2.2 简单的轴对称图形（第4课时）（教学课件）数学鲁教版五四制2024七年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形判定、等边三角形判定及含30°角直角三角形性质，通过复习等腰三角形性质引入新知，以“性质反过来是否成立”设问搭建支架，衔接旧知与探究。 其亮点在于以问题链驱动探究，如拼图验证含30°角直角三角形性质培养数学眼光，严谨证明等边三角形两种判定情况发展数学思维，符号语言规范表述及实例应用强化数学语言。学生能提升推理与几何直观，教师可借助分层练习高效教学。

2.2 简单的轴对称图形 第4课时 第二章 轴对称 鲁教版五四制2024·七年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解和掌握等腰三角形的判定方法并会应用判定方法进行简单的证明． 探究并证明等边三角形的判定方法. 探索含 30°角的直角三角形的性质. 等腰三角形的分类： 知识回顾 一般的等腰三角形，等边三角形 等腰三角形的性质定理： 1. 等腰三角形是轴对称图形。 2. 等腰三角形底边上的高，中线及顶角平分线重合，简称”三线合一“。 3. 等腰三角形的两底角相等。简称“等边对等角”。 4. 等边三角形的三个内角相等，且都等于60°。 如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等吗？ 【验证】： 已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）． 求证：AB=AC． 答：相等． 新知探究 知识点1：等腰三角形的判定 C A B 2 1 D （ （ ∵AD⊥BC， 作△ABC边上的高AD. 证明： ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵∠B＝∠C. ∴△ABD≌△ACD(AAS)． ∴AB＝AC. 等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成：“等角对等边”）． 新知生成 方法总结 符号语言： 这又是一个判断两条线段相等的依据之一。 知识点1：等腰三角形的判定 B C A ( ( ∴ AC=AB. ( ) 即△ABC为等腰三角形. ∵∠B=∠C， ( ) 已知 等角对等边 在△ABC中， （1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是什么三角形？为什么？ 新知探究 知识点2：等边三角形的判定 【验证】： 已知：在△ABC中， ∠A=∠B=∠C（如图）． 求证：AB=AC=BC． 答：等边三角形． A B C 证明：∵ ∠A= ∠B, ∴ AC=BC. ∵ ∠B=∠C, ∴ AB=AC. ∴AB=AC=BC. （2）如果一个等腰三角形有一个角为60°，那么这个三角形是什么三角形？为什么？ 新知探究 知识点2：等边三角形的判定 【验证】： 已知：若AB=AC，∠A=60°． 求证：AB=AC=BC． 答：等边三角形． A B C 证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °. ∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)= 60°. ∴∠A=∠B=∠C. ∴AB=AC=BC. 证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？ 证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知), ∴∠C=∠B=60°(等边对等角)， ∴∠A=60°(三角形内角和定理)． ∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°． 求证:△ABC是等边三角形． 第二种情况：有一个底角是60°. A C B 60° 【验证】 新知探究 知识点2：等边三角形的判定 等边三角形的判定方法： 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 新知生成 知识点2：等边三角形的判定 如图，将两个大小相同的含30° 角的三角尺摆放在一起，所拼成的△ABD是什么三角形？你能借助这个图形，找到 Rt△ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？ A B C D A' C' 新知探究 知识点3：含30°角的直角三角形的性质 A B C D 如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形， 因此 AB = AD，∠BAD = 2×30° = 60°， 从而△ABD 是一个等边三角形. 再由 AC⊥BD， 可得 BC = CD = BD = AB. 新知探究 知识点3：含30°角的直角三角形的性质 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 新知生成 符号语言： 知识点3：含30°角的直角三角形的性质 A B C ) 30° 在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°， ∴ BC = AB. 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD. B A D C 证明：∵ AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC ∵ BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC ∴∠ABD=∠ADB ∴AB=AD 典例分析 (1) 直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边 的一半. (2) 三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半. (3) 直角三角形中最小的直角边是斜边的一半. (4) 含 30° 锐角的直角三角形的斜边是最短边的 2 倍. √ 判一判 课堂练习 等边三角形的性质与判定 题型一 题型探究 C 【例1】在△ABC中，AB＝AC＝BC，则∠A的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60° 等边三角形的性质与判定 题型一 题型探究 D 【例2】如图，△ABD是等边三角形，BC＝BD，∠BAC＝20°，则∠CBD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【解答】解：∵△ABD是等边三角形，BC＝BD． ∴AB＝BC．∠ABD＝60°． ∵∠BAC＝20°． ∴∠ABC＝180°﹣2∠BAC＝140°． ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝140°﹣60°＝80°． 等边三角形的性质与判定 题型一 题型探究 D 【例3】下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意． D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意． 题型探究 解题感悟 例1主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 例2考查等边三角形性质和等腰三角形性质，利用三角形内角和知识求解．找到等腰三角形，利用三角形内角和180°是关键，属于基础题． 例3主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题． （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 等边三角形的性质与判定 题型一 题型探究 含30°角的直角三角形的性质 题型二 【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2cm，则BC的长等于（　　） A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm 【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝120°， ∵AB⊥AD，AD＝2cm， ∴∠BAD＝90°，BD＝2AD＝4cm， ∴∠DAC＝120°﹣90°＝30°， ∴AD＝CD＝2cm， ∴CB＝DB+CD＝6cm． B 题型探究 含30°角的直角三角形的性质 题型二 【例5】5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（　　） 【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D， 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°， 又∵AD⊥BC， ∴ADAB12＝6（m）， A．4m B．6m C．10m D．12m B 题型探究 解题感悟 例4主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，解决问题的关键是理清角之间的关系，进而得到线段之间的关系． 例5考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半． 含30°角的直角三角形的性质 题型二 课堂达标 方法技巧 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 1.如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为AB边上任意一点，过点D作DE∥AC，交BC于点E．△DBE是等腰三角形吗？说说你的理由． 解：△DBE是等腰三角形， 理由：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE∥AC， ∴∠C＝∠DEB， ∴∠B＝∠DEB， ∴DE＝DB， ∴△DBE是等腰三角形． 课堂达标 方法技巧 本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，掌握等腰三角形的性质以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是正确解答的前提． 2．在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC边延长线上的一点，并且CD＝CA，∠ADC＝15°，试说明AB与CD的大小关系． 解：ABCD，理由如下： ∵CD＝CA，∠ADC＝15°， ∴∠CAD＝∠ADC＝15°， ∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝30°， 在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°， ∴ABACCD． 能力提升 2 1．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　 　 cm． 方法技巧 题主要是考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，能够得出AB＝BC是解答此题的关键． 【解答】解：∵直尺的两对边相互平行， ∴∠ACB＝∠α＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）． 等腰三角形的判定 等边三角形的判定 含30°角的直角三角形的性质 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成：“等角对等边”）． 三个角都相等的三角形是等边三角形 在直角三角形中，如果一锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 课堂小结 简单的轴对称图形 感谢聆听! $