第1章 一元二次方程（25个高频易错考点训练 共50题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册章节复习培优专项训练

第1章 一元二次方程（易错题考点集训） 【25个高频易错考点 共50题】 易错考点01：由一元二次方程的定义求参数 2 易错考点02：判断是否是—元二次方程的解 2 易错考点03：由一元二次方程的解求参数 4 易错考点04：—元二次方程的解的估算 5 易错考点05：解一元二次方程-直接开平方法 6 易错考点06：解一元二次方程-配方法 10 易错考点07：配方法的应用 14 易错考点08：公式法解一元二次方程 15 易错考点09：因式分解法解一元二次方程 19 易错考点10：换元法解一元二次方程 21 易错考点11：根据判别式判断一元二次方程根的情况 23 易错考点12：根据一元二次方程根的情况求参数 27 易错考点13：一元二次方程的根与系数的关系 31 易错考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 33 易错考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 34 易错考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 36 易错考点17：数字问题（一元二次方程的应用） 40 易错考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 42 易错考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 44 易错考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 48 易错考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 50 易错考点22：图表信息题（一元二次方程的应用） 52 易错考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 55 易错考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 57 易错考点25：解分式方程（化为一元二次方程) 58 易错考点01：由一元二次方程的定义求参数 1．．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【规范解答】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 易错考点02：判断是否是—元二次方程的解 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【规范解答】解： 是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【规范解答】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 易错考点03：由一元二次方程的解求参数 4．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【规范解答】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 6．（2024九年级上·湖南怀化·竞赛）若、为整数，方程有一个根为，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，得到，根据、为整数，得到，求出即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵方程有一个根为， ∴， ∴， ∴， ∵、为整数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 易错考点04：—元二次方程的解的估算 7．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【规范解答】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据可判断方程解的范围为，然后对各选项进行判断即可得出答案． 【规范解答】解： 时，， ， 时，， ， 所以方程解的范围为． 只有选项D符合要求， 故选：D． 易错考点05：解一元二次方程-直接开平方法 9．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查解一元二次方程，掌握解法是解决问题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用求根公式法求解即可； （4）用直接开方法求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 10．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）用适当的方法解下列方程． (1) (2) (3) (4) (5)（配方法） (6)（配方法） (7)（公式法） (8)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，； (5)，； (6)，； (7)无实数解； (8)，． 【思路引导】此题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是关键． （1）整理后，利用直接开平方法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）整理后，利用因式分解方法解方程即可； （4）整理后，利用因式分解方法解方程即可； （5）利用配方法解方程即可； （6）利用配方法解方程即可； （7）整理后，利用公式法解方程即可； （8）整理后，利用公式法解方程即可． 【规范解答】（1）解：， 整理得， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：， 整理得，即， ∴， 解得； （4）解：， 整理得，即， ∴或， 解得，； （5）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； （6）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； （7）解：， 整理得， 则，，， ∵， ∴原方程无实数解； （8）解：， 整理得， 则，，， ∵， ∴， 解得，． 易错考点06：解一元二次方程-配方法 11．（25-26九年级上·辽宁丹东·开学考试）解方程． (1)（配方法）． (2)（公式法）． (3)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法．熟练掌握配方法、公式法和因式分解法的步骤和适用情况是解题的关键． （1）使用配方法求解，配方法的关键是将一元二次方程转化为完全平方式的形式． （2）采用公式法，公式法适用于任意一元二次方程，需要明确公式中的各项系数，然后代入求根公式求解． （3）使用因式分解法，先将方程化为一般形式，再通过因式分解将其转化为两个因式乘积等于0的形式，进而求解方程． 【规范解答】（1）解： ， ∴，； （2）解：， 其中，，， ， ∴，； （3）解： 或 ∴，． 12．（24-25八年级下·重庆长寿·期末）如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)x轴上存在点D，使得，求点D的坐标； (3)在第一象限内是否存在一点使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)D的坐标为或 (3)存在，P的坐标为或 【思路引导】（1）根据直线求得点A，利用待定系数法即可求得直线； （2）在x轴正半轴取一点，使得，由于，则，结合，则有，根据即可求得点，同理可求得与点对称点； （3）设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，则有，得到，进一步有，设点，利用等面积法得，利用勾股定理得，解得，可求得直线解析式，由题意得点P在直线上，即可求得点；因为另一个点与点关于点N对称，利用中点坐标即可求得． 【规范解答】（1）解：直线：交轴于点，当，则，则点， 设直线的解析式， ， 解得， 则直线的解析式； （2）解：在x轴正半轴取一点，使得，如图， ∵直线：交轴于点，当，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 同理，在x轴负半轴也存在， 故点D的坐标为或； （3）解：设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，如图， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 设点，则， 那么，， 即， 解得或（舍去）， 则直线解析式为， ∵第一象限内的点， ∴点P在直线上， ， 解得， 则点， ， 解得， 则点， ∵点与点关于直线对称， ∴， 解得， 则点， 故满足条件的点P的坐标为：或． 【考点剖析】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求一次函数、等腰三角形的性质、三角形等面积法、勾股定理、中点公式和解一元二次方程，解题的关键是理解一次函数的性质和等面积法． 易错考点07：配方法的应用 13．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为 【思路引导】本题考查配方法的应用： （1）利用配方法求解； （2）利用配方法得出，即可求解； （3）用含t的式子表示出的面积，再利用配方法求解． 【规范解答】解：（1）， ，； 故答案为：； （2）， 当时，代数式有最小值，最小值是； 故答案为：； （3）解：由题意得：，则， ∴, ∵, ∴, ∴, ∴当时，有最大值，最大值为4． 即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 14．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【思路引导】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可． 本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得， 故， 又与是“同族二次方程”． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值，且为2020， 故选：B． 易错考点08：公式法解一元二次方程 15．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【思路引导】（1）利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程来求解． （2）方程 ，通过移项，然后提取公因式 ，将方程转化为两个因式相乘等于的形式，再根据“若两个数的乘积为，则至少其中一个数为”来求解． （3）利用公式法求解即可． （4）利用公式法求解即可． 本题主要考查了一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、公式法．熟练掌握一元二次方程的不同解法及其适用条件是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ∴ 或， ∴，； （2）解：， ， ， ∴或 ∴，； （3）解： ， ，； （4）解：， ， ，． 16．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）定义：在四边形中，如果有两个相邻的内角是直角，并且有两条相邻的边相等，则称该四边形为邻等四边形．其中，两条相等邻边的夹角称为邻等角．例如，如图1，在四边形中，已知，，则四边形是一个邻等四边形，其中是邻等角． (1)下列图形一定是邻等四边形的是 ．（填序号） ①平行四边形  ②菱形  ③矩形   ④正方形 (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． (3)如图3，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． (4)如图4，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长． 【答案】(1)④ (2)见详解 (3)见详解 (4) 【思路引导】（1）根据“邻等四边形的定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条相邻的边相等，”即可解答． （2）先证明，再证明，即可得到结论； （3）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点；②，结合图形再确定满足的格点； （4）如图，过作于，可得四边形是矩形，，证明四边形为平行四边形，可得，设，而，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【规范解答】（1）解：根据题意可得一定是邻等四边形的是 正方形， 故答案为：④． （2）解：∵， ， ∵对角线平分， ， ， ， ∴四边形为邻等四边形． （3）解：即为所求； （4）解：如图，过作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， 设，而， ， 由新定义可得， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：（不符合题意舍去）， ， ∴四边形的周长为． 【考点剖析】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 易错考点09：因式分解法解一元二次方程 17．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）解方程 （1）； （2）． 【答案】计算（1）0；（2）；解方程：（1），；（2）， 【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程． 计算：（1）先利用二次根式的性质化简，计算乘除法，最后再计算加减法． （2）利用完全平方公式以及平方差公式展开，最后再计算二次根式的加减法． 解方程：（1）利用因式分解解方程即可． （2）先进行方程的整理，再利用十字相乘法解方程即可． 【规范解答】解： （1）， ， 或， ∴，， （2）， 整理得：， ， ∴或， ∴，． 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（、分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形的面积为（    ） A．25 B．64 C．100 D．169 【答案】D 【思路引导】本题主要考查完全平方公式，解一元二次方程，勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键． 设，根据两块阴影的面积和与周长和分别为16和36，分别得出和，通过设，并借助完全平方式求出的值，即可求出的关系，并根据，即可求解． 【规范解答】解：设， 由题意及对称性知，图（2）中两部分阴影全等， ∴由两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，知 ∴ 设，则， 则，即 又由完全平方式知， ∴由知，， ∴， 解得，即， 则① 又在中，② 将①代入②，得， 解得（舍） ∴正方形的面积为：． 故选：D． 易错考点10：换元法解一元二次方程 19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【答案】(1)， (2)1或 【思路引导】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把，分别代入原方程求得，于是得到原方程为：，求得，将和代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：， 原方程为：， ， 将和代入第2个方程得，， 解得：，； （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或； 20．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【思路引导】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【规范解答】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 易错考点11：根据判别式判断一元二次方程根的情况 21．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)方程无解． 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用根的判别式判断即可． 【规范解答】（1） 解得，； （2） 解得，； （3） 或 解得，； （4） ，， ∴方程无解． 22．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1) (2) (3)不存在；理由见解析 (4)当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上 【思路引导】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形为矩形； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴，即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【考点剖析】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题． 易错考点12：根据一元二次方程根的情况求参数 23．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)14 (2)，且 【思路引导】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握新定义下的实数运算． （1）根据新定义进行实数的运算即可； （2）根据新定义列出一元二次方程，根据根的判别式列出不等式，然后进行求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：， ∴， 解得，且． 24．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数” ． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程，求的值； (3)若关于的一元二次方程与都是“快乐方程”，且其“快乐数”相等，设，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“快乐方程”、“快乐数”的定义探索、之间的关系. 根据“快乐数”的定义计算，即可得到结果； 因为关于的一元二次方程是“快乐方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知； 整理可得：，可知当，时有最小值，最小值为，又因为两个方程的“快乐数”相等，所以有，整理可得：， 分情况求出、的值，然后根据 的值分情况讨论，即可得到结果. 【规范解答】（1）解： 中，，，， ， 故答案为：； （2）解：关于的一元二次方程是“快乐方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， 或， 当时，， 当时，， 是完全平方数，不是完全平方数， ； （3）解：一元二次方程的快乐数为： ， 一元二次方程的快乐数为： ， 两个方程的快乐数相等， ， 整理得：， 左边分解因式得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 要取最小值， 当，时有最小值，最小值为， 此时，， ， 不符合题意， 当，或，时，有最小值， 最小值为， 当，时， 方程中， 方程中， 是完全平方数， 符合题意； 当，时， 方程中， 方程中 是完全平方数， 符合题意． 的最小值是． 易错考点13：一元二次方程的根与系数的关系 25．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【思路引导】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． 【规范解答】（1）证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 26．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． (1)直接写出不等式的解集是__________； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系及解不等式组，读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案； （2）根据材料，令，根据判别式转化为关于y的一元二次方程，解不等式即可得到代数式的取值范围； （3）根据材料，令根据判别式转化为关于y的不等式根据根与系数的关系，列出方程组，即可得到满足条件的a、b的值． 【规范解答】（1）解：∵ 或 解得：或 ∴不等式的解集是或； （2）解：，令 ∴． ∴． ∴． 令， ，． ∴或 （3）解：令 ， 当时，，且， 存在一个，使得， 当时，有解， ， ， 最小值为，最大值为， ，是方程的解， 或 ∴或 易错考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 27．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【规范解答】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 28．（24-25九年级上·全国·随堂练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，根据每轮传染中平均每人传染了x个人，可得出第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，进而可得出1轮后有个人患了流感，结合“有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入中，可求出经过三轮传染后患病人数． 【规范解答】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人， ∴1轮后有个人患了流感，结论A不符合题意； ∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，结论B不符合题意； 根据题意得：，即，结论C不符合题意； 解得：（不符合题意）， ∴不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，结论D符合题意． 故选：D． 易错考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 29．某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)王先生准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案： ①打折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠? 【答案】(1) (2)方案②更优惠 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． ()设出平均每次下调的百分率为，第一次下调后 的价格为元，第二次下调后的价格为元，根据已知销售价格列方程解答即可． ()分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现更优惠方案即可． 【规范解答】（1）解：设平均每次下调的百分率为， 第一次下调后的价格为元，第二次下调后的价格为元， 根据题意，可列方程： ， ， 当时，， 当时，（下调百分率不能大于，舍去）， 所以，平均每次下调的百分率为． （2）方案①： 住房面积是平方米，开盘均价为每平方米元，打折销售， 那么总房款为：(元) ； 方案②： 不打折，一次性送装修费每平方米元， 那么实际支付款为： (元) ∵， ∴方案②更优惠． 30．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． (1)若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； (2)在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了比例的应用，一元一次不等式组的应用，以及一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据比例的应用列出关于一元一次不等式组，即可得出a的取值范围，再根据a为整数即可得出答案． （2）由（1）可得2018年的总成本，根据2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，列出关于m的一元二次方程求解即可得出答案． 【规范解答】（1）由题意得： 解得： ∵a为整数， ∴； （2）由（1）可得：2018年产品总成本为：(万元)， 则2018年的制造成本为（万元），销售成本为（万元）， 由题意得： 令，则 ∴， 整理得： 解得：，， ∴，（舍去） 则． 易错考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 31．如图①，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条、横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（注意：为了使同学们更好的解答本题，我们提供了一种思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题的解答．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．） 分析：由横、竖彩条宽度比为，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好的寻找题目中的等量关系、将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图2的情况，得到矩形． 结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示： ； ；矩形的面积为 ．列出方程并完成本题的解答． 【答案】；；；每个横、竖彩条的宽度分别为， 【思路引导】本题考查列代数式，一元二次方程解决实际问题，用含的代数式表示出矩形的面积是解题的关键． 因为每个竖彩条的宽为，图中有两个竖条，得到，又每个横彩条的宽为，图中有两个横条，所以，然后用即为矩形的面积，从题中已知可知矩形的面积等于总体面积的，根据题中的等量关系：矩形的面积列出方程求解，再根据条件取值． 【规范解答】解：， ， 矩形的面积为∶， 根据题意，得， 整理，得， 解方程，得 (不合题意，舍去)， 则 每个横、竖彩条的宽度分别为，． 故答案为；； 32．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)3； (2)； (3)不存在，理由见解析； (4)1或3． 【思路引导】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 故答案为：； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【考点剖析】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 易错考点17：数字问题（一元二次方程的应用） 33．（25-26九年级上·全国·课后作业）一般我们记．例如：，．如果，那么x的值为（   ） A．5或4 B．或4 C．5或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了定义新运算，解一元二次方程，先根据新定义得出方程，再求出解即可． 【规范解答】解：， ， ， 即， 或， 解得，． 故选：C． 34．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【思路引导】本题考查了定义新运算、绝对值的性质、一元二次方程的应用，理解“差绝对值运算”的定义是解题的关键．根据“差绝对值运算”的定义及绝对值的性质，对题目中的说法逐项计算即可判断求解． 【规范解答】解： ，故说法①错误； ， 当时，的值最小，最小值为， 对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为，故说法②正确； ， ，， ， 由题意得，， 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或，故③错误； 综上所述，其中正确的是②，个数是1． 故选：C． 易错考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 35．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个． (1)求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率； (2)从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． /元 3 6 /个 460 520 若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？ 【答案】(1)该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为 (2)每个钥匙扣应降价8元 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意易得，然后进行求解即可； （2）由表格先得出月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式，然后再根据题意可得方程，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：设该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为m，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为，由表格得： ， 解得：， ∴月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间的函数关系式为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：每个钥匙扣应降价8元． 36．（25-26九年级上·重庆·开学考试）年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 【答案】(1)普通票每张为元，票的每张为元 (2) 【思路引导】本题考查分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设普通票的每张为元，则票的每张为元，根据用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）由题意先表示出第二天普通票和票的单价和销量，再根据第二天总销售额比首日少了元，列出一元二次方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：设普通票的每张为元，则票的每张为元，， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则元， 答：普通票每张为元，票的每张为元； （2）解：， ， ，（舍）， 答：的值为． 易错考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 37．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)经过或后、两点之间的距离是 (2)经过秒或秒的面积为． 【思路引导】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键． （1）如图，过点P作于E，设x秒后，利用勾股定理得出即可． （2）分类讨论：①当点P在上时；②当点P在边上；③当点P在边上时，根据面积列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得： ，即， ∴， ∴，； ∴经过或后、两点之间的距离是； （2）连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为． 38．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在为等腰三角形，值为或或. 【思路引导】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可. 【规范解答】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得， 故答案为： （2）当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或. （3）如图，连接，作于点E，则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 综上可知，值为或或. 【考点剖析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分情况讨论是解题的关键. 易错考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 39．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 40．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 (2)物业管理公司实际购买两种树共56棵 【思路引导】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案． （2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到 方程式求出满足条件的值，即可得出答案． 【规范解答】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵， 根据题意，可得， 解得，． 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵． （2）根据题意，可得 ， 整理得，， 解得：，， ∵，∴， ∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 【考点剖析】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键． 易错考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 41．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 42．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒 【思路引导】（1）由图可知，甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与时间的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程； （2）由图可知，甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与时间的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值； （3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值． 【规范解答】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； （2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； （3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 【考点剖析】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 易错考点22：图表信息题（一元二次方程的应用） 43．（21-22九年级上·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【思路引导】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【规范解答】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【考点剖析】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 44．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析; 【思路引导】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可； 【规范解答】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 易错考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 45．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用（万元）与与成正比例，比例系数为，内部设备费用（万元）与成正比例，比例系数；. (1)直接写出与x之间的关系式：________________； _____________________ (2)若种植公顷蔬菜需种子，化肥农药的开支万元，收获的蔬菜年均可卖万元．某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜，希望当年获得万元的收益（扣除修建和种植成本），请你帮他估算应该修建多少公顷的大棚？ (3)在（）条件下、除种子、化肥、农药的开支需要每年支出外，其他设施三年内都不需要增加投资，并可以继续使用，请你帮他计算三年的纯收益共有多少万元？ 【答案】(1)； (2)公顷 (3)万元 【思路引导】（）根据成正比例的定义列出函数式即可； （）根据题意列出方程求出的值，进而结合资金不超过万元解答即可求解； （）根据（）的结果列出算式计算即可求解； 本题考查了列函数式，一元二次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜， ∴， 整理得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； ∴， 答：应该修建公顷的大棚； （3）解：万元， 答：他三年的纯收益共有万元． 46．（2025·重庆·模拟预测）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 【答案】(1)种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元 (2)5 【思路引导】此题主要考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键． （1）设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元，利用文具店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的，列出方程求出答案； （2）根据总花费元，列出方程解答即可． 【规范解答】（1）解：设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元， 由题意得，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元； （2）解：第一次购进种羽毛球拍（副）， 第一次购进种羽毛球拍（副）， 根据题意可得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 答：的值为5． 易错考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 47．（24-25八年级下·山东淄博·期末）列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】材料一：共有30支队伍参赛；材料二： 【思路引导】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用． 材料一：设共有支队伍参赛，根据赛程安排3天，每天安排145场比赛，建立一元二次方程求解即可； 材料二：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【规范解答】材料一：解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 材料二：解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得：， 整理得：， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：松延动力机器人的平均速度是． 48．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 易错考点25：解分式方程（化为一元二次方程) 49．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)原分式方程无实数解 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程及可化成一元二次方程的分式方程，熟练掌握用适当的方法解一元二次方程，解分式方程，是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用解分式方程的步骤解答即可．解分式方程的一般步骤是，去分母化简得到整式方程，解得到的整式方程，检验． 【规范解答】（1）解：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：原方程移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得： ，； （3）解：原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵， ∴该一元二次方程无实数根， 故原分式方程无实数解． 50．（2025·北京·模拟预测）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统的巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航道比走巴拿马运河航线每天多走200公里．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】1000公里 【思路引导】本题考查了分式方程在行程问题中的应用，涉及路程，速度和时间这三个行程问题的基本量，解决本题的关键是由“节省10天”这一条件建立分式方程． 先设出巴拿马运河航线每天能走的公里数为未知数，根据“时间=路程速度”这一关系分别表示出巴拿马运河航线和北极航道所需的时间，然后由时间差列方程求解即可． 【规范解答】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里， ， 解得，（舍）， 经检验，是原方程的解， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程（易错题考点集训） 【25个高频易错考点 共50题】 易错考点01：由一元二次方程的定义求参数 2 易错考点02：判断是否是—元二次方程的解 2 易错考点03：由一元二次方程的解求参数 2 易错考点04：—元二次方程的解的估算 3 易错考点05：解一元二次方程-直接开平方法 3 易错考点06：解一元二次方程-配方法 4 易错考点07：配方法的应用 5 易错考点08：公式法解一元二次方程 6 易错考点09：因式分解法解一元二次方程 7 易错考点10：换元法解一元二次方程 8 易错考点11：根据判别式判断一元二次方程根的情况 9 易错考点12：根据一元二次方程根的情况求参数 10 易错考点13：一元二次方程的根与系数的关系 11 易错考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 12 易错考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 12 易错考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 14 易错考点17：数字问题（一元二次方程的应用） 16 易错考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 16 易错考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 18 易错考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 19 易错考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 20 易错考点22：图表信息题（一元二次方程的应用） 22 易错考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 24 易错考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 25 易错考点25：解分式方程（化为一元二次方程) 26 易错考点01：由一元二次方程的定义求参数 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 易错考点02：判断是否是—元二次方程的解 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 易错考点03：由一元二次方程的解求参数 4．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）已知是方程的一个根，试求的值． 5．（2024九年级上·湖南怀化·竞赛）若、为整数，方程有一个根为，则 ． 易错考点04：—元二次方程的解的估算 7．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A． B． C． D． 易错考点05：解一元二次方程-直接开平方法 9．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）解方程： (1) (2) (3) (4) 10．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）用适当的方法解下列方程． (1) (2) (4) (4) (5)（配方法） (6)（配方法） (7)（公式法） (8)（公式法） 易错考点06：解一元二次方程-配方法 11．（25-26九年级上·辽宁丹东·开学考试）解方程． (1)（配方法）． (2)（公式法）． (3) （因式分解法）． 12．（24-25八年级下·重庆长寿·期末）如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)x轴上存在点D，使得，求点D的坐标； (3)在第一象限内是否存在一点使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 易错考点07：配方法的应用 13．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若． _______， _______． （2）当_______时，代数式有最小值，最小值是_______． （3）如图，中，，点M,N分别是线段和上的动点，点M从A点出发以的速度向C点运动；同时点N从C点出发以的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 14．（24-25九年级下·全国·假期作业）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 易错考点08：公式法解一元二次方程 15．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (4) ； (4)． 16．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）定义：在四边形中，如果有两个相邻的内角是直角，并且有两条相邻的边相等，则称该四边形为邻等四边形．其中，两条相等邻边的夹角称为邻等角．例如，如图1，在四边形中，已知，，则四边形是一个邻等四边形，其中是邻等角． (1)下列图形一定是邻等四边形的是 ．（填序号） ①平行四边形  ②菱形  ③矩形   ④正方形 (2)如图2，在四边形中，，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． (3)如图3，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． (4)如图4，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，，求四边形的周长． 易错考点09：因式分解法解一元二次方程 17．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）解方程： （1） ； （2）． 18．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（、分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形的面积为（    ） A．25 B．64 C．100 D．169 易错考点10：换元法解一元二次方程 19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 20．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 易错考点11：根据判别式判断一元二次方程根的情况 21．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）解方程 (1)； (2)； (3) ； (4)． 22．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当______时，四边形是矩形； (2)当______时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 易错考点12：根据一元二次方程根的情况求参数 23．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 24．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数” ． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程，求的值； (3)若关于的一元二次方程与都是“快乐方程”，且其“快乐数”相等，设，求的最小值． 易错考点13：一元二次方程的根与系数的关系 25．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的一元二次方程． (1)证明：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 26．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． (1)直接写出不等式的解集是__________； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 易错考点14：传播问题（一元二次方程的应用） 27．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 28．（24-25九年级上·全国·随堂练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 易错考点15：增长率问题（一元二次方程的应用） 29．某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)王先生准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案： ①打折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠? 30．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． (1)若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； (2)在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 易错考点16：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 31．（20-21九年级上·山西晋城·期末）如图①，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条、横、竖彩条的宽度比为，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？（注意：为了使同学们更好的解答本题，我们提供了一种思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题的解答．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．） 分析：由横、竖彩条宽度比为，可设每个横彩条的宽为，则每个竖彩条的宽为．为更好的寻找题目中的等量关系、将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图2的情况，得到矩形． 结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示： ； ；矩形的面积为 ．列出方程并完成本题的解答． 32．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 易错考点17：数字问题（一元二次方程的应用） 33．（25-26九年级上·全国·课后作业）一般我们记．例如：，．如果，那么x的值为（   ） A．5或4 B．或4 C．5或 D．或 34．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 易错考点18：营销问题（一元二次方程的应用） 35．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）2024年第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，中国运动健儿们取得了40金27银24铜的好成绩，向全世界展现了中国拼搏向上的民族精神．除此之外还值得我们骄傲的是“中国制造”在巴黎奥运会大放异彩，其中的奥运相关设备、器材、纪念品、吉祥物都是由中国企业生产，并授权奥运会的吉祥物“弗里热”从6月份开始在中国销售．某商店以每个35元的价格购进一款“弗里热”钥匙扣，以每个58元的价格出售．经统计：6月份的销售量为256个，8月份的销售量为400个． (1)求该款钥匙扣从6月份到8月份销售量的月平均增长率； (2)从9月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量（个）与每个钥匙扣降价（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示． /元 3 6 /个 460 520 若商店希望每月销售这款钥匙扣所获得的利润是8400元．则每个钥匙扣应降价多少元？ 36．（25-26九年级上·重庆·开学考试）年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张票便宜元，用元买的普通票的数量与用元买的票的数量相同． (1)求普通票与VIP票的单价分别是多少元； (2)据统计，音乐节首日普通票销量是张，票销量是张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了元，求m的值． 易错考点19：动态几何问题（一元二次方程的应用） 37．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 38．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 易错考点20：工程问题（一元二次方程的应用） 39．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 40．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 易错考点21：行程问题（一元二次方程的应用） 41．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 42．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 易错考点22：图表信息题（一元二次方程的应用） 43．（21-22九年级上·山西吕梁·期中）请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 44．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 易错考点23：其他问题（一元二次方程的应用） 45．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径．经市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用（万元）与与成正比例，比例系数为，内部设备费用（万元）与成正比例，比例系数；. (1)直接写出与x之间的关系式：________________； _____________________ (2)若种植公顷蔬菜需种子，化肥农药的开支万元，收获的蔬菜年均可卖万元．某农户准备用不超过万元的资金来种植大棚蔬菜，希望当年获得万元的收益（扣除修建和种植成本），请你帮他估算应该修建多少公顷的大棚？ (3)在（）条件下、除种子、化肥、农药的开支需要每年支出外，其他设施三年内都不需要增加投资，并可以继续使用，请你帮他计算三年的纯收益共有多少万元？ 46．（2025·重庆·模拟预测）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的． (1)求两种羽毛球拍每副的进价； (2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值． 易错考点24：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 47．（24-25八年级下·山东淄博·期末）列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 48．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 易错考点25：解分式方程（化为一元二次方程) 49．（2023九年级上·湖南邵阳·竞赛）解方程： (1)； (2)； (3)． 50．（2025·北京·模拟预测）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统的巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航道比走巴拿马运河航线每天多走200公里．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 学科网（北京）股份有限公司 $