【答案】(1)石凳到石凳的距离相等，见解析． (2)三点共线，见解析． 【知识点】全等三角形的性质、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】（1）由得到，由点M为的中点得到，从而证明，得到； （2）由得到，又，得到，因此三点共线． 【详解】（1）石凳到石凳的距离相等．理由如下： ∵， ∴． ∵点M为的中点， ∴． 在和中， ． ， 即石凳到石凳的距离，相等． （2）三点共线． 理由如下： ， ． ， ． 三点共线． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． 24．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、用SAS间接证明三角形全等（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， （1）根据全等三角形的判定定理逐一判断即可； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 又， 添加①无法证得； 添加②根据可证得； 添加③根据可证得； 所有可以添加的条件的序号是②③， 故答案为：②③； （2）添加②， 在与中， )， ； 添加③，在与中， )， ． 25．（24-25八年级·湖南岳阳·期中）如图所示，于点，于点，是上一点，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意判定，可得，进而求解； 【详解】证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 题型六 全等的性质和ASA（AAS）综合 （共4小题） 26．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，，则 ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“角角边”证明，可得，再根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故答案为：6. 27．（22-23八年级上·全国·期中）如图，，，，于D，，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，根据证明，可得，再结合得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 28．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知如图，在和中，，交于点M．求证：； 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定．证明，，再由已知即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴ 29．（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用角角边可证明； （2）根据，可得，，从而得到，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型七 全等的性质和HL综合（共8小题） 30．（24-25八年级上·河北唐山·期中）使两个直角三角形全等的条件是（   ） A．一个锐角分别相等 B．斜边和一条直角边分别相等 C．一条直角边分别相等 D．两锐角分别相等 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握两个直角三角形全等的判定方法“”，即可解题． 【详解】解：使两个直角三角形全等的条件是斜边和一条直角边分别相等， 故选：B． 31．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，可以判定的依据是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可．． 【详解】解：在和中， 故选：D． 32．（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（    ） A．5.5 B．2.5 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 33．（22-23八年级上·全国·期中）如图，，，，线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使与全等． 【答案】中点或点C 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，再分两种情况：当时，当时，分别利用全等三角形的判定定理证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 当时， 在和中， ， ∴， 当时， 在和中， ， ∴， 综上所述，P点运动到中点或点C位置时，才能使与全等， 故答案为：中点或点C． 34．（24-25八年级上·湖北黄冈·期中）如图，D是内部一点，于E，于F，且，点B是射线上一点，，，在射线上取一点C，使得，则的长为 ． 【答案】6或10/10或6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形是关键，分类讨论是解答的关键．分两种情况：①当点C在线段上，证明，可得，证明，可得，则，②当点C在线段的延长线上时，同理可得． 【详解】解： ①如图1，当点C在线段上时，连接， ∵于E，于F， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵在和中，， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点C在线段的延长线上时， 同理可得，， ∴． 故答案为：6或10． 35．（24-25八年级·福建漳州·期中）如图，已知，于点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 根据题意得出，再由直角三角形全等的判定方法证明即可． 【详解】证明：∵   ∴     ∴ ∵    ∴与是直角三角形 ∵在与中， ， ∴ 36．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】用HL证全等（HL）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，等量代换得，根据，，则，根据，则，即可； （2）由（1）可得，，则，根据，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵点是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．（24-25八年级·陕西咸阳·期中）将和按如图①方式摆放，已知，，点在线段上，延长交线段于点． (1)线段与之间的数量关系是___________； (2)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其余条件不变，如图②，求证：； (3)若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且的延长线交线段于点，其余条件不变，如图③，（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)（2）中的结论不成立，，理由见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）连接，根据全等三角形的性质可得，可证明，即可解答； （2）连接，根据全等三角形的性质可得， ，可证明，可得，即可求证； （3）连接，根据全等三角形的性质可得， ，可证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：（2）中的结论不成立，，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型八 添加条件使三角形全等（共3小题） 38．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，已知，，满足一边一角相等，根据全等三角形判定定理逐项判断即可． 【详解】解：和中，，， A．添加，依据不能判定，符合题意； B．添加，依据能判定，不合题意； C．添加，依据能判定，不合题意； D．添加，依据能判定，不合题意； 故选A． 39．（24-25八年级上·天津红桥·期中）如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】，，（其中一个即可）． 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴添加，或其中一个，即可推出， 故答案为：，，（其中一个即可）． 40．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由． 供选择的三个条件：①；②；③． 【答案】不能；选择条件①(还可选择条件②，但不能选择条件③)，理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定． 选择①，证明得到，即可推出； 选择②，证明得到，即可推出． 【详解】解：不能． 选择①， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 选择②， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 题型九 灵活选用判定方法证全等 （共2小题） 41．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）的个元素，如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（   ） A．只有乙 B．只有丙 C．甲和乙 D．乙和丙 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．由全等三角形的判定可求解． 【详解】解：由“”可证图乙和全等，由“”可证图丙和全等． 故选：D． 42．（24-25八年级·江西萍乡·期中）下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（   ） ①两个锐角对应相等            ②两条直角边对应相等        ③斜边和一直角边对应相等 ④一锐角和斜边对应相等        ⑤一锐角和一直角边对应相等 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】用HL证全等（HL）、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等直角三角形的判定， 根据直角三角形全等的判定定理逐个解答即可． 【详解】解：因为两个锐角对应相等，没有边的参与，这两个三角形不全等，所以①不符合题意； 因为两条直角边对应相等，根据“边角边”可知这两个直角三角形全等，所以②符合题意； 因为斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可知这两个直角三角形全等，所以③符合题意； 因为一锐角和斜边对应相等，根据“角角边”可知这两个直角三角形全等，所以④符合题意； 因为一锐角和一直角边对应相等，根据“角角边或角边角”可知这两个直角三角形全等，所以⑤符合题意． 所以符合题意的有4个． 故选：B． 题型十 全等三角形综合问题（共3小题） 43．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在和中，，，点，分别在边和边上，，下列判断正确的是（   ） ①若，则和一定全等； ②若，则和一定全等． A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：,掌握全等的条件是解题的关键 ．依据全等的判定方法判定即可． 【详解】解：①若， 因为，但没有提及或，所以无法确定和一定全等，如图， 故选:D． ②若， ，， ， ②成立．如图， 故选：． 44．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 【答案】3/三 【知识点】全等三角形综合问题、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， 故图中的全等三角形一共有3对， 故答案为：3． 45．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）问题背景：如图1，四边形，绕点旋转，它的两边分别交于．探究图中线段之间的数量关系．小白同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是； 探究延伸1：如图2，在四边形中，绕点旋转．它的两边分别交于，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要求说明理由； 探究延伸2：如图3，在四边形中，绕点旋转．它的两边分交于．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：如图4，在中俄联合军演中，辽宁舰在指挥中心（处）北偏西的A处．瓦良格号舰在指挥中心南偏东的处，并且两舰到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，同时瓦良格号沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到辽，瓦两舰分别到达处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】探究延伸1：上述结论仍然成立，理由见详解 探究延伸2：上述结论仍然成立，理由见详解 实际应用：两舰艇之间的距离为海里 【知识点】与方向角有关的计算题、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，方位角的计算，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 探究延伸1：延长到，使，连接，证明，可得，，再证，得到，由，即可求解； 探究延伸2：方法同上，延长到，使，连接，先证明，再证，即可求解； 实际应用：方法同上，如图所示，连接，延长到点，使得，连接，设与轴交于点，过点作轴于点，先证，再证，得到，由行程问题可得海里，海里，由此即可求解． 【详解】解：探究延伸1：上述结论仍然成立，理由如下， 如图所示，延长到，使，连接， ∵，延长到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 探究延伸2：上述结论仍然成立，理由如下， 如图所示，延长到，使，连接， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 实际应用：如图所示，连接，延长到点，使得，连接，设与轴交于点，过点作轴于点， 根据题意可得，，，，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵辽宁舰向正东方向以海里/小时的速度前进，瓦良格号以海里/小时的速度前进，行驶时间为小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， ∴两舰艇之间的距离为海里． 题型十一 尺规作图（共6小题） 46．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【知识点】作线段(尺规作图)、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【详解】解：如图，连接    甲：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故甲的作法正确； 乙：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故乙的作法正确． 故选A． 47．（24-25八年级上·广东江门·期中）在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】此题考查基本作图“平分已知角”．解题的关键是熟练掌握角平分线的作法，同时熟记角平分线分角为大小相等的两个角．由题意知，平分，可得的度数，再由，可得的度数． 【详解】解：由作图步骤作图如下： 则平分，又， ∴ 又， ∴． 故选：C． 48．（24-25八年级上·全国·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 【答案】 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知，， ， 故答案为：． 49．（24-25八年级上·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 【答案】图形见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查尺规作图，熟练掌握角平分线的作图步骤是解题的关键．根据角平分线的作图步骤画图即可． 【详解】解：以点为圆心任意半径画弧，交两点，以两点分别为圆心，大于两点的距离画弧交于一点，连接A点和此点的射线交边于D点，连接即可； 50．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中， (1)尺规作图：作出，使得，其中点在线段上，点在点上方； (2)判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)，，理由见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图—作一条线段等于已知线段，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，分别以为圆心，和的长为半径画弧，两弧的交点即为点； （2）设交于点，作图可知，全等三角形的性质得到，，，进而求出，得到即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由作图可知：， ∴； （2），，理由如下： 设交于点， 由（1）知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：，． 51．（24-25八年级上·北京·期中）作图题． (1)如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，， 的面积是________； 已知与关于轴对称，请在坐标系中画出 (2)已知： 求作：的角平分线（要求：用无刻度的直尺和圆规完成作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)； (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了利用割补法求一个图形的面积、作一个图形关于轴对称的图形、尺规作图． 过三角形的三个顶点、、构造正方形，利用正方形解决三角形的面积问题； 分别作点、、关于轴的对称点、、，连接点、、得到，则与关于轴对称； 利用尺规作图做一个角的平分线作图即可． 【详解】（1）解：如下图所示，过点、、构造正方形， 正方形的边长为， ， 故答案为； 如下图所示， 分别作点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、得到，则与关于轴对称； （2）解：如下图所示， 题型十二 角平分线的性质定理（共5小题） 52．（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（    ） A．11 B．22 C．26 D．37 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定， 作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可． 【详解】解：过点D作，于点H， ∵是的角平分线，， ∴． 在和中， ， ∴， 同理． 设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得 ， 解得， 所以的面积是11． 故选：A． 53．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，的三边，，的长分别为，，，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意可得到的三边，，的距离相等，则三个三角形的面积比等于，即可求解． 【详解】解：∵三条角平分线将分为三个三角形， ∴到的三边，，的距离相等，设为， 又的三边，，的长分别为，，， ∴ 故选：C． 54．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，射线是的角平分线，点为射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵射线是的角平分线，， ， ， 故答案为：． 55．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，平分交于点为的中点，已知，则 ． 【答案】7 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形中线的定义，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的中线及三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于，于， 平分， 为的中点，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7 56．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质．根据角平分线的性质得到，再证明，即可得证结论． 【详解】证明：平分，，， ，， 是的中点， 在和中， ， ∴， ． 题型十三 角平分线的判定定理（共4小题） 57．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线判定，能熟记角平分线判定的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．根据角平分线判定推出即可． 【详解】解：，于点，于点， 点在的平分线上， 但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上， 故选：B． 58．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，D到和距离相等，，，则度数为 ．    【答案】/40度 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与三角形内角和，解题关键是根据D到和距离相等，得出，再根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵在中，D到和距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 59．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于，于，由题意可得平分，由角平分线的性质定理可得，即可得证； （2）设，由（1）得：，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作于，于，如图： ， 平分， 又，， ， 平分的平分线，，， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：设， 由（1）得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 60．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，点D，E分别在，上，且满足，，连接，求证：是的平分线． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、角平分线的判定等知识，掌握以上知识是解题的关键； 先过点D作，然后证明，得到，然后即可求解； 【详解】证明：过点D作，垂足为F，如图： ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线； 题型十四 角平分线性质的实际应用（共4小题） 61．（24-25八年级上·重庆大足·期中）如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 62．（23-24八年级上·北京·期中）为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个． 【详解】解：∵和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：C． 【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心漏解． 63．（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 64．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、 图上距离与实际距离的换算 【分析】本题考查了成比例线段的性质，作角平分线；作角平分线，在射线上截取，使得，点即为所求． 【详解】解：依题意， 在射线上截取，使得，如图点为所求， 题型十五 一线三等角模型 （共3小题） 65.（24-25八年级上·山西阳泉·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 如图1，是直角三角形，，是过直角顶点的一条直线，直线，垂足为，直线，垂足为．试说明．          解：直线，垂足为， ． ．（依据：______） 点，，在同一条直线上， ． ， ______ ． 在这道题中，因为，所以这种模型也叫做“一线三等角”模型． 任务： (1)将上述解答过程中的空白部分补充完整． (2)在图1中，除了上面两个角相等、直角相等外，请你再写出一组相等的角． (3)如图2，是等边三角形，，直角三角形的顶点在边上，，，与交于点，与交于点，请写出图中所有除角及对顶角以外相等的角，并选择一组说明理由． 【详解】（1）解：由题意知，依据为直角三角形的两个锐角互余，， 故答案为：直角三角形的两个锐角互余，； （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴． （3）解：（或），（或）； 选择． 理由：， ∴． ∵， ∴． ∴． 选择． 理由：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 66.（24-25八年级上·河南新乡·期中）综合与实践 在学习三角形全等的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“一线三等角模型”进行研究． 直接猜想 （1）如图1，在中，，，点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．直接写出，与之间的数量关系：______． 深入探究 （2）如图2，在中，，，，三点都在直线上，且有（为任意锐角或钝角），此时（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 问题解决 （3）如图3，，，，连接，且于点，与直线交于点，试判断与的数量关系，并给出证明过程． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：结论成立；理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）．理由如下， 如图，过D作于点D，交直线于点F， ∵，， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 67.（22-23八年级上·全国·期中）如图1，在中，，，分别过两点作过点A的直线l的垂线，垂足为； (1)如图1，当两点在直线的同侧时，猜想，三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，，，．点P从B点出发沿路径向终点C运动；点Q从C点出发沿路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出答案） 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）成立，理由如下： ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）设点运动的时间为， 当点在上，点在上，如图1， 则，，，， 与全等， ，即， 解得， 即运动4秒时，与全等； 当点都在上，即点与点重合时，与全等， 此时， 解得， 当点在上，点在上，如图2， 则，， 与全等， ，即, 解得，（不符合题意，舍去）； 当点停在点处，点在 由得， 解得， 综上所述，当t等于或或时，与全等． 题型十六 手拉手模型 （共3小题） 68.（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”． 【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，且，则有_________；线段BD和CE的数量关系是_________． 【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，且，请判断线段和的数量关系与位置关系，并说明理由； 【深化模型】（3）如图3，，求的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2），，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，作，，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴D、C、H三点共线， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 69.【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【详解】（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 故答案为：；； （2）解：与的数量关系是，位置关系是 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 将绕M点顺时针旋转得（N与重合）， 连接， ∴， ∴，， ∴， 当有最小，即最小，当轴时， 由，， ∴，， ∴，最小值为4． 70.（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【详解】（1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 题型十七 角含半角模型 （共2小题） 71.（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 72.（24-25八年级上·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）证明：由（1）得， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴五边形的周长为 故答案为：． 题型十八 利用“倍长中线法”构造全等三角形 （共3小题） 73.（24-25八年级上·河北保定·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 【详解】（1）证明：是的中线 ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至，使， 连接， 是的中线， ， ∵ ，， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， ， ， ， ． 74.（24-25八年级上·广东汕头·期中）【方法呈现】 如图：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 在中，，垂足为M，，点D是线段上一动点． （1）如图1，点C是延长线上一点，，连接，若，求的长； 【构建联系】 （2）如图2，在（1）的条件下，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 【详解】解：方法呈现：如图，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； 问题背景：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 构造联系：（2）延长，截取，连接，如图所示： ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 75.（24-25八年级上·山西大同·期中）阅读理解 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” (1)如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是__________（请直接写出答案） (2)为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度，教学楼高度，求的长． (3)如图3，和均为等腰直角三角形，连接，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．试探究并直接写出：和的数量关系和位置关系． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， 即， ， ， ， ， 中线的取值范围是：， 故答案为：． （2）解：延长交的延长线于，如图2所示： 根据题意得：，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， 为线段的垂直平分线， ； （3）解：，，理由如下： 延长到，使，连接，如图3所示： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即． 题型十九 利用角平分线构造全等三角形 （共3小题） 76.（24-25八年级上·河北保定·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）同（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的面积为30 ∴ ∴ ∵ ∴的面积； （4），理由如下： 如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 77.（24-25八年级上·重庆·期中）（1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】 如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，点在线段上，且，于，交于，请直接写出和之间的数量关系为　　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质； （1）利用已知条件，证明，即可得出结论； （2）延长交延长线于F，求出，证明，推出，再证明，进而可得结论； （3）过点D作，交的延长线于点G，与交于H，证明是等腰直角三角形，可得，然后同（2）证明， ，即可得出答案． 【详解】解：（1）在和中，， ∴， ∴； （2）如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）． 证明：如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即 ∴， 故答案为：． 78.（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； （2）①∵ ∴大于； 故答案为； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点 即 即点到的距离是 故答案为； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ．    题型二十 利用“截长补短法”构造全等三角形 （共2小题） 79.（23-24八年级上·河南信阳·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 80.（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， . $