第5讲：全称量词与存在量词【知识梳理+4个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦全称量词与存在量词的核心概念及其命题否定、真假判定与参数求解，构建从符号理解到逻辑推理再到实际应用的完整学习支架，前后衔接教材例题与高考真题，层层递进地打通抽象表达与具体问题之间的通道。 资料设计突出“数学眼光”“数学思维”“数学语言”三大核心素养融合，以真实情境中的命题识别为切入点，引导学生用符号意识抽象现实关系，通过否定法则训练逻辑推理能力，借助函数最值转化强化数学建模意识。例如在“全称命题恒成立求参”环节中，巧妙将不等式问题转化为函数最小值分析，既体现数学思维的严谨性，又展现数学语言的简洁美。课中便于教师精准施教，课后助力学生查漏补缺，是提升学生高阶思维与应试能力的优质教学资源。

2025-2026高一上学期数学常考题型归纳 【第5讲：全称量词与存在量词】 【知识梳理】 一、核心概念梳理（基于教材例题） 1.全称量词与全称命题 全称量词：表示“全体”“所有”“任意”的量词，符号为∀（读作“对任意”）。 教材常见实例：“任意一个实数，都有”中，“任意一个”是全称量词。 全称命题：含有全称量词的命题，一般形式为： ， （其中为给定的集合，是关于的语句） 教材例题示范：“，”（判定为真命题，因恒成立）。 2.存在量词与特称命题 存在量词：表示“部分”“有的”“存在”的量词，符号为∃（读作“存在”）。 教材常见实例：“存在一个有理数，使”中，“存在一个”是存在量词。 特称命题：含有存在量词的命题，一般形式为： ， （其中为给定的集合，是关于的语句） 教材例题示范：“，”（判定为真命题，因满足条件）。 二、命题的否定（高频考点，结合高考真题） 1.否定的核心法则 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； 否定时需“两步操作”：①改变量词（）；②否定结论（）。 2.规范公式与高考实例 原命题类型 原命题形式 否定命题形式 高考真题示例（改编） 全称命题 ， ， 原命题：，；否定：， 特称命题 ， ， 原命题：，；否定：， 3.易错点提醒（高考高频陷阱） 避免只改量词不否结论，或只否结论不改量词： 错误示例：原命题，，否定写成，（未否结论）； 结论否定需准确：如“”的否定是“”，“是增函数”的否定是“不是增函数”（非“减函数”）。 三、命题真假的判定（教材例题与高考考法融合） 1.全称命题真假判定 真命题：对集合中所有元素都满足（需证明一般性）； 假命题：在集合中存在一个元素不满足（只需举一个反例）。 教材例题：判断“，”真假——因，故为真。 2.特称命题真假判定 真命题：在集合中存在至少一个元素满足（只需举一个正例）； 假命题：对集合中所有元素都不满足（需证明一般性）。 高考真题考法：判断“”，”真假——令，，故，为假。 四、高考常见题型与解题模板 题型1：命题的否定（直接求否定） 解题模板：①识别量词（）；②更换量词（，）；③否定结论。 示例：命题“，且”的否定为：，或（注意“且”的否定为“或”）。 题型2：结合不等式/函数的真假判定 解题模板：①明确命题类型（全称/特称）；②转化为不等式恒成立或存在性问题；③用函数最值、分离参数等求解。 高考真题示例：若“，”为真命题，求的取值范围。 解：转化为在上有解，令，，故。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：全称命题和特称命题的判断】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 【答案】(1)全称量词命题，“所有”是全称量词 (2)全称量词命题，其中省略了全称量词“所有” (3)存在量词命题，“存在”是存在量词 (4)存在量词命题，“（即存在）”是存在量词 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义进行判断即可. 【详解】（1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词； （2）“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”， 它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”； （3）“存在一个无理数x，使也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词； （4）“使”是存在量词命题，“（即存在）”是存在量词. 【例题2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 【答案】(1)． (2)方程恰有一解． 【分析】根据全称量词命题书写形式进行书写 【详解】（1）． （2）方程恰有一解． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【分析】根据存在量词命题的概念判断即可. 【详解】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A 【相似题2】（22-23高一·全国·课堂例题）指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)对任意正实数，； (2)对某个大于10的正整数，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据命题中有量词“任意”判断并改写即可； （2）根据命题中有量词“某个”判断并改写即可． 【详解】（1）命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合． 该命题可以写成“，”； （2）命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合． 该命题可以写成“，，”， 或者写成“，，”． 【解题策略】 一、核心前提：命题类型精准识别 1.全称命题的识别标志 量词特征：含“所有”“任意”“每一个”“全部”等量词，或隐含“恒成立”“都满足”等任意性表述。 符号形式：，（为给定集合，为关于的语句）。 2.特称命题的识别标志 量词特征：含“存在”“有的”“某个”“至少一个”等量词，或隐含“存在”“有解”“能成立”等存在性表述。 符号形式：，（为给定集合，为关于的语句）。 二、核心方法：命题真假判定策略 1.全称命题：“全真则真，一假则假” 判定结果 核心逻辑 解题操作 真命题 集合中所有元素满足 ①直接证明：通过代数变形、不等式推导证一般性；②间接证明：反证法（假设存在不满足元素，推矛盾） 假命题 集合中存在元素不满足 寻找反例：在中找具体值使成立 2.特称命题：“一真则真，全假则假” 判定结果 核心逻辑 解题操作 真命题 集合中存在元素满足 寻找正例：在中找具体值使成立 假命题 集合中所有元素不满足 ①直接证明：通过函数性质、不等式推导证一般性；②间接证明：反证法（假设存在满足元素，推矛盾） 三、高考高频场景转化策略 1.与函数性质结合 解题模板：①识别命题类型；②转化为函数最值、单调性、奇偶性问题；③用性质验证“全满足”或“存在满足”。 2.与不等式恒成立/存在性结合 解题模板：①全称命题（，）→；②特称命题（，）→；③计算最值判定。 3.与集合、方程结合 解题模板：①全称命题→验证集合中所有元素是否满足方程；②特称命题→判断方程在集合内是否有解。 【题型二：判断全称命题和特称命题的真假】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 【答案】C 【分析】由真命题概念逐个判断即可. 【详解】对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，比如一个等边三角形和一个等腰直角三角形，故A错误； 对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误； 对于C，因为，，即，故C正确； 对于D，因为，，故D错误． 故选：C 【例题2】【多选题】（24-25高二下·福建福州·期末）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题真假的判断方法，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，则有解， 所以，为真命题，故A正确， 对于B，因为有理数的四则运算（除数不为）结果仍为有理数， 所以，为真命题，故B正确， 对于C，取，满足，且有，所以，为真命题，故C正确， 对于D，当时，不小于，所以，为假命题，故D错误， 故选：ABC. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·北京西城·期末）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【分析】根据条件，直接判断出命题和的真假，即可求解. 【详解】由，得到，解得或，所以命题为真命题， 又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确， 故选：C. 【相似题2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 【解题策略】 一、核心前提：命题类型精准识别（含教材特征） 1.全称命题识别 量词/表述：含“所有”“任意”“恒成立”“都满足”，符号为，。 教材特征：常结合实数、整数等数集表述，如“对任意实数，”。 2.特称命题识别 量词/表述：含“存在”“有的”“有解”“能成立”，符号为，。 教材特征：多涉及具体元素验证，如“存在整数，使”。 二、核心方法：真假判定策略（教材例题+高考逻辑） 1.全称命题：“全真则真，一假则假” 判定结果 核心逻辑 解题操作 教材例题/高考实例解析 真命题 集合中所有元素满足 ①直接证明一般性；②反证法推矛盾 教材：判断“，”——配方得，全成立则真 假命题 集合中存在元素不满足 寻找反例 高考改编：判断“，”——取，，反例成立则假 2.特称命题：“一真则真，全假则假” 判定结果 核心逻辑 解题操作 教材例题/高考实例解析 真命题 集合中存在元素满足 寻找正例 教材：判断“，”——取，正例成立则真 假命题 集合中所有元素不满足 ①直接证明一般性；②反证法推矛盾 高考：判断“，”——构造，求导得，全不成立则假 三、高考高频场景转化策略（真题适配） 1.与函数性质结合 解题模板：①定类型；②转函数性质（最值/单调性）；③验证满足性。 高考真题：判断“，”——构造，求导知单调递增，，故真。 2.与不等式恒成立/存在性结合 解题模板：①全称命题→；②特称命题→；③算最值判定。 高考真题：判断“，”——，故真。 3.与集合、方程结合 解题模板：①全称命题→验所有元素；②特称命题→判方程有解。 教材延伸：判断“，”——不满足，故假。 四、易错点与答题规范（高考避坑） 1.易错点规避 混淆证明逻辑：全称假用反例，特称假需全面证明； 忽视集合范围：如“，”中，为真，误判则错； 结论否定偏差：“不恒大于0”≠“恒小于0”，等价于“存在小于等于0”。 2.答题规范 附判定依据：真命题写“全满足/存在满足”理由，假命题明确反例/推导； 符号标准化：用转化题干表述，如“对任意”写为 【题型三：根据全称命题特称命题的真假求参数】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知命题；命题.若命题，都是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题都为真命题，结合判断不等式的恒成立和一元二次方程是否有解，分别求得实数的范围，进而结合求得实数的取值范围 【详解】因为命题为真，所以； 因为命题为真，所以，解得或． 因为命题，均为真命题，所以． 即实数的取值范围为. 故答案为： 【例题2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：原命题为假，则其否定命题为真，因此写出其否定命题，结合恒成立求解即可； 解法二：先假设原命题为真，利用存在性成立求解后，再取相反面即可. 【详解】解法一：由于“，使得”是假命题， 则其否定：“，使得”是真命题，故， 又随着的增大而减小， 所以小于当时的最小值时，恒成立， 则，即． 解法二：当题中命题为真命题时，可得，使得成立， 所以大于或等于当时的最小值即可， 即，又该命题为假命题，所以． 故选：A. 【相似题2】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 【解题策略】 一、核心转化逻辑：命题真假与参数条件的对应 1.全称命题（，为真/假） 真命题转化：对集合中所有元素，恒成立→等价于“的最值满足约束条件”（如恒成立→）。 假命题转化：存在集合中元素使不成立→等价于其否定（特称命题）为真→按特称命题求参逻辑求解。 2.特称命题（，为真/假） 真命题转化：集合中存在元素使成立→等价于“的最值满足约束条件”（如有解→）。 假命题转化：对集合中所有元素，不成立→等价于其否定（全称命题）为真→按全称命题求参逻辑求解。 二、高考高频场景解题策略（含真题解析） 场景1：与一次/二次函数结合 1.全称命题（恒成立问题） 解题模板：①确定函数类型（一次/二次）；②结合定义域求函数最值；③建立最值与参数的不等式求解。 高考真题：若“，”为真，求的取值范围。 解：①二次函数，对称轴；②分类讨论： 当时，→； 当时，→（舍去）； 当时，→（舍去）； ③综上：。 2.特称命题（存在性问题） 解题模板：①确定函数类型；②求函数在上的最值；③建立最值与参数的不等式求解。 高考真题：若“，”为真，求的取值范围。 解：①转化为在有解（）；②令，在递减，递增，；③故。 场景2：与指对/三角函数结合 解题模板：①利用函数单调性、有界性求值域；②结合命题类型（全称/特称）建立参数不等式；③解不等式得参数范围。 高考真题：若“，”为真，求的取值范围。 解：①化简，在上值域为；②全称命题需；③故。 场景3：与绝对值不等式结合 解题模板：①利用绝对值三角不等式或分段讨论求的最值；②按命题类型转化为参数不等式；③求解参数范围。 示例：若“，”为假，求的取值范围。 解：①命题为假→其否定“，”为真；②由绝对值三角不等式，，即最小值为3；③故。 三、易错点规避与答题规范 1.易错点清单 忽视定义域限制：如求“，”中参数时，误将定义域当导致错用最值（实际时）。 混淆“恒成立”与“存在性”的最值方向：全称命题（恒成立）用“最值下限/上限”，特称命题（存在性）用“最值上限/下限”，反向则错。 未转化假命题：直接求解假命题的参数范围易混乱，需先转化为其否定的真命题再求解。 2.答题规范 分步转化：明确写出“命题为真/假→等价于……”的转化过程，如“特称命题为假→全称命题为真”。 最值分析清晰：求函数最值时，需说明单调性、极值点或边界值，避免直接写结果。 符号规范：用标注命题类型，如“由，恒成立，得”。 四、核心策略口诀 全称真，找最小，最小不小参数小； 全称假，转特称，存在不成立来解； 特称真，找最大，最大不小参数小； 特称假，转全称，恒不成立最值靠。 【题型四：全称命题特称命题的否定及真假判断】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·四川成都·开学考试）命题的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全称命题的否定得解. 【详解】由全称命题的否定可知， 命题的否定是：， 故选：A 【例题2】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知命题：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由全称命题的否定是把任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，即把任意改为存在，并否定原结论， 所以是，. 故选：C 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·吉林白城·开学考试）已知命题，其中，命题.命题是真命题，且命题的否定是真命题，求的取值范围. 【答案】 【分析】先求得的最小值，依题可得a的范围，再命题q的否定为真，可得a的范围，综合即得答案. 【详解】当时，,当时取等号， 因为命题是真命题，所以， 命题的否定：， 因为命题的否定是真命题， 所以，解得. 综上，所求的取值范围是. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知命题p：“，”，则命题p的真假及命题p的否定分别为（   ） A．真命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．假命题，， 【答案】B 【分析】求出的解，即可得出命题p的真假，进而写出命题p的否定. 【详解】由题意， 在命题p：“，”中， 因为，所以或， 故命题p为真命题，C，D错误； 命题p的否定为“，”，A错误，B正确． 故选：B. 【解题策略】 一、核心：命题否定的“两步法则”（新高考高频） 1.本质逻辑 量词互换，结论否定（二者缺一）： 量词：； 结论：如“”变“”，“单调”变“不单调”。 2.标准转化公式 原命题类型 原命题形式 否定命题形式 全称命题 特称命题 二、关键：否定命题真假判断（新高考实战法） 1.核心逻辑 原命题与否定命题真假相反（新高考快速判断依据）； 否定命题为特称（找正例即真，无则假）；为全称（证全满足即真，找反例则假）。 2.表格速查 否定命题类型 真判定 假判定 特称（原全称否定） 找使成立 证恒成立 全称（原特称否定） 证恒成立 找使成立 三、新高考一卷高频场景（含解题模板） 场景1：结合函数性质判断 模板：①写否定命题；②转化为函数最值/单调性问题；③验证“存在/恒成立”。 真题示例：判断“”的否定真假。 解：否定为“”，构造，最小值，故否定为假。 场景2：通过否定求参数（新高考热点） 模板：①原命题真假→否定命题真假；②按“恒成立/存在性”求最值；③解参数范围。 真题示例：若“”为真，求的范围。 解：否定“”为假，即恒成立，，故。 课后针对训练 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 4．（24-25高二下·浙江温州·期中）已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5．（24-25高一上·重庆·期中）命题：“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（22-23高一上·海南儋州·期中）已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·湖北·期中）下列含有量词的命题中为真命题的是（    ） A．任意实数的平方都大于0 B．， C．存在整数，使得 D．，一元二次方程有实根 二、多选题 9．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖南·期中）下列命题中为真命题的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．{是无理数}，是无理数 D．是的必要不充分条件 11．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（    ） A．，使得方程成立 B．存在一个三角形，它的三个角都是锐角 C．至少有一个实数，使得 D．， 12．（24-25高一上·浙江温州·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（   ） A．， B．，2x为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．每个二次函数的图像都是轴对称图形 三、解答题 13．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 14．（24-25高一上·山东东营·期中）已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D C B D B BCD ABC 题号 11 12 答案 BC ACD 1．D 【分析】原命题是一个特称命题，根据特称命题的否定规则即可得结论. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D. 2．D 【分析】根据存在量词命题的概念即可判断. 【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题； 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题； 对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题； 对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题； 故选：D. 3．C 【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 4．D 【分析】通过举特例可判断命题正误，推理判断命题的正误，结合命题否定含义可得答案. 【详解】对于命题，若是无理数，但是是有理数，所以命题是假命题，则是真命题； 对于命题由，因为和是两个连续的整数，则必是偶数，故命题是假命题，则为真命题. 故选：D. 5．C 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】“，”的否定是，， 故选：C 6．B 【分析】根据全称命题和特称命题的否定规则进行求解即可. 【详解】全称命题的否定规则为：全称命题：，它的否定. 所以对于命题：，总有，根据全称命题的否定规则， 它的否定是：，使得. 故选：B. 7．D 【分析】根据题意，由为真命题，可得，即可得到结果. 【详解】因为命题为真命题， 则对恒成立， 所以， 即的取值范围是. 故选：D 8．B 【分析】AB选项可举出反例；C选项，均为整数，则为整数，故不存在整数，使得，C错误；D选项，由根的判别式进行判断. 【详解】A选项，0的平方等于0，A错误； B选项，当时，，满足要求，B正确； C选项，， 均为整数，则为整数，故不存在整数，使得，C错误； D选项，当时，， 此时一元二次方程无实根，D错误. 故选：B 9．BCD 【分析】先根据命题是假命题得到对应的真命题，然后利用判别式完成计算，从而确定出的可能范围. 【详解】因为命题是假命题， 所以可知“,”为真命题， 所以，所以， 又因为“”可以推出“”， “”可以推出“”， 故选：BCD. 10．ABC 【分析】ABC选项可举出例子；D选项，根据推出关系得到是的充分不必要条件. 【详解】A选项，，故，，A正确； B选项，1既不是合数也不是质数，B正确； C选项，时，是无理数，C正确； D选项，，但， 故是的充分不必要条件，D错误. 故选：ABC 11．BC 【分析】利用存在量词命题的定义，含有存在量词的命题来判断；判断存在量词命题为真的判定方法即可判断． 【详解】由得，，所以该方程没有实数根，该命题为假命题，A错误； 含有存在量词“存在”，且锐角三角形的三个角都是锐角，B正确； 含有存在量词“至少有一个”，且当时，，C正确； 含有全称量词“”，D错误， 故选：BC． 12．ACD 【分析】由全称命题的概念判断． 【详解】选项ACD是全称命题，选项B是特称命题， A中，由，正确； CD均正确． 故选：ACD． 13．(1) (2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 14．(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真命题，可得出关于实数的不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时，实数的取值范围，再将命题为真、命题为真时对应的实数的取值范围取并集即可得答案. 【详解】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 则，可得，解得， 因此，若为真命题，则的取值范围是. （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 真假时，；假真时，； ，都真时，； 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 15．(1)，或 (2) 【分析】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到或，求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为或， 所以，或； （2）因为“，都有”是真命题，所以， 因为集合，集合或， 所以或， 即或，所以实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026高一上学期数学常考题型归纳 【第5讲：全称量词与存在量词】 【知识梳理】 一、核心概念梳理（基于教材例题） 1.全称量词与全称命题 全称量词：表示“全体”“所有”“任意”的量词，符号为∀（读作“对任意”）。 教材常见实例：“任意一个实数，都有”中，“任意一个”是全称量词。 全称命题：含有全称量词的命题，一般形式为： ， （其中为给定的集合，是关于的语句） 教材例题示范：“，”（判定为真命题，因恒成立）。 2.存在量词与特称命题 存在量词：表示“部分”“有的”“存在”的量词，符号为∃（读作“存在”）。 教材常见实例：“存在一个有理数，使”中，“存在一个”是存在量词。 特称命题：含有存在量词的命题，一般形式为： ， （其中为给定的集合，是关于的语句） 教材例题示范：“，”（判定为真命题，因满足条件）。 二、命题的否定（高频考点，结合高考真题） 1.否定的核心法则 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； 否定时需“两步操作”：①改变量词（）；②否定结论（）。 2.规范公式与高考实例 原命题类型 原命题形式 否定命题形式 高考真题示例（改编） 全称命题 ， ， 原命题：，；否定：， 特称命题 ， ， 原命题：，；否定：， 3.易错点提醒（高考高频陷阱） 避免只改量词不否结论，或只否结论不改量词： 错误示例：原命题，，否定写成，（未否结论）； 结论否定需准确：如“”的否定是“”，“是增函数”的否定是“不是增函数”（非“减函数”）。 三、命题真假的判定（教材例题与高考考法融合） 1.全称命题真假判定 真命题：对集合中所有元素都满足（需证明一般性）； 假命题：在集合中存在一个元素不满足（只需举一个反例）。 教材例题：判断“，”真假——因，故为真。 2.特称命题真假判定 真命题：在集合中存在至少一个元素满足（只需举一个正例）； 假命题：对集合中所有元素都不满足（需证明一般性）。 高考真题考法：判断“”，”真假——令，，故，为假。 四、高考常见题型与解题模板 题型1：命题的否定（直接求否定） 解题模板：①识别量词（）；②更换量词（，）；③否定结论。 示例：命题“，且”的否定为：，或（注意“且”的否定为“或”）。 题型2：结合不等式/函数的真假判定 解题模板：①明确命题类型（全称/特称）；②转化为不等式恒成立或存在性问题；③用函数最值、分离参数等求解。 高考真题示例：若“，”为真命题，求的取值范围。 解：转化为在上有解，令，，故。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：全称命题和特称命题的判断】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 【例题2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【相似题2】（22-23高一·全国·课堂例题）指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)对任意正实数，； (2)对某个大于10的正整数，． 【解题策略】 一、核心前提：命题类型精准识别 1.全称命题的识别标志 量词特征：含“所有”“任意”“每一个”“全部”等量词，或隐含“恒成立”“都满足”等任意性表述。 符号形式：，（为给定集合，为关于的语句）。 2.特称命题的识别标志 量词特征：含“存在”“有的”“某个”“至少一个”等量词，或隐含“存在”“有解”“能成立”等存在性表述。 符号形式：，（为给定集合，为关于的语句）。 二、核心方法：命题真假判定策略 1.全称命题：“全真则真，一假则假” 判定结果 核心逻辑 解题操作 真命题 集合中所有元素满足 ①直接证明：通过代数变形、不等式推导证一般性；②间接证明：反证法（假设存在不满足元素，推矛盾） 假命题 集合中存在元素不满足 寻找反例：在中找具体值使成立 2.特称命题：“一真则真，全假则假” 判定结果 核心逻辑 解题操作 真命题 集合中存在元素满足 寻找正例：在中找具体值使成立 假命题 集合中所有元素不满足 ①直接证明：通过函数性质、不等式推导证一般性；②间接证明：反证法（假设存在满足元素，推矛盾） 三、高考高频场景转化策略 1.与函数性质结合 解题模板：①识别命题类型；②转化为函数最值、单调性、奇偶性问题；③用性质验证“全满足”或“存在满足”。 2.与不等式恒成立/存在性结合 解题模板：①全称命题（，）→；②特称命题（，）→；③计算最值判定。 3.与集合、方程结合 解题模板：①全称命题→验证集合中所有元素是否满足方程；②特称命题→判断方程在集合内是否有解。 【题型二：判断全称命题和特称命题的真假】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 【例题2】【多选题】（24-25高二下·福建福州·期末）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·北京西城·期末）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【相似题2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【解题策略】 一、核心前提：命题类型精准识别（含教材特征） 1.全称命题识别 量词/表述：含“所有”“任意”“恒成立”“都满足”，符号为，。 教材特征：常结合实数、整数等数集表述，如“对任意实数，”。 2.特称命题识别 量词/表述：含“存在”“有的”“有解”“能成立”，符号为，。 教材特征：多涉及具体元素验证，如“存在整数，使”。 二、核心方法：真假判定策略（教材例题+高考逻辑） 1.全称命题：“全真则真，一假则假” 判定结果 核心逻辑 解题操作 教材例题/高考实例解析 真命题 集合中所有元素满足 ①直接证明一般性；②反证法推矛盾 教材：判断“，”——配方得，全成立则真 假命题 集合中存在元素不满足 寻找反例 高考改编：判断“，”——取，，反例成立则假 2.特称命题：“一真则真，全假则假” 判定结果 核心逻辑 解题操作 教材例题/高考实例解析 真命题 集合中存在元素满足 寻找正例 教材：判断“，”——取，正例成立则真 假命题 集合中所有元素不满足 ①直接证明一般性；②反证法推矛盾 高考：判断“，”——构造，求导得，全不成立则假 三、高考高频场景转化策略（真题适配） 1.与函数性质结合 解题模板：①定类型；②转函数性质（最值/单调性）；③验证满足性。 高考真题：判断“，”——构造，求导知单调递增，，故真。 2.与不等式恒成立/存在性结合 解题模板：①全称命题→；②特称命题→；③算最值判定。 高考真题：判断“，”——，故真。 3.与集合、方程结合 解题模板：①全称命题→验所有元素；②特称命题→判方程有解。 教材延伸：判断“，”——不满足，故假。 四、易错点与答题规范（高考避坑） 1.易错点规避 混淆证明逻辑：全称假用反例，特称假需全面证明； 忽视集合范围：如“，”中，为真，误判则错； 结论否定偏差：“不恒大于0”≠“恒小于0”，等价于“存在小于等于0”。 2.答题规范 附判定依据：真命题写“全满足/存在满足”理由，假命题明确反例/推导； 符号标准化：用转化题干表述，如“对任意”写为 【题型三：根据全称命题特称命题的真假求参数】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知命题；命题.若命题，都是真命题，则实数的取值范围为 ． 【例题2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【解题策略】 一、核心转化逻辑：命题真假与参数条件的对应 1.全称命题（，为真/假） 真命题转化：对集合中所有元素，恒成立→等价于“的最值满足约束条件”（如恒成立→）。 假命题转化：存在集合中元素使不成立→等价于其否定（特称命题）为真→按特称命题求参逻辑求解。 2.特称命题（，为真/假） 真命题转化：集合中存在元素使成立→等价于“的最值满足约束条件”（如有解→）。 假命题转化：对集合中所有元素，不成立→等价于其否定（全称命题）为真→按全称命题求参逻辑求解。 二、高考高频场景解题策略（含真题解析） 场景1：与一次/二次函数结合 1.全称命题（恒成立问题） 解题模板：①确定函数类型（一次/二次）；②结合定义域求函数最值；③建立最值与参数的不等式求解。 高考真题：若“，”为真，求的取值范围。 解：①二次函数，对称轴；②分类讨论： 当时，→； 当时，→（舍去）； 当时，→（舍去）； ③综上：。 2.特称命题（存在性问题） 解题模板：①确定函数类型；②求函数在上的最值；③建立最值与参数的不等式求解。 高考真题：若“，”为真，求的取值范围。 解：①转化为在有解（）；②令，在递减，递增，；③故。 场景2：与指对/三角函数结合 解题模板：①利用函数单调性、有界性求值域；②结合命题类型（全称/特称）建立参数不等式；③解不等式得参数范围。 高考真题：若“，”为真，求的取值范围。 解：①化简，在上值域为；②全称命题需；③故。 场景3：与绝对值不等式结合 解题模板：①利用绝对值三角不等式或分段讨论求的最值；②按命题类型转化为参数不等式；③求解参数范围。 示例：若“，”为假，求的取值范围。 解：①命题为假→其否定“，”为真；②由绝对值三角不等式，，即最小值为3；③故。 三、易错点规避与答题规范 1.易错点清单 忽视定义域限制：如求“，”中参数时，误将定义域当导致错用最值（实际时）。 混淆“恒成立”与“存在性”的最值方向：全称命题（恒成立）用“最值下限/上限”，特称命题（存在性）用“最值上限/下限”，反向则错。 未转化假命题：直接求解假命题的参数范围易混乱，需先转化为其否定的真命题再求解。 2.答题规范 分步转化：明确写出“命题为真/假→等价于……”的转化过程，如“特称命题为假→全称命题为真”。 最值分析清晰：求函数最值时，需说明单调性、极值点或边界值，避免直接写结果。 符号规范：用标注命题类型，如“由，恒成立，得”。 四、核心策略口诀 全称真，找最小，最小不小参数小； 全称假，转特称，存在不成立来解； 特称真，找最大，最大不小参数小； 特称假，转全称，恒不成立最值靠。 【题型四：全称命题特称命题的否定及真假判断】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·四川成都·开学考试）命题的否定是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知命题：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·吉林白城·开学考试）已知命题，其中，命题.命题是真命题，且命题的否定是真命题，求的取值范围. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知命题p：“，”，则命题p的真假及命题p的否定分别为（   ） A．真命题，， B．真命题，， C．假命题，， D．假命题，， 【解题策略】 一、核心：命题否定的“两步法则”（新高考高频） 1.本质逻辑 量词互换，结论否定（二者缺一）： 量词：； 结论：如“”变“”，“单调”变“不单调”。 2.标准转化公式 原命题类型 原命题形式 否定命题形式 全称命题 特称命题 二、关键：否定命题真假判断（新高考实战法） 1.核心逻辑 原命题与否定命题真假相反（新高考快速判断依据）； 否定命题为特称（找正例即真，无则假）；为全称（证全满足即真，找反例则假）。 2.表格速查 否定命题类型 真判定 假判定 特称（原全称否定） 找使成立 证恒成立 全称（原特称否定） 证恒成立 找使成立 三、新高考一卷高频场景（含解题模板） 场景1：结合函数性质判断 模板：①写否定命题；②转化为函数最值/单调性问题；③验证“存在/恒成立”。 真题示例：判断“”的否定真假。 解：否定为“”，构造，最小值，故否定为假。 场景2：通过否定求参数（新高考热点） 模板：①原命题真假→否定命题真假；②按“恒成立/存在性”求最值；③解参数范围。 真题示例：若“”为真，求的范围。 解：否定“”为假，即恒成立，，故。 课后针对训练 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 4．（24-25高二下·浙江温州·期中）已知命题是无理数是无理数；命题，使得是奇数，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 5．（24-25高一上·重庆·期中）命题：“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（22-23高一上·海南儋州·期中）已知命题：，总有，则命题的否定为（   ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知命题，若p为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·湖北·期中）下列含有量词的命题中为真命题的是（    ） A．任意实数的平方都大于0 B．， C．存在整数，使得 D．，一元二次方程有实根 二、多选题 9．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖南·期中）下列命题中为真命题的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．{是无理数}，是无理数 D．是的必要不充分条件 11．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有（    ） A．，使得方程成立 B．存在一个三角形，它的三个角都是锐角 C．至少有一个实数，使得 D．， 12．（24-25高一上·浙江温州·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（   ） A．， B．，2x为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．每个二次函数的图像都是轴对称图形 三、解答题 13．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 14．（24-25高一上·山东东营·期中）已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $