第2章 对称图形—圆（2.1-2.5）27个高频易错考点训练 共54题-2025-2026学年苏科版数学九年级上册章节复习培优专项训练

第2章 对称图形—圆（2.1-2.5）易错题考点集训 【27个高频易错考点 共54题】 易错考点01：圆的周长和面积问题 2 易错考点02：利用点与圆的位置关系求半径 3 易错考点03：点与圆上一点的最值问题 5 易错考点04：求圆弧的度数 7 易错考点05：垂径定理的推论 9 易错考点06：垂径定理的实际应用 13 易错考点07：利用弧、弦、圆心角的关系求解 14 易错考点08：利用弧、弦、圆心角的关系求证 16 易错考点09：利用弧、弦、圆心角的关系求解 18 易错考点10：同弧或等弧所对的圆周角相等 21 易错考点11：半圆（直径）所对的圆周角是直角 25 易错考点12：90度的圆周角所对的弦是直径 28 易错考点13：求四边形外接圆的直径 30 易错考点14：证明某直线是圆的切线 34 易错考点15：切线的性质定理 36 易错考点16：切线的性质和判定的综合应用 41 易错考点17：应用切线长定理求解 45 易错考点18：应用切线长定理求证 47 易错考点19：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 50 易错考点20：圆外切四边形模型 53 易错考点21：三角形内心有关应用 55 易错考点22：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 57 易错考点23：三角形内切圆与外接圆综合 59 易错考点24：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 62 易错考点25：圆内知识综合（圆的综合问题) 64 易错考点26：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 67 易错考点27：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 70 易错考点01：圆的周长和面积问题 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的面积公式，证明为等边三角形得出，再由圆的面积公式计算即可得解． 【规范解答】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 2．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，圆O的周长为，B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则 ．（用数字表示） 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了圆周长的计算公式，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．根据圆周长计算公式可得，再根据等腰三角形的性质及平行线的性质，得到，再根据等腰三角形的判定得到，由此可得，即得答案． 【规范解答】的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 易错考点02：利用点与圆的位置关系求半径 3．（24-25九年级下·全国·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【思路引导】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【规范解答】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外 (2) 【思路引导】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 【规范解答】（1）解：，，， ， ， ， 半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为． 易错考点03：点与圆上一点的最值问题 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．取的中点，连接，，当点共线时，有最小值，最小值为的长，，是等腰直角三角形，据此求解即可． 【规范解答】解：取的中点，连接，， ∵为的弦， ∴， ∵沿弦折叠经过圆心， ∴是半径的一半， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的上， ∴当点共线时，有最小值，最小值为的长， 此时，是等腰直角三角形， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点C作，交于E，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可），求出，得到，根据三角形面积公式即可求出答案． 此题考查了勾股定理、三角形面积公式等知识，准确找到点E的位置是关键． 【规范解答】解：如图，过点C作，交于E，连接，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可）， ∵A、B两点的坐标分别为、，， ∴ ∵的圆心坐标为，原点在上， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 易错考点04：求圆弧的度数 7．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【规范解答】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【考点剖析】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 8．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ． 【答案】/82度 【思路引导】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．关键是由等边三角形的性质得到． 连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度． 【规范解答】解：连接，如图， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵B点的对应刻度为， ∴D点的对应刻度是． 故答案为：． 易错考点05：垂径定理的推论 9．（2025·天津东丽·模拟预测）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中画弧的中点D； (2)如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 【答案】(1)作图见解析 (2)① ②作图见解析，理由见解析 【思路引导】对于（1），先取的中点，连接，延长交于点D，根据垂径定理可得点D是的中点； 对于（2），①先证明是等腰直角三角形，即可得出答案； ②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作. 【规范解答】（1）解：如图所示； （2）解：①∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴. 故答案为：45； ②取点M，连接，延长交于点K，作直径，连接并交于点Q，线段即为所求作.如图所示. 理由如下：取的中点N，连接，则，结合，可得四边形是正方形， ∴. ∵直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将绕点B旋转得到. 【考点剖析】本题主要考查了尺规作图，垂径定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法，应该熟练掌握. 10．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点； (2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了无刻度直尺画图，菱形的判定与性质，垂径定理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接对角线，然后延长交于点，则点即为所求； （）连接交于点，连接，然后延长交于点，则点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，连接对角线，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴点即为所求； （2）解：如图，连接交于点，连接，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， ∴点即为所求． 易错考点06：垂径定理的实际应用 11．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度 ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理． 根据题意可得出，由垂径定理得，由勾股定理得出，则液体的最大深度． 【规范解答】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴液体的最大深度， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 【答案】 【思路引导】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．连接，连接交于点H，设，根据列方程即可求得长度，进而得到半径． 【规范解答】 解：设所在圆的圆心为O，连接，连接交于点H， 设， 最高点E到地面的距离为6mm， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 易错考点07：利用弧、弦、圆心角的关系求解 13．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【规范解答】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 连接，根据平行线的性质，得、，通过等腰三角形的性质，推得，利用圆心角、弧、弦的关系即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ， ，， ， ， ， ． 易错考点08：利用弧、弦、圆心角的关系求证 15．（22-23九年级上·全国·期中）如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）首先得到，推出，然后等量代换得到，由三角形内角和得到，即可得到； （2）由得到，然后结合求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 16．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）（1）如图①，过上一点P作两条弦，．若，则平分．为什么？ （2）如图②，若点P在内，过点P的两条弦，相等，则平分吗？为什么？ 【答案】（1）平分，理由见详解；（2）平分，理由见详解 【思路引导】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． （1）如图，作直径，根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，所以，则根据圆周角定理得； （2）作于于，连接，如图，根据垂径定理得到，由于，则，根据勾股定理得，所以，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到平分； 【规范解答】解：（1）平分， 如图，作直径， ， ， ， ， 平分． （2）平分． 理由如下： 作于于，连接，如图， 则， ， ， 而， ， 平分． 易错考点09：利用弧、弦、圆心角的关系求解 17．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查圆周角定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，则，由是的直径，得，而，则，由点B是的中点，得，则，由，求得，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 18．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）四边形内接于，，则，即可求解； （2）连接，由， ，得；再由同弧所对的圆周角相等可得；由是的直径，得，从而求得． 【规范解答】（1）解：∵四边形内接于，， ， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∴． 【考点剖析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，弧、弦及圆周角的关系，直径对的圆周角为直角，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 易错考点10：同弧或等弧所对的圆周角相等 19．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是的外接圆的直径． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求PE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）只要证明，即可解决问题； （2）证明，利用勾股定理即可解决问题． 【规范解答】解：（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ． 是直径， ， ， ， 是等腰直角三角形． （2）， ． ， ， ． 是直径， ． 在中，， ． 【考点剖析】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键． 20．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，四边形内接于，对角线、交于点E，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，，连接，的面积为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）延长交于M，连接．由是直径，得，由，得，，故； （2）连接，在上任取一点Q，连接、，设，则，得，故，由圆内接四边形对角互补得，再换算即可； （3）过O作，，过D作．由、均为等腰三角形，得，，换算得，故，证明，得，．换算得的面积的面积，得，，由的面积，得，再计算即可． 【规范解答】（1）证明：如图1，延长交于M，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，连接，在上任取一点Q，连接、． 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，过O作，，过D作． ∵、均为等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的面积， ∴的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了圆的综合题，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识． 易错考点11：半圆（直径）所对的圆周角是直角 21．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）延长交圆于点E，连接即可求解； （2）延长，交于点F，连接交于点O即为所求． 【规范解答】（1）如图所示，即为与互余的角． ∵ ∴是圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵为的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∴即为与互余的角； （2）如图所示，点O即为所求． ∵ ∴ ∴点D在线段的垂直平分线上 ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点F在线段的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴，即点O是中点． 【考点剖析】此题考查了无刻度直尺作图，圆中所对的弦是直径，等边三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，三角形内角和定理以及等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22．（2025·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】取的中点，连接，．证明，推出，点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【规范解答】解：如图，取的中点O，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的． ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 易错考点12：90度的圆周角所对的弦是直径 23．（24-25九年级上·广东·期末）如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先得到，再根据圆内接四边形的性质得到， 进而得到，即可得出结论； （2）先求出，连接， 根据，得到，进一步求出，再根据勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 连接，如图： ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，已知，，，，，，，则 ． 【答案】 【思路引导】根据，得到点，，，四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到，，求得，，得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】解：， 点，，，四点共圆， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 根据题意易得， ，，，， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，证出点，，，四点共圆是解题的关键． 易错考点13：求四边形外接圆的直径 25．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知四边形中，， ，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【答案】在，见解析 【思路引导】连接，在中，利用勾股定理求得的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可证得． 【规范解答】连接，    在中，， ∴， 在中， ， ∴ ∴， ∴A、B、C、D四点在同一个圆上． 【考点剖析】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上． 26．（2023·黑龙江绥化·一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 【答案】(1)证明见解析 (2)6 (3)4 【思路引导】（1）如图所示，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明得到，由此即可证明结论； （2）延长到M使得，证明，得到，进而证明是等边三角形，则； （3）先证明四点共圆，则当为直径时，最大，设圆心为O，连接，过点O作于M，在中求出的长即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：延长到M使得， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴当为直径时，最大， 设圆心为O，连接，过点O作于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【考点剖析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 易错考点14：证明某直线是圆的切线 27．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明 ，推出，即可证明与相切； （2）由 可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【考点剖析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 28．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，． (1)尺规作图： 作的平分线交于点； 以点为圆心，长为半径作．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用证明： 在（1）的条件下，求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查的是尺规作图，角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握角平分线的性质及作图方法、切线的判定是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可；根据要求作出即可． （2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，则为的半径，结合切线的判定可知，与相切． 【规范解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：过点作于点， 平分，，， ， 即为的半径， 与相切． 易错考点15：切线的性质定理 29．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，，为的直径，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，与相切？ 【答案】(1)当时，四边形为平行四边形 (2)当秒时，与相切 【思路引导】此题利用了切线的性质，平行四边形的性质，关键是用运动的观点讨论问题． （1）首先用分别表示和，然后利用平行四边形的性质对边相等就可以求出； （2）当是圆的切线时，利用切线的性质把，，，分别用表示，然后利用勾股定理就可以求出． 【规范解答】（1）解：∵直角梯形，， ∴， ∴当时，四边形为平行四边形； ∵，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形． （2）设与相切于点，过点作，垂足为； ∵直角梯形，， ∴， ∵，， ∴，； ∵为的直径，， ∴，为的切线， 由三角形全等的性质可知，， ∴； 在中，， ∴， 即：， ∴， ， ∴，； ∵在边运动的时间为秒， ∵， ∴（舍去）， ∴当秒时，与相切． 30．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积． (1)如图，大圆的弦切小圆于点，求证：； (2)若，则图中的圆环面积为______用含有的代数式表示； (3)如图，若大圆的弦交小圆于、两点，且，，则圆环的面积为______． (4)如图，点是内一点，用不带刻度的直尺与圆规，过点作的弦，使保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) (4)详见解析 【思路引导】（1）连接，由切线的性质得，即可根据垂径定理证明； （2）连接，由得，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案； （3）连接，，作于点，则，，由，，求得，则，于是得到问题的答案； （4）设以为圆心，以长为半径的圆交过点的弦于另一点，连接，作于点，则，，所以，作出的弦需要满足，设，，，则，，由，得，可推导出，作出线段使它的长为，即为小圆的弦的长． 【规范解答】（1）证明：如图1，连接， 大圆的弦切小圆于点， ， ; （2）解：如图1，连接， 由（1）得，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，连接、，作于点，则， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：； （4）解：如图3，作法： 作射线交于点； 作以为圆心，以长为半径的圆； 作以为直径的圆交以为圆心，以长为半径的圆于点； 连接，连接并且延长到点，使； 连接，作于点； 以为圆心，以长为半径作圆作弧，交以为圆心，以长为半径的圆于点； 过点、作直线交于点、， 弦就是所求的弦． 理由：连接，作于点，则， ，， ， ， 设，， ， ，， ， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 弦就是所求的弦． 【考点剖析】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、垂径定理、圆的面积公式、尺规作图等知识，掌握相关知识是解决问题的关键． 易错考点16：切线的性质和判定的综合应用 31．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，证明，得到，即可求证； （2）由，，可得垂直平分，，进而可得，即可求出，再利用勾股定理得到的长． 【规范解答】（1）证明：连接， 平分， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ， 与相切于点B， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：，， 垂直平分，， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了角平分线的定义，切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆的有关性质是解题的关键． 32．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路引导】（1）连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点； （2）由（1）可得结论； （3）设的半径为，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理构建方程求解． 【规范解答】（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵线段、与相切，切点分别为、，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是的直径，即点在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切于点， 则即为所作； （2）证明：由（1）知：即，且点在上， ∴与相切； （3）解：设的半径为， 过点作于点，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵、、都是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【考点剖析】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 易错考点17：应用切线长定理求解 33．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 34．（2025·湖南长沙·二模）如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【规范解答】解：作交于F， ∵、与切于点A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 易错考点18：应用切线长定理求证 35．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，四边形 的顶点 A，B，C 在上，顶点D在外，连接，E是边的中点，和是的切线，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图（1），在上找一点 F，使得为等腰三角形； (2)如图（2），在上找一点M，使得为等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了复杂作图，掌握切线长定理、三角形的三条中线交于一点及垂径定理是解题的关键． （1）连接，交于点F，即可求解； （2）连接，交于点G，连接，，与交于点H，连接，并延长，交于点K，连接，并延长交于点M，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，点F即为所求； 理由：∵和是的切线， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，点M即为所求． 理由：∵和是的切线， ∴点G为的中点， ∵E是边的中点，且与交于点H， ∴是边的中线，即点K为的中点， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 36．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若， (1)求的度数． (2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）利用圆的切线性质得到，由切线长定理知，得到 ，最后根据三角形内角和定理求出． （2）连接 ，利用等腰三角形性质得到 ，推出 ． 结合已知条件，得到 ，从而判定是切线，根据切线长定理即可得证． 【规范解答】（1）是的切线 ． （2）根据题意， 如图，连接， 可得 ， 又 是的切线 ． 易错考点19：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 37．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【思路引导】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，作图-复杂作图，关键是掌握三角形的内心是三角形角平分线的交点． （1）分别作和的平分线，它们相交于点O，则点O为内切圆圆心； （2）过点O作于F，然后以点O为圆心，为半径作圆；连接、，根据切线长定理得出，，从而可求出； （3）由三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得的内切圆的半径． 【规范解答】（1）解：如图，点O即为的内切圆圆心， （2）解：连接，， 由切线长定理得，， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：设内切圆的半径为r， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：2． 38．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，   ，  点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2024次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8099 ， 故答案为：，． 易错考点20：圆外切四边形模型 39．（24-25九年级下·全国·课后作业）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为 【答案】 【思路引导】首先作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，则O为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1交AB1于点F，则OF即为所求，根据角平分线的性质可得∠OAF=30°，∠AB1O=45°，根据等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形性质可得B1F=x，AF=-x，接下来在Rt△OFA，利用勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求解. 【规范解答】作∠DAF与∠AB1C1的角平分线，交于点O，过O作OF⊥AB1交AB1于点F， AB=AB1=，∠BAB1=30°， ∵四边形AB1C1D1是正方形，∠DAF与∠AB1C1的角平分线交于点O，∠BAB1=30° ∴∠OAF=30°，∠AB1O=45° ∵OF⊥AB1 ∴B1F=OF=OA 设B1F=x，则AF=-x ∴（-x）2+x2=（2x）2 解得x=或x=（舍去） 即四边AB1ED的内切圆的半径为. 故答案为. 【考点剖析】此题主要考查了正方形中的旋转问题，添加合适的辅助线是解题关键. 40．（24-25九年级上·山东·课后作业）如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 【答案】（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m. 【思路引导】(1)由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC， (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【规范解答】(1)AB+CD=AD+BC 证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH， 所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC， 即AB+CD=AD+BC (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得， AD+BC=2m， 梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【考点剖析】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 . 易错考点21：三角形内心有关应用 41．（2023九年级上·浙江台州·竞赛）如图，是的垂心，、、分别交、、于、、，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形的垂心的概念及性质，三角形内心的定义，四点共圆的判定及圆的性质，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 利用三角形的垂心的性质推出，从而有C、D、H、E四点共圆，可得，同理可得，再利用直角三角形的性质和等量替换推出，可得平分，进一步可得点是三内角平分线的交点，所以点是的内心． 【规范解答】点是的垂心， ，，， 由，可得， ， C、D、H、E四点共圆， ， 同理可证B、D、H、F四点共圆， ， 又，， ， ， 平分， 同理可证平分，平分， 点是三内角平分线的交点，即点是的内心． 故选：A． 42．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 易错考点22：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 43．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【规范解答】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． 44．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 易错考点23：三角形内切圆与外接圆综合 45．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．连接、，由圆周角定理可得由三角形的内角和可得，，根据点是的内心可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：如图，连接、， 点是的外心，， ． ， ． 点是的内心， ，． ． ， 故选：B． 46．（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2)点是图中的外心，理由见解析 【思路引导】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【规范解答】（1）解：如图所示，点D为所求： ∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 易错考点24：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 47．（2025·福建龙岩·一模）如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【思路引导】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求； （2）连接，设，根据切线的性质，得到，进而得到，根据，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作，交于点，连接，则即为所求，如图： 由作图可得：， ∴， ∴为的切线； （2）解：连接，如图： 设， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 48．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）已知A是上一点．如图，过点A作出的一条切线，切点为A（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （2）已知P是外一点．如图，过点P作出的两条切线，切点分别为点E、F（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （3）在（2）的条件下，若点D在上（点D不与E、F两点重合），且，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【思路引导】本题考查了切线的作法，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角；同弧所对的圆周角是圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补． （1）连接，过点A作，直线即为所求； （2）连接，作的垂直平分线，交于点Q，以点Q为圆心，为半径画圆，与相交于点E和点F，连接，即为所求； （3）先根据四边形内角和为360度，得出，再进行分类讨论：当点在优弧上时，根据圆周角定理即可解答；当点在劣弧上时，根据圆的内接四边形的性质即可解答． 【规范解答】解：（1）如图，直线即为所求； （2）如图所示：即为所求； （3）∵，， ∴， 如图， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 故答案为：或． 易错考点25：圆内知识综合（圆的综合问题) 49．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，点为线段的中点，为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，下列结论：①D、A、C、E四点共圆；②；③平分；④．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【思路引导】将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，证明，得到当D，C，H共线时，最大，再根据四点共圆的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质即可依次判断． 【规范解答】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，， ∵， ∴，即， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当D，C，H共线时，最大，如下图所示 ∵，，，， ∴、是等腰直角三角形 ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴D、A、C、E四点共圆，故①正确； ∵ ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④ 【考点剖析】此题主要考查旋转的性质综合，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据题意将线段绕点A逆时针旋转得到线段，找到最大的情况，再进行求解． 50．（2024九年级·全国·专题练习）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路引导】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【规范解答】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴ ， 又， ∴， ∴， 故选D． 易错考点26：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 51．（2023九年级上·河北邯郸·竞赛）已知的两边分别与圆相切于点A，B，圆的半径为． (1)如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数； (2)如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，四边形为菱形，理由见解析． 【思路引导】（1）连接、，根据切线的性质和多边形内角和定理可得，然后结合已知求得，最后根据圆周角定理即可解答； （2）连接、，先观察发现当时，四边形APBC可能为菱形；然后利用结合（1）的解答过程可得，再根据点C运动到PC最大，即经过圆心；再说明四边形为轴对称图形结合已知条件得到，即可得到四边形为菱形． 【规范解答】（1）解：如图1，连接、 ∵，为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形为菱形， 理由如下： 如图2：连接、 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∵点C运动到最大， ∴经过圆心， ∵、为的切线， ∴四边形为轴对称图形， ∵，，平分和， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【考点剖析】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、菱形的判定以及有关圆的最值问题，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键． 52．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，是的直径，，点E在的延长线上，且． (1)求证：是的切线， (2)当的半径为2，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【规范解答】（1）证明：． ． 又． 是的直径，， ， ， ，即． 为的半径， 是的切线． （2）， ． 是直径，， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了切线的证明，圆周角定理，利用勾股定理求线段长度，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题． 易错考点27：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 53．（2025·陕西西安·三模）【问题探究】 （1）如图1，已知的半径为7，点、是上的两个动点，则、之间的最大距离为_______； （2）如图2，在中，点是边的中点，连接，若平分，试判断的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是一个草药种植区，，的长为定值，，点处是一个储水池，现要对该区域及周边重新规划，计划圈出一个（点、为动点，且始终都在经过点的一条直线上）区域来种植对湿度要求较高的药材，为方便灌溉，需沿线段和线段埋地下水管，沿修一条水渠．根据规划要求，的面积与的面积相等，经过勘测分析可知，所埋地下水管的长度最大值为（即的最大值为）．当所埋地下水管的长度最大时，求水渠的长度． 【答案】（1）14；（2）等腰三角形，证明见解析；（3） 【思路引导】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练运用这些几何知识，通过作辅助线构建特殊图形，利用图形的性质进行推理和计算． （1）根据圆中直径是圆内最长的弦这一性质，得出圆上两点间的最大距离； （2）过点作于点于点，证明，根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定来确定三角形的形状； （3）先根据面积相等得出线段关系，再利用中位线定理、等边三角形的性质找到地下水管长度最大时的条件，进而推出三角形的形状，最后通过解直角三角形求出水渠的长度． 【规范解答】解：（1）在圆中，直径是圆内最长的弦．已知的半径为7，根据直径（为半径），可得直径为， 点E，F是上的两个动点，当E，F在同一条直径的两个端点时，E，F之间的距离最大，这个最大距离就是圆的直径， E，F之间的最大距离为14； （2）是等腰三角形． 理由：过点作于点于点，如图2． 平分． 点是边的中点，， ， ， 是等腰三角形． （3）在中，， ， ． 的面积与的面积相等， ． 取的中点，连接，如图3-1， 则为的中位线， ． 在（或的延长线）上截取，连接，如图3-1， 则是等边三角形， ． 作的外接圆，连接并延长交于另一点，连接，如图3-1， 则， 当为的直径时，的长最大，此时的长也最大， 的最大值为的直径为． 点在所在直线上，当取最大值时点与点重合， 当取最大值时，点在直径上． 是的直径， ， 当的长最大时，，即平分． ，结合（2）得当的长最大时，为等边三角形，如图3-2． ， ． ． 过点作于点，如图3-2， 则， ． 当所埋地下水管的长度最大时，水渠的长度为． 54．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解． 【规范解答】解：连接， 的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，， 过点C作，且使， ∴， 连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点， ∵，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为5+1＝6， 故答案为：6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 对称图形—圆（2.1-2.5）易错题考点集训 【27个高频易错考点 共54题】 易错考点01：圆的周长和面积问题 2 易错考点02：利用点与圆的位置关系求半径 2 易错考点03：点与圆上一点的最值问题 3 易错考点04：求圆弧的度数 4 易错考点05：垂径定理的推论 4 易错考点06：垂径定理的实际应用 5 易错考点07：利用弧、弦、圆心角的关系求解 6 易错考点08：利用弧、弦、圆心角的关系求证 7 易错考点09：利用弧、弦、圆心角的关系求解 8 易错考点10：同弧或等弧所对的圆周角相等 8 易错考点11：半圆（直径）所对的圆周角是直角 10 易错考点12：90度的圆周角所对的弦是直径 10 易错考点13：求四边形外接圆的直径 11 易错考点14：证明某直线是圆的切线 12 易错考点15：切线的性质定理 13 易错考点16：切线的性质和判定的综合应用 14 易错考点17：应用切线长定理求解 15 易错考点18：应用切线长定理求证 16 易错考点19：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 17 易错考点20：圆外切四边形模型 17 易错考点21：三角形内心有关应用 19 易错考点22：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 19 易错考点23：三角形内切圆与外接圆综合 20 易错考点24：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 21 易错考点25：圆内知识综合（圆的综合问题) 22 易错考点26：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 22 易错考点27：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 24 易错考点01：圆的周长和面积问题 1．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，圆O的周长为，B是弦上任意一点（与C，D不重合），过B作的平行线交于点E，则 ．（用数字表示） 易错考点02：利用点与圆的位置关系求半径 3．（24-25九年级下·全国·期中）已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 易错考点03：点与圆上一点的最值问题 5．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为 ． 6．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 易错考点04：求圆弧的度数 7．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ． 易错考点05：垂径定理的推论 9．（2025·天津东丽·模拟预测）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图（1）中画弧的中点D； (2)如图（2），延长至格点F处，连接． ①直接写出∠F的度数； ②P为上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，画出线段，并简要说明． 10．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点； (2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点． 易错考点06：垂径定理的实际应用 11． （24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度 ． 12．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成下侧磁体固定不动，连接杆与地面垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为，密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 易错考点07：利用弧、弦、圆心角的关系求解 13．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长． 易错考点08：利用弧、弦、圆心角的关系求证 15．（22-23九年级上·全国·期中）如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证： (1) (2)． 16．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）（1）如图①，过上一点P作两条弦，．若，则平分．为什么？ （2）如图②，若点P在内，过点P的两条弦，相等，则平分吗？为什么？ 易错考点09：利用弧、弦、圆心角的关系求解 17．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 18．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，已知四边形内接于，为其中一条对角线． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，若经过圆心O，连接， ，求的大小． 易错考点10：同弧或等弧所对的圆周角相等 19．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是的外接圆的直径． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)若，，求PE的长． 20．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，四边形内接于，对角线、交于点E，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，，连接，的面积为，求线段的长． 易错考点11：半圆（直径）所对的圆周角是直角 21．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 22．（2025·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 易错考点12：90度的圆周角所对的弦是直径 23．（24-25九年级上·广东·期末）如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 24．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，已知，，，，，，，则 ． 易错考点13：求四边形外接圆的直径 25．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知四边形中，， ，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      26．（2023·黑龙江绥化·一模）已知菱形中，，点分别在，上，，与交于点． (1)求证：； (2)当，时，求的长？ (3)当时，求的最大值？ 易错考点14：证明某直线是圆的切线 27．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 28．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，． (1)尺规作图： 作的平分线交于点； 以点为圆心，长为半径作．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用证明： 在（1）的条件下，求证：与相切． 易错考点15：切线的性质定理 29．（24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，，为的直径，动点从点开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当为何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，与相切？ 30．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积． (1)如图，大圆的弦切小圆于点，求证：； (2)若，则图中的圆环面积为______用含有的代数式表示； (3)如图，若大圆的弦交小圆于、两点，且，，则圆环的面积为______． (4)如图，点是内一点，用不带刻度的直尺与圆规，过点作的弦，使保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 易错考点16：切线的性质和判定的综合应用 31．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 32．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 易错考点17：应用切线长定理求解 33．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 34．（2025·湖南长沙·二模）如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 易错考点18：应用切线长定理求证 35．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，四边形 的顶点 A，B，C 在上，顶点D在外，连接，E是边的中点，和是的切线，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图（1），在上找一点 F，使得为等腰三角形； (2)如图（2），在上找一点M，使得为等腰三角形． 36．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若， (1)求的度数． (2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：． 易错考点19：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 37．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知，． (1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）； (2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________； (3)若，则所作内切圆半径___________． 38．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 易错考点20：圆外切四边形模型 39．（24-25九年级下·全国·课后作业）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为 40．（24-25九年级上·山东·课后作业）如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 易错考点21：三角形内心有关应用 41．（2023九年级上·浙江台州·竞赛）如图，是的垂心，、、分别交、、于、、，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 42．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 易错考点22：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 43．（24-25九年级上·云南红河·阶段练习）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 44．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 易错考点23：三角形内切圆与外接圆综合 45．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 46．（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 易错考点24：过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 47．（2025·福建龙岩·一模）如图，是的弦．是延长线上一点． (1)过点作的切线，切点在直线的下方；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 48．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）已知A是上一点．如图，过点A作出的一条切线，切点为A（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （2）已知P是外一点．如图，过点P作出的两条切线，切点分别为点E、F（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）． （3） 在（2）的条件下，若点D在上（点D不与E、F两点重合），且，则 ． 易错考点25：圆内知识综合（圆的综合问题) 49．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，点为线段的中点，为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，下列结论：①D、A、C、E四点共圆；②；③平分；④．其中正确的是 ． 50．（2024九年级·全国·专题练习）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 易错考点26：圆与三角形的综合（圆的综合问题） 51．（2023九年级上·河北邯郸·竞赛）已知的两边分别与圆相切于点A，B，圆的半径为． (1)如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数； (2)如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由． 52．（2025九年级上·全国·专题练习）如下图，是的直径，，点E在的延长线上，且． (1)求证：是的切线， (2)当的半径为2，时，求的长． 易错考点27：圆与四边形的综合（圆的综合问题） 53．（2025·陕西西安·三模）【问题探究】 （1）如图1，已知的半径为7，点、是上的两个动点，则、之间的最大距离为_______； （2）如图2，在中，点是边的中点，连接，若平分，试判断的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，是一个草药种植区，，的长为定值，，点处是一个储水池，现要对该区域及周边重新规划，计划圈出一个（点、为动点，且始终都在经过点的一条直线上）区域来种植对湿度要求较高的药材，为方便灌溉，需沿线段和线段埋地下水管，沿修一条水渠．根据规划要求，的面积与的面积相等，经过勘测分析可知，所埋地下水管的长度最大值为（即的最大值为）．当所埋地下水管的长度最大时，求水渠的长度． 54．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $