第一章 章末总结（一）集合与常用逻辑用语-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

该高中数学单元复习讲义通过分题型系统梳理集合与常用逻辑用语知识体系，以“基本概念-关系运算-逻辑条件-量词命题”为主线构建知识框架，用表格归纳“类题通法”呈现集合互异性检验、空集陷阱规避等重难点，清晰展现各知识点内在逻辑联系。 讲义亮点在于“例题解析-方法提炼-迁移运用-高考真题”的渐进式练习设计，如集合运算中用数轴法直观求解范围问题，培养数学思维的逻辑推理能力，充分条件判断通过集合法转化参数关系，提升数学语言表达的精准性。基础题帮助学生掌握通法，高考题助力能力拔高，为教师实施分层教学和学生自主复习提供有力支持。

题型一　集合的基本概念与集合间的基本关系 集合间的基本关系包括包含、真包含、相等．能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围． 例1　(1)已知集合A＝{x∈R|x2－2x＝0}，B＝{x∈N|－1<x<4}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.由x2－2x＝0得x＝0或x＝2，所以A＝{0，2}．由题意知B＝{0，1，2，3}，所以满足条件的C为{0，2}，{0，1，2}，{0，2，3}，{0，1，2，3}． (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1<x<m}，且B⊆A，则实数m的取值范围是__________． 解析：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A. 若m>1，则1<m≤4.综上可知，m≤4. 答案：{m|m≤4} 类题通法 (1)集合的概念问题应关注:①先要看集合中的代表元素，再看限制条件;②含有字母的集合，要注意检验是否满足互异性. (2)集合间关系问题的关键:将集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系,常需要利用数轴、Venn图帮助分析，同时要注意“空集”这一“陷阱”. 【迁移运用】 1.(多选)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且{2}⊆A，则实数m的取值不可以为(　　 ) A．2 B．3 C．0 D．－2 解析：选ACD.因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或2或3. 当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性； 当m＝3时，A＝{0，3，2}，满足题意． 综上所述，m＝3. 题型二　集合的基本运算 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 例2　(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　 ) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 解析：选A.(方法一)因为M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，所以M∪N＝{x|x<2}，所以∁U(M∪N)＝ {x|x≥2}． (方法二)因为∁UM＝{x|x≥1}，∁UN＝ {x|x≤－1，或x≥2}，所以{x|x≥2}＝∁UM∩∁UN＝∁U(M∪N). 类题通法 (1)定义法或Venn 图法:集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn 图中表示出来,借助Venn 图观察求解. (2)数轴法:集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. 【迁移运用】 2.(2023·全国甲卷)设A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝(　　 ) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 解析：选A.集合A∪B表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集． 题型三　充分条件与必要条件 若p⇒q，且q p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 例3　设命题p：实数x满足a<x<3a，其中a>0，命题q：实数x满足2<x≤3.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：p是q的充分不必要条件，即p⇒q且q p.设集合A＝{x|x≤a，或x≥3a}，集合B＝{x|x≤2，或x>3}，则AB，所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.所以实数a的取值范围是{a|1<a≤2}． 类题通法 充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法 (2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时，要尽可能用图示、数轴等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度． 【迁移运用】 3.若p：x2＋x－6＝0是q：ax－1＝0(a≠0)的必要不充分条件，则实数a的值为(　　) A．－ B．－或 C．－ D．或－ 解析：选D.p：x2＋x－6＝0，即p：x＝2或x＝－3.因为a≠0，所以q：x＝.又p是q的必要不充分条件，所以＝2或＝－3，解得a＝或a＝－. 题型四　全称量词与存在量词 全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后对结论进行否定． 例4　(多选)下列命题的否定为真命题的是(　　 ) A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 B．任意一个四边形的四顶点共圆 C．所有能被3整除的整数都是奇数 D．∀x∈R，x2≥0 解析：选ABC.A中命题的否定是∀x∈R，x2＋2x＋2>0，是真命题；B中命题的否定是存在一个四边形的四顶点不共圆，是真命题；C中命题的否定是存在能被3整除的整数是偶数，是真命题；D中命题的否定是∃x∈R，x2<0，是假命题． 类题通法 (1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论. (2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解. 【迁移运用】 4.若命题“∃x<2 024，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：因为命题“∃x<2 024，x>a”是假命题，则其否定“∀x<2 024，x≤a”为真命题，所以a≥2 024. 答案：a≥2 024 1. (2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　 ) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 　人教A版必修第一册P14习题1.3T4. 　集合间的关系及集合的交集、并集与补集运算是高考考查的重点和考查热点，多以选择题形式出现，属于容易题，多与不等式、定义域、值域等知识结合，重在考查数学运算能力． 　本题可以借助数轴进行运算，要注意端点值的取舍． 　 选D.因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}． 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　 ) A．p和q都是真命题 B．p和q都是真命题 C．p和q都是真命题 D．p和q都是真命题 　人教A版必修第一册P35复习参考题1T7. 　含有一个量词的命题的否定和命题真假性的判断是高考常考内容，属于容易题，体现基础性，与各种数学命题均可关联． 　教材习题是写含有一个量词的命题的否定并判断它们的真假，真题在此基础上进行了改编． 　 选B.解法一：由绝对值的非负性知，∀x∈R，|x＋1|≥0，∴p为假命题． q：∵x3＝x，∴x3－x＝0，即x(x2－1)＝0， ∴x＝0 或x＝±1，即∃x＝1，使得命题q成立，∴q为真命题． 综上，p和q都是真命题，故选B. 解法二(特殊值法)： p：当x＝0时，|x＋1|＝1，不满足|x＋1|>1，故命题p为假命题． q：当x＝1时，13＝1，故命题q为真命题． ∴p和q都是真命题，故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $