专题02 实数重难点题型汇编（十一大高频题型五大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题02 实数重难点题型汇编 【题型01：无理数的概念】....................................................................................................1 【题型02：无理数大小估算】................................................................................................3 【题型03：无理数整数部分的有关计算】.............................................................................4 【题型04：实数的性质】.......................................................................................................5 【题型05：实数与数轴】.......................................................................................................6 【题型06：平方根、算术平方根与立方根的概念】..............................................................8 【题型07：利用平方根/立方根解方程】..............................................................................11 【题型08：平方根、算术平方根与立方根有关综合运算】..................................................14 【题型09：与算术平方根有关的规律探索题】....................................................................17 【题型10：程序设计与实数的运算】.......................................................................................20 【题型11：与立方根有关的规律探索】...................................................................................22 【题型01：无理数的概念】 1．下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．0.414 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的三种常见形式． 根据无理数的定义，判断每个选项是否为无理数． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、，是整数，属于有理数，不符合题意； C、是开不尽方的数，所以是无理数，符合题意； D、0.414是有限小数，属于有理数，不符合题意． 故选：C． 2．在实数，3.1415926，，，，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念及常见形式是关键．无理数是无限不循环小数，常见无理数有：含有π的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1），由此即可求解． 【详解】解：，3.1415926，是有理数； ， ，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）是无理数，无理数有4个． 故选D． 3．在，0，，，，，，0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个）．”是解题的关键． 【详解】解： 0，，， 是有理数； ， ，，0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多个0）是无理数，共有个； 故选：D． 4．下列数：，2，0，，中是无理数的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是理解无理数是无限不循环小数，能区分有理数（整数和分数）与无理数． 根据无理数的定义（无限不循环小数），判断各数类型；、2、0、是有理数；是无理数，进而确定无理数的个数． 【详解】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数． 是分数，属于有理数； 2是整数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 中，是无理数，故是无理数； 是有限小数，属于有理数． 因此，无理数有1个． 故选：A． 【题型02：无理数大小估算】 1．估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在3到4之间， 故选：B． 2．估算的值（    ） A．8到9之间 B．9到10之间 C．10到11之间 D．11到12之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，掌握“夹逼法”估算无理数的大小是解题的关键．利用“夹逼法”估算出的范围，即可得出的范围． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 3．下列对于的大小估算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间． 用“夹逼法”估算即可. 【详解】解：∵ ， 则5＜＜6， 故选：C． 4．一个正方形的面积是15，估计它的周长在（   ） A．12与13之间 B．13与14之间 C．14与15之间 D．15与16之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用．先根据正方形的面积求出正方形的边长，再求出其周长，估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵一个正方形的面积是15， ∴它的边长是，周长为， ∵， ∴． ∴估计它的周长大小在15与16之间． 故选：D． 【题型03：无理数整数部分的有关计算】 1．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 2．已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 先求出的取值范围，再求出，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，. 3．若是的小数部分，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数小数部分的表示，利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握无理数小数部分的表示． 根据无理数的取值范围表示出小数部分，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【题型04：实数的性质】 1．的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的绝对值是， 故选：B． 2．化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 3．的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是； ∵， ∴． 故答案为：；； 4．的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数定义，只有符号不同的两个数叫做相反数，根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 【题型05：实数与数轴】 1．如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算及数轴上点的表示，解题的关键是通过找出与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的大致取值范围，再结合数轴上各点的区间匹配对应点． 先将化简（或直接找与18相邻的完全平方数），通过计算完全平方数的算术平方根确定的取值范围；再对照数轴上点P（2～3）、Q（3～4）、M（4～5）、N（5～6）的区间，找出所在区间对应的点． 【详解】解：∵完全平方数，，且， ∴对不等式两边同时开算术平方根得：，即． 只有点M在4～5之间，在此区间，此选项符合题意； 故选：C． 2．如图，数轴上两点表示的数分别为和，点关于点的对称点是点，则点所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上点对应的实数，涉及数轴上两点之间距离的求法，熟记数轴性质是解决问题的关键．先由数轴上点的对称得到，再由数轴上两点之间距离的求法列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：点关于点的对称点是点， ， 设点所表示的数为， 数轴上两点表示的数分别为和， ， 解得， 故选：A． 3．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点A到表示2的点的距离，即可求解． 【详解】解∶根据勾股定理得∶圆弧的半径为， ∴点A到表示2的点的距离为， 由数轴知：点A在表示2的点左侧， ∴点A表示的数， 故选：B． 【题型06：平方根、算术平方根与立方根的概念】 1．数81的算术平方根是（　　） A．81 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：数81的算术平方根是， 故选：B． 2．9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的定义，掌握平方根的定义：“设和是实数，若，则叫做的平方根，记作．”是解题的关键．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：9的平方根为． 故答案选：D． 3．以下说法正确的选项是（   ） A．的平方根是4 B．1的平方根是1 C．的平方根是 D．是的立方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的相关概念，熟练掌握这几个概念是解题的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A．的平方根是，选项错误，不符合题意； B．1的平方根是，选项错误，不符合题意； C．没有平方根，选项错误，不符合题意； D．是的立方根，正确，符合题意； 故选：D． 4．25的平方根是 （   ） A．5     B．    C．    D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 首先回顾平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；根据定义，找出平方后等于25的数，即可确定25的平方根． 【详解】解：A、5的平方是25，但5只是25的一个正平方根，并非全部平方根，此选项不符合题意； B、，即的平方都等于25，符合平方根的定义，此选项符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：B． 5．下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．解题关键是掌握立方根的定义． 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，根据立方根的定义分别判断即可． 【详解】解：A．64的立方根是4，正确，不符合题意； B．是的立方根，正确，不符合题意； C．，8的立方根是2，正确，不符合题意； D．125的立方根是5，故D错误，符合题意， 故选：D． 6．9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是立方根的意义，根据立方根的意义可得答案. 【详解】解：的立方根是， 故选：B 7．若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 8．的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根．根据题意可知，再计算的算术平方根即为本题答案． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 9．的平方根是 . 【答案】 【分析】本题考查的是求一个非负数的平方根，先计算，再根据平方根的含义求解即可. 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故答案为： 【题型07：利用平方根/立方根解方程】 1．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了利用平方根求一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的步骤和平方根的运算法则． （1）利用平方根求一元二次方程的解即可； （2）利用平方根求一元二次方程的解即可． 【详解】（1）解： 移项，得． ， 即或， 或； （2）解： 移项，得． 两边同除以，得． ， 即或， 或． 2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程． （1）直接开平方即可； （2）方程整理后，然后两边开立方即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 3．求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用平方根的定义求出方程的解； （2）先移项，再用立方根的定义求解． 【详解】（1）解： 两边除以，得 ∴或， 解得或； （2）解： 移项，得， 两边除以，得， ， 解得． 4．解下列方程． (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 5．求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的性质解方程； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴． 【题型08：平方根、算术平方根与立方根有关综合运算】 1．已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)10，6 (2) 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，利用平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键． （1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴， 解得：， ∵的算术平方根为6， ∴， 即， 解得：， 综上所述：，的值分别为10，6； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求： (1)该正数是多少？ (2)的算术平方根． 【答案】(1)该正数是； (2)的算术平方根是． 【分析】本题考查平方根，立方根，算术平方根，解题的关键是正确理解相关的概念． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出这个正数即可； （2）先求出，代入代数式求出，求算术平方根即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 解得，， ∴， 答：该正数是． （2）解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， 答：的算术平方根是． 3．已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和 (1)求x与a的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)x的值为1，a的值为36 (2)3 【分析】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列等式求得x的值，根据平方根的定义求原数即可； （2）根据立方根的定义求的立方根即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ， ， 即x的值为1，a的值为36； （2）解：， 的立方根为． 4．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 5．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 【题型09：与算术平方根有关的规律探索题】 1．先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】(1)，； (2)①；②； 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 2．求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 … 0.04 0.4 4 40 400 … (1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来． (2)已知，运用你发现的规律，求下列各式的值： ①_______； ②_______． 【答案】(1)规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数） (2)①0.1435  ②1435 【分析】此题考查的是探索规律题，掌握被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律是解决此题的关键． （1）根据表格中被开方数小数点的变化和开方后小数点的变化关系总结规律即可； （2）①根据（1）总结的规律，计算即可； ②根据（1）总结的规律，计算即可； 【详解】（1）解：由表可知：被开方数的小数点向左（或向右）移动位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位（为正整数）； （2）解：①根据（1）总结规律，； ②根据（1）总结规律，， 故答案为：①0.1435  ②1435． 3．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 【题型10：程序设计与实数的运算】 1．有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了流程图与实数运算，算术平方根，以及无理数，掌握无理数的概念是解题关键．根据流程图计算算术平方根，再根据无理数判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的为256时， 是有理数， 是有理数， 是有理数， 是无理数， 即输出的是， 故选：A． 2．如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，实数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据程序第一步计算，，再次计算得，，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：根据程序第一步计算， 再次计算得， 是无理数，直接输出， 故选：C． 3．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 4．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：A． 5．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查数的算术平方根的计算方法和有理数、无理数的定义，解题时要注意数值如何转换． 本题根据程序输入，运算一次后得到的是有理数，需再循环运算，直至算到结果是无理数，即可． 【详解】解：∵输入，16的算术平方根是4，4是有理数， ∴还需再求4的算术平方根， ∵4的算术平方根是2，2是有理数， ∴还需再求2的算术平方根，2的算术平方根是．是无理数， ∴输出的值是， 故选：B． 【题型11：与立方根有关的规律探索】 1．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 2．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 3．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 1．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为  （   ） A．36 B．64 C．49 D．144 【答案】A 【分析】本题考查了平方根， 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，故它们的和为0，由此建立方程求解参数a，再代入任一平方根表达式求值后平方即得原数． 【详解】解∶∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴这个正数为， 故选∶A． 2．计算的算术平方根为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义，先计算的值，再计算4的算术平方根即可解题． 【详解】解：， 故选：B． 3．在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数，算术平方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解． 【详解】解：，， 在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数有，(相邻两个1之间依次多一个 0) ，共2个， 故选：B ． 4．如图，数轴上点A所表示的实数是 【答案】 【分析】本题考查数轴与无理数，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用勾股定理计算出长度，即长度，进而计算长度，则题目可求． 【详解】解：如图，由勾股定理得：， 则， ， ∴点A所表示的实数是． 故答案为：． 5．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数重难点题型汇编 【题型01：无理数的概念】....................................................................................................1 【题型02：无理数大小估算】................................................................................................2 【题型03：无理数整数部分的有关计算】.............................................................................2 【题型04：实数的性质】........................................................................................................2 【题型05：实数与数轴】........................................................................................................2 【题型06：平方根、算术平方根与立方根的概念】...............................................................3 【题型07：利用平方根/立方根解方程】...............................................................................4 【题型08：平方根、算术平方根与立方根有关综合运算】...................................................4 【题型09：与算术平方根有关的规律探索题】......................................................................6 【题型10：程序设计与实数的运算】......................................................................................7 【题型11：与立方根有关的规律探索】...................................................................................7 【题型01：无理数的概念】 1．下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D．0.414 2．在实数，3.1415926，，，，，1.311311131…（相邻两个3之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在，0，，，，，，0.1010010001⋯（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列数：，2，0，，中是无理数的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型02：无理数大小估算】 1．估计的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 2．估算的值（    ） A．8到9之间 B．9到10之间 C．10到11之间 D．11到12之间 3．下列对于的大小估算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．一个正方形的面积是15，估计它的周长在（   ） A．12与13之间 B．13与14之间 C．14与15之间 D．15与16之间 【题型03：无理数整数部分的有关计算】 1．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 2．已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 3．若是的小数部分，则代数式的值为 ． 【题型04：实数的性质】 1．的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 2．化简的值为（   ） A． B． C． D． 3．的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 4．的相反数是 ． 【题型05：实数与数轴】 1．如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，数轴上两点表示的数分别为和，点关于点的对称点是点，则点所表示的数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【题型06：平方根、算术平方根与立方根的概念】 1．数81的算术平方根是（　　） A．81 B．9 C． D． 2．9的平方根是（    ） A． B．3 C． D． 3．以下说法正确的选项是（   ） A．的平方根是4 B．1的平方根是1 C．的平方根是 D．是的立方根 4．25的平方根是 （   ） A．5     B．    C．    D． 5．下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 6．9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． 7．若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 8．的算术平方根是 ． 9．的平方根是 . 【题型07：利用平方根/立方根解方程】 1．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 3．求下列各式中的值： (1) (2) 4．解下列方程． (1)； (2) 5．求下列各式中x的值． (1) (2) 【题型08：平方根、算术平方根与立方根有关综合运算】 1．已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求： (1)该正数是多少？ (2)的算术平方根． 3．已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和 (1)求x与a的值； (2)求的立方根． 4．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 5．已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【题型09：与算术平方根有关的规律探索题】 1．先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 2．求一个正数的算术平方根时，可以通过一组数的内在联系运用规律求得．请同学们观察下表： n 0.0016 0.16 16 1600 160000 … 0.04 0.4 4 40 400 … (1)根据表中所给的信息，你能发现什么规律？请将你发现的规律用文字表达出来． (2)已知，运用你发现的规律，求下列各式的值： ①_______； ②_______． 3．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【题型10：程序设计与实数的运算】 1．有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 2．如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（    ） A． B． C． D． 3．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 4．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 5．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 【题型11：与立方根有关的规律探索】 1．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 2．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 3．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 1．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为  （   ） A．36 B．64 C．49 D．144 2．计算的算术平方根为（    ） A． B．2 C．4 D． 3．在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，数轴上点A所表示的实数是 5．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $