专题03 数轴动点问题（6种类型48道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版七年级上册

专题03 数轴动点问题（6种类型48道） 地 城 类型01 动点定值问题 1．阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是，，，A到C的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空：__________，__________； (2)现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，求P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【答案】(1)10；16 (2) (3)D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离及数轴上动点问题： （1）根据数轴上两点间的计算方法可得解； （2）分类讨论：当P、Q两点相遇前和当P、Q两点相遇后，根据的长度为数量关系可得解； （3）分类讨论：当点D从原点向左运动时；当点D从原点向右运动时；根据的值始终是一个定值，即t的系数为0时，得出m的值，根据可得解； 利用数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴得： ，， 故答案为：10；16． （2）当P、Q两点相遇时，由题意得： ， 解得：（秒）， 分两种情况： 当P、Q两点相遇前： ， 当P、Q两点相遇后： ， 综上所述，． （3）当点D从原点向左运动时： ， 的值始终是一个定值， ， 解得：； 当点D从原点向右运动时： ， 的值始终是一个定值， ， 解得：； ， 此情况不存在， 综上所述，D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 2．如图，数轴上点A，（点A在点左边）所对应的数，满足．P为数轴上一动点，其对应的数为，为原点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，当点P在线段的延长线上运动时，的值是否为定值（即确定的值，不因点P位置的变化而变化）？如是，请求出这个定值；如不是，也请说明理由． 【答案】(1)6或4． (2)或 (3)是定值，定值为2 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用．要分类讨论是解题关键． （1）由非负数的性质求出a、b的值，再根据两点距离公式，由，列出方程，求解即可． （2）分两种情况，当点在A，两点之间时，当点在的左边时，根据两点距离公式，由，列出方程求解即可． （3）根据点为线段的中点，得点对应的数为1，则，从而求得，代入计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 所以，． 由题意得：＝1， 所以，或4． （2）解：当点在A，两点之间时， ，解得． 当点在A的左边时， ，解得． 所以，或． （3）解：的值为定值． 因为点为线段的中点， 所以点对应的数为，则 所以， 所以． 3．已知点A在数轴上表示的数为a，点B表示的数为b. (1)若a，b满足，求线段的长； (2)在（1）的条件下，若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒，当点P与点Q相距4个单位长度时，求t的值； (3)若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒b个单位长度的速度也向右匀速运动，设运动t秒后，点P表示的数为m，点Q表示的数为n.是否存在有理数a和b，使得无论t为何值，代数式为定值3，若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)７ (2)或 (3)存在，， 【分析】（1）根据偶次方以及绝对值的非负性可得答案； （2）分相遇前相距4个单位长度以及相遇后相距4个单位长度列方程求解即可； （3）根据题意可得，，根据若无论t为何值，等式恒成立，可得，整理得，则，，求解即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∴线段的长为个单位长度； （2）点P表示，点Q表示， 当P在Q左侧且相距4个单位长度时，则，解得：； 当P在Q右侧且相距4个单位长度时，则，解得：. 综上所述：当点P与点Q相距4个单位长度时，t的值为或； （3）依题意得：，， ∵无论t为何值，，即， 整理得：， ∴，， 解得：，， ∴存在，时，无论t为何值，代数式为定值3 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上表示有理数，绝对值的非负性，一元一次方程的应用等知识点，读懂题意，根据题意表示出移动后P，Q表示的有理数是解本题的关键． 4．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且．动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P运动时间为t秒    (1)填空： ； ；的距离为 ； (2)点P运动多少秒后，成立？ (3)当点P在A，B之间运动时，如果点M为的中点，请你探究式子是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由 【答案】(1)8，，14 (2)点P运动秒或7秒时，； (3)当时，为定值，该定值为2． 【分析】（1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用数轴上两点之间的距离公式即可求得的距离； （2）设运动时间为t秒，可得，，即有，从而解得或，即可得到答案； （3）运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，可以表示出中点M所表示的数为，再分类讨论，当时，当时，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵． ∴，， ∴点A表示的数为8，点B表示的数为， ∴， 故答案为：8，，14； （2）解：设运动时间为t秒，则运动后Q表示的数是，点P表示的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得或； 答：点P运动秒或7秒时，； （3）解：运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，则中点M所表示的数为， ∴， ∴当时， ； 当时， ， ∴当时，为定值，该定值为2． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数． 5．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①几秒时，点P与点Q距离6个单位长度？ ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①8秒或20秒时，点P与点Q距离6个单位长度；②存在，当n的值为4时，使得在运动过程中，的值是定值，定值为34. 【分析】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点问题； （1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）设运动时间为t秒，P表示的数为，Q表示的数为， ①根据点P与点Q距离6个单位长度得，即可求解； ②R表示的数是，可表示出，，，即得，当时，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴ 解得： （2）解：①运动时间为t秒，P表示的数为，Q表示的数为， ∵点P与点Q距离6个单位长度， ∴ 解得：或， ∴8秒或20秒时，点P与点Q距离6个单位长度； 解：②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值， R表示的数是， ∵， ∴，， ∴ 当，即时， 的值为34， n的值为4时，的值是定值，定值为34； 6．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5 (2)①②当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； ②根据题意得R表示的数是，故，当时，，可得时，为定值59；当时，，故时，为定值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：，5； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：； ②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值，理由如下： 根据题意得R表示的数是， ∴， ∴， 当时，， ∴时，为定值59； 当时，， ∴时，为定值； 综上所述，当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为． 7．在数轴上A，B，C点分别表示数a，b， c，且b最大的负整数，．    (1) ， ， ； (2)若A、B、C为数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C以分别每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，设点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为 ①若，求t的值？ ②是否存在常数m，使得的值是个定值？如果存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；5 (2)①；②存在； 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得a，c的值，再根据b最大的负整数进而可求解． （2）①由（1）得：A表示的有理数为，B表示的有理数为，C表示的有理数为5，进而可得，，当时，进而可求解． ②化简，要使为定值，即的系数为0，进而可求解． 【详解】（1）解：由得： ，即：， ，即：， b是最大的负整数， ， 故答案为：；；5． （2）①由（1）得：A表示的有理数为，B表示的有理数为，C表示的有理数为5， 则：，， 当时，即：， 解得： ②存在，理由如下： 由题意得： ， 当的值是个定值时，即， 解得：， 则为定值． 【点睛】本题考查了绝对值与平方的非负性、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数及列代数式，解题的关键是利用数轴表示两点间的距离． 8．如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧．已知a，b满足，则：    (1)______，______． (2)若动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒． ①当t为何值时，P、Q两点重合？ ②当t为何值时，P、Q两点相距8个单位长度？ ③如图2，点M是的中点，在点P、Q同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由．    【答案】(1) (2)①②或③是定值，理由见解析 【分析】（1）非负性求出的值即可； （2）①根据相遇时，点移动的距离等于点移动的距离加上的距离，列出方程即可； ②表示出的距离，列出方程进行求解即可； ③表示出，的距离，相减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， 由题意，得：， 解得：； ②由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴或； ③是定值，理由如下： ∵点表示的数为，为的中点， ∴表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴为定值． 【点睛】本题考查非负性，两点间的距离，一元一次方程的应用，整式的加减运算．熟练掌握两点间的距离公式，正确的列出方程和代数式，是解题的关键． 9．如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，．地 城 类型02 动点最值问题 (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【答案】(1) (2)10或8 (3)的最小值是7，此时 (4) 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对是解题是关键． （1）求出，，4的绝对值，比较即可解答； （2）分和，两种情况，利用两点间距离公式计算即可； （3）根据绝对值的几何意义求解即可； （4）根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：，， 在，，4这三个数中，绝对值最小的数是； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时，求的值为8或10； （3）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，，4的三点的距离之和， 只有当表示的数与点B重合时，距离之和才最小为点A和点C之间的距离为：， 此时：； （4）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，4的两点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小，最小距离为； 同理，的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，5的两点的距离之和， 只有当表示的数在点A点P之间时（包含点A，点P），距离之和才最小，最小距离为； 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示,，4，5的四点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小， 最小距离为：； 此时：． 10．设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上， ①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，， ①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 【答案】(1)①0，2；②或 (2)①4；②的最小值为2，此时或． 【分析】本题主要考查了列式计算、取绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）①根据对称指标的定义即可解答；②根据对称指标的定义列绝对值方程求解即可； （2）①先根据已知条件确定n的值，再根据线段关于点A的对称指标的定求解即可；②分；；三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：0，2； ②∵， ∴，即， ∴，解得：或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：①∵，，， ∴，解得：， 设B为上一点，记为， ∴， ∴， ∴当时，即时，有最大值4， ∴， ②根据题意，得， 当5位于线段的中点时，的值最小， 当时，， ∴， ∴； 当时，，，此时无法取最小值，故舍去； 当时，， ∴， 综上， 的最小值为2，此时或． 11．如图，O为数轴的原点，，，O为的中点，C为的中点． (1)求的长度； (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t满足什么条件时，有最小值，并求出该最小值． 【答案】(1)1 (2)当，有最小值，最小值为． 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算： （1）先根据线段中点的定义得到，进而得到，再由线段中点的定义得到，则； （2）由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为，则运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t，根据两点距离计算公式得到，，则，由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和，故当时，的值最小，即此时的值最小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为， ∴运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t， ∴，， ∴， 由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和， ∴当时，的值最小，即此时的值最小， ∴当，有最小值，最小值为． 12．已知点A在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，，且，A、之间的距离为或，请回答问题： (1)请直接写出 ， ， ； (2)设点在数轴上对应的数为，且，求的值； (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数是． ①若，求的值； ②求的最小值，并写出此时整数的值． 【答案】(1)；2；5 (2)10或0 (3)①或；②，0，1，2，3，4 【分析】（1）先根据绝对值的非负性求出a、b的值，再根据两点间的距离公式求解； （2）分类讨论解方程即可； （3）①先根据x的范围去掉绝对值符号，再解方程即可； ②根据点M、点N之间时，最小，求出此时整数的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴A、B间的距离为， 故答案为：； （2）解：                                                                         当时，，则； 当时，，则； 10或0． （3）解：①当点在点左侧时，， ∴， ； 当点在点右侧时，， ， ∴， ； 综上所述，或． ②当点在点、之间时，， 的最小值为； 此时，，0，1，2，3，4． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值方程，数轴上点表示有理数，利用数形结合，方程思想解决问题是解本题的关键． 13．点在数轴上表示的数分别为，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为_________，的值为_________，的值为_________． (2)若数轴上有三个动点，分别从点开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度． 其中点向左运动，点向右运动，点先向左运动，遇到点后回头再向右运动，遇到点后又回头再向左运动，…，这样直到点遇到点时三点都停止运动，求点所走的路程； (3)已知点为数轴上一点，它表示的数为，求的最小值，并写出此时的取值． 【答案】(1) (2)52.5 (3)78，． 【分析】本题综合考查了多项式、动点在数轴上的表示的数及线段长之间的关系等问题，综合性较强，难度较大． （1）利用非负数的性质求出b与c的值，根据多项式为五次四项式求出a的值； （2）由题意求出点P遇到点M的时间，也就是点N的运动时间，首先求出的距离，设相遇时间为t，分别表示出两点行驶的距离，建立方程解决问题即可； （3）分四种情况化简式子，可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵多项式是五次四项式， 故答案为：； （2）点P，M相遇时间， 点所走路程：（单位长度）． 故点所走的路程为52.5单位长度． （3）将代入， 可得 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， ∴当时，的最小值为78． 14．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为（a为定值，且），C为数轴上异于点A的一点，且到原点O的距离与点A到原点O的距离相等． (1)请在图中标出原点O与点C． ​ (2)点A到点C的距离为 ．（用含a的式子表示） (3)P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①当P是B，C之间的一动点时，点P到点B、点C的距离之和是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． ②设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A这一运动过程中，若S的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①当P是B，C之间的一动点时，点B、点C的距离之和为定值，定值是；② 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点间的距离及数轴上动点问题： （1）依据题干要求画出图形即可； （2）利用点A对应的数字减去点C对应的数字解答即可； （3）①利用点P，A，B对应的数字求得P到点 B、点C的距离之和即可得出结论； ②利用点P，A，B，C对应的数字求得点P到A、B、C三点的距离之和为S，结合图形求得S的最大值，最小值，再代入运算即可． 利用数轴上是点对应的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为，点C到原点O的距离与点A到原点O的距离相等， ∴点C对应的数字为， ∴在图中标出原点O与点C的位置如图： （2）点A到点C的距离为． 故答案为：． （3）①当P是B，C之间的一动点时，点B、点C的距离之和为定值． 理由： ∵P是B，C之间的一动点， ， ，， ． ∴当P是B，C之间的一动点时，点B、点C的距离之和为定值； ②∵动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A， ， ∵A，B两点表示的数分别为，点C对应的数字为， ，， ∵点P到A、B、C三点的距离之和为S， ． ∵动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A， ∴当点P与点B重合时，， ． 当点P与点A重合时，， ， ． 15．如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)①3；②最大值17，最小值10． 【分析】（1）若以为原点，确定，计算即可； （2）若以为原点，确定，计算即可； （3）①分点在两点之间和点在两点之间两种情况讨论即可； ②分点P在不同的位置进行讨论即可； 【详解】（1）若以为原点，则 ， ； （2）若以为原点，则， ； （3）①当点在两点之间时，为定值，此时； 当点在两点之间时，两点之间的距离大于，即大于3，故的最小值是3； ②当点在点时，； 当点在点时，； 当点在点时，； 当点在两点之间时，； 当点在两点之间时； 故最大值17，最小值10． 【点睛】该题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是进行分类讨论． 16．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、6，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ (4)借助于此数轴，若，则的最小值为______． 【答案】(1)2 (2)存在，x的值为或7 (3)或 (4) 【分析】（1）点P到点A、点B的距离相等，可知点P是线段的中点，而A、B对应的数分别为、6，根据数轴即可确定点P对应的数； （2）分两种情况讨论，①当点P在点A左边时，②点P在点B右边时，分别求出x的值即可； （3）分两种情况讨论，①当点A在点B左边两点相距3个单位时，②当点A在点B右边两点相距3个单位时，分别求出时间，然后求出点P对应的数即可； （4）由绝对值的几何意义可知：当，时，， ，满足，因此x取最小值，y取最大值时取小值． 【详解】（1）解：点P到点A、点B的距离相等， 点P是线段的中点， 点A、B对应的数分别为、6， 点P对应的数为； （2）解：①当点P在点A左边时，， 解得； ②点P在B点右边时，， 解得， 即当x的值为或7时，满足点P到点A、点B的距离之和为10； （3）解：①当点A在点B左边两点相距3个单位时，此时需要的时间为t， 则， 解得， 则点P对应的数为：； ②当点A在点B右边两点相距3个单位时，此时需要的时间为t， 则， 解得， 则点P对应的数为：， 综上：当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是或； （4）解：由绝对值的几何意义可知：当，时， ，，满足， 当，时，取最小值，最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，涉及数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用等，解题的关键是掌握绝对值的几何意义，熟练运用分类讨论思想． 17．如图，点O是数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足．地 城 类型03 动点变速问题 (1)点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)动点P、Q分别从点A和点O同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，点Q运动到点B后立即沿射线的方向以原速度运动，点P、Q在点C的位置相遇，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，若从点P、Q相遇开始，动点N从点O出发以每秒0．5个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q的速度变为每秒个单位长度，点P的速度不变，设动点N运动的时间为t秒，求当t为何值，点P刚好是线段的一个三等分点，并直接写出此时点N所表示的数． 【答案】(1)，4 (2) (3)点N表示的数为或 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （2）易得，设经过x秒后，点P和点Q相遇，根据相遇时，两点的路程和等于，列出方程求出x的值，即可得出点C表示的数； （3）根据题意得出，，，然后进行分类讨论：①当时， ②当时． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：，4； （2）解：∵， ∴， 设经过x秒后，点P和点Q相遇， ， 解得：， ∴点C表示的数为； （3）解：根据题意可得：点P表示的数为，点Q表示的数为，点N表示的数为， ，，， ①当时，， 解得：， ∴点N表示的数为； ②当时，， 解得：， ∴点N表示的数为； 综上：点N表示的数为或． 18．数轴上点对应的数分别为，其中满足，点为数轴上一动点． (1)______，______； (2)若点到点的距离之和为55，求点对应的数； (3)若点从点以2个单位每秒的速度向点运动，到达点后立即掉头，速度变为原来的3倍，当点运动3秒后，点与点同时出发，点从点以1个单位每秒的速度向左运动，点以5个单位每秒的速度从表示10的点处向左出发，当点与点相遇后，点的速度变为原来的2倍，并继续向左运动，直到点追上点后所有点停止运动．求点运动多少秒时． 【答案】(1)， (2)点对应的数为或； (3)点运动秒时． 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求解即可； （2）设点对应的数为，分点在点的左侧，点在点的右侧时，两种情况讨论，根据题意列式求解即可； （3）先求得点Q到达点B与点P相遇；得到点P运动7秒后，从B向A以6的个单位每秒运动，同时点Q以10的个单位每秒从B继续向左运动，点T从表示的点以1的个单位每秒继续向左运动，设点P运动7秒后，又运动了秒，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：设点对应的数为， ， 当点在点的左侧时， 则，， 依题意得， 解得； 当点在点的右侧时， 则，， 依题意得， 解得； 综上，点对应的数为或； （3）解：点P从点A到点B用时秒， 此时，点Q运动秒，，即点Q到达点B与点P相遇； 此时点T运动秒，，即点T到达表示的点； 此时点P的运动速度为个单位每秒，点Q的运动速度为个单位每秒， 即点P运动7秒后，从B向A以6的个单位每秒运动，同时点Q以10的个单位每秒从B继续向左运动，点T从表示的点以1的个单位每秒继续向左运动， 设点P运动7秒后，又运动了秒， 则点P表示的数为，点Q表示的数为，点T表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得， 点追上点，则，解得，则符合题意， 秒， 故点运动秒时． 【点睛】本题考查数轴、绝对值、一元一次方程等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 19．如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： _____， _____， _____； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值： (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为_____． 【答案】(1)，， (2)①，② (3) 【分析】（1）由可得：，，从而可求出、，再根据点到原点距离是点到原点距离的倍，可求出； （2）①把，用含有的式子表达，根据列出关于的方程即可求解； ②先把、的长度分别用含有的式子表达，然后再用含有的式子表达出，由的值始终保持不变，可令，分别得出的值，最后列出关于的一元一次方程即可求解； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点到原点距离是点到原点距离的倍，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①由（1）可知，，，， ∴点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是， ，， ， ， ； ②已知点以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动，以每秒个单位长度向左运动， ，， ， 第一种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ， ； 第二种情况：当时，， 令时，；令时，； 的值始终保持不变， ∴， 解得，； ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． （3）解：点表示的数为，以每秒个单位长度的速度沿正方向运动至点， ∴移动后的数表示为：，当点移动至点时，， ∴， 根据题意可知、、， ∴当点运动到点时，；运动到点时，，运动到点时，， ①点、点在上相遇， 则，， ∵， ∴不符合题意； ②点、点在上相遇， 则， ， ∵， ∴不符合题意； ③点、点在上相遇， 则，， ∵，符合题意， ∴点表示的数为：， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 20．已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式， （1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可； （2）根据点的运动得出代数式即可； （3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可． 解题的关键是要运用分类讨论的思想． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：由题意可知，E点对应的数为：， F对应的数为， 故答案为：，； （3）解：在相遇前：， 设时E、F相遇， 即； 解得， ①当E点在F点左侧时，且F点没动时， 由题意可得，， 解得：， ②当E点在F点左侧时，且F点已动时， ， 解得：， ③当点E在点F右侧时， 由题意， 解得：， 综上所述，符合条件的t的值为：． 21．将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点表示，点表示，点表示．我们称点和点在数轴上的“友好距离”为个单位长度．动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为原来的一半．经过点后立刻恢复原速：同时，动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点与点之间时速度变为原来的两倍，经过后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．    (1)动点从点运动至点需要_______秒，动点从点运动至点需要______秒； (2)两点相遇时，求出值，并求出相遇点在“折线数轴”上所对应的数； 【答案】(1)，； (2)，相遇点在“折线数轴”上所对应的数为 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，分别求出动点在、、段的时间即可； （2）根据题意得出两点在段相遇，分别表示出点运动到上时表示的数即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：、、， ∴动点从点运动至点需要：（秒）， 动点从点运动至点需要：（秒）， 故答案为：，； （2）解：∵点到点需要：（秒）， 点到点需要：（秒）， ∴两点在段相遇 点运动到上时表示的数为：； 点运动到上时表示的数为：； ∴ 解得：； 此时，相遇点在“折线数轴”上所对应的数为： 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上的动点问题．掌握动点的运动方向、运动速度和运动起点是得出动点在数轴上表示的数的关键． 22．已知为常数，且满足，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示，动点分别从同时开始运动，点以每秒个单位向左运动，点以每秒个单位向右运动，设运动时间为秒． (1)求的值： (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：________；点在数轴上对应的数为：________； (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留秒后向左运动且速度变为原来的倍，在整个运动过程中，当之间的距离为个单位时，请直接写出运动时间的值． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒秒或秒 【分析】（1）根据非负数的性质，即可求出； （2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）设运动时间为秒． 由题意得：点在数轴上对应的数为：，点F在数轴上对应的数为：， 故答案为：； （3）设当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒， 相遇前：，解得:； 相遇后：相遇的时间为：（秒）， 相遇点为， 点在原地停留秒时，，解得： ； 由题意得：当相遇后，点在数轴上对应的数为：，点在数轴上对应的数为：． 当在左侧时，，解得： ； 当在右侧时，，解得： ． 答：当之间的距离为个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，列代数式，数轴上动点问题和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． 23．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为． (1)______，______，______； (2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数； (3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】(1)，， (2)点C表示的有理数为或； (3)t的值为2或或17． 【分析】（1）根据平方与绝对值的和等于0，则每一项都等于0，求出a、b，从而求出线段的长； （2）设出点C表示的有理数为c，根据位置不同进行分类讨论，根据题意中给出的等式运算，得出结果； （3）根据题意分情况讨论，结合，列出每种情况下的等式，并对t的取值范围进行说明，从而进行判断取舍，最终得出所有满足的结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ； 故答案为：，，； （2）解：设点C表示的有理数为c， 根据题意得：， 当点C在点A的左侧时，， ∴， 解得：； ∵，， ∴点C不可能在A、B之间， 当点C在点A的右侧时，， ∴， 解得：； 综上，点C表示的有理数为或； （3）解：由（1）得，， ∵， ∴当时，点P到达点O，当时，点Q到达点O， 由题意得：， 当点P、Q都在点O左侧时，， ，， ∴， 解得：； 当点P点O右侧，点Q在点O左侧时，， ，， ∴， 解得：(舍)； 当点P点O右侧，点Q在点O与点M之间时，， ，， ∴， 解得：； 当点P点O右侧，点Q在点M右侧时，， ，， ∴， 解得：； 当点P点O重合时，， ，不合题意； 当点Q点O重合时，， ，不合题意； 当点Q点M重合时，， ，不合题意； 综上，t的值为2或或17． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值与一元一次方程的应用，是一个综合问题，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，进而求解． 24．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为． (1)求的长度； (2)两带电粒子P，Q分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，其中带电粒子Q的运动速度为2个单位长度／秒． ①若带电粒子P的运动速度为4个单位长度／秒，设运动时间为秒，当时，求的值； ②点C为线段上的一点.若两带电粒子P，Q运动开始时，在线段之间放入某种电场，使得带电粒子在线段运动时，速度比原来每秒快１个单位长度，在线段运动时，速度变为原速度的2倍，P，Q在其他位置速度与原来相同．若经过一段时间x秒的运动后，的长度恒等于10，求运动时间x的最小值及点C所对应的数． 【答案】(1) (2)①或  ②x的最小值为，点所对应的数为 【分析】本题考查绝对值的非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，掌握用方程解决动点问题是解题的关键． （1）运用绝对值的非负性进行解题求出，，然后计算距离即可； （2）①根据运功过程得到点P和点Q对应的数，然后根据两点间的距离列方程解题即可； ②根据经过一段时间x秒的运动后，的长度恒等于10，说明两点的速度相同，然后设设长为c，根据时间相同即可列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； （2）①由运动可得点P对应的数值为，点Q对应的数值为， ∴， 解得：或； ②∵经过一段时间x秒的运动后，的长度恒等于10， ∴点P和点Q的运动速度相同，即速度为2个单位长度／秒，且x的最小值为， 设长为c，则 ，解得：， ∴这时点所对应的数为． 25．如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6．地 城 类型04 多动点问题 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 【答案】（1），；（2）点对应的数为，点对应的数为；（3）点到点之间的距离与的大小无关，为定值8． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，两点之间的距离，数轴上的点表示有理数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）由题意可得、的长度，从而由点A、C对应的数即可求出点M、N对应的数； （3）根据题意可得点Q对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断； 【详解】解：（1）由题意可得： 点B对应的数为：， 又∵， ∴点A对应的数为：， 故答案为：，1； （2）由题意可得：， 又∵，， ∴， ∴点M对应的数为：，点N对应的数为：； （3）的长度与t无关，理由如下： ∵， ∴点Q对应的数为：， ∴， ∴点M到点Q之间的距离与t的大小无关，为定值8． 26．已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，5 (2)当时，；当时， (3)不变， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，绝对值的计算，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；以及数轴上两点之间距离的计算方法． （1）根据最小的正整数时1，即可得出b的值，根据绝对值和平方的非负性，即可得出a和c是值； （2）根据题意进行分类讨论，①当时，②当时即可求解； （3）先得出t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，再得出和的表达式，计算即可． 【详解】（1）解：∵最小的正整数是1， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，5； （2）解：①当时，， ∴ ， ②当时，， ∴ ； （3）解：∵，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不变，恒为2． 27．已知如图，数轴上、、三点分别对应有理数、、，且满足． (1)求、、的值； (2)若点在之间，且，求点对应的数； (3)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以单位秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一点，求的值，并求点对应的数； (4)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以6单位秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，为的中点，为的中点，是否存在某时刻，、两点到原点的距离相等？若存在，求出运动时间． 【答案】(1) (2)D 点对应的数为 (3)，E 点对应的数为 (4)存在，运动时间为 【分析】（1）由绝对值及偶次方的非负性可求出，，的值； （2）先设点对应的数为，根据数轴上两点间的距离可以用分别表示出，，，再根据求出即可； （3）设运动时间为，则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：，然后根据三点到达同一点得出方程求解即可； （4）设运动时间为，则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：，再根据，是中点，根据中点坐标公式求出，，根据、两点到原点的距离相等，列方程，求解即可． 此题考查一元一次方程的应用，数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 【详解】（1）解：， 且且， 解得：，，， ，，； （2）解：设点对应的数为， 在之间，则， ，，， ， 解得：， 点对应的数为； （3）解：存在，设运动时间为， 则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：， 三点到达同一点时，有， 解得，， 点对应的数为； （4）解：存在， 设运动时间为， 则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：， 为中点， 对应的数为， 为的中点， 对应的数为， 、两点到原点的距离相等， 则， 解得或（舍去）， 存在某时刻，、两点到原点的距离相等，此时刻是运动到第秒． 28．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 【答案】(1)， (2)①点M对应的数为：，点N对应的数为：；②的长度与无关，长度为 【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）①由题意可得、的长度，从而由点、对应的数即可求出点、对应的数；②根据题意可得点对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断． 【详解】（1）解：点对应的数为，， 点对应的数为：， 又， 点对应的数为：， 故答案为：，； （2）①由动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，则，， 又，， ，， 点对应的数为：，点对应的数为：； ②的长度与无关，理由如下： 由于， 点对应的数为：， 则， 即的长度与无关，长度为． 29．如图，已知点，，是数轴上的三个点． (1)请直接写出点，所表示的数； (2)在此数轴上有点，，三个动点同时出发运动，其中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动；动点，分别从点，处同时出发，分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度沿数轴向右运动． ①写出运动秒时，点所表示的数（用含有点的式子表示）； ②若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．试探究：的值是否随时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 【答案】(1)点A表示，点C表示 (2)①；②的值是不随时间的变化而变化，值为1 【分析】本题考查数轴上的动点问题，整式的加减运算，数轴上两点间距离，用含t的代数式表示出动点所在位置表示的数是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置可直接得出答案； （2）①根据点的初始位置、运动速度及方向可得答案；②用含t的代数式表示出，判断是否含t即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示，点C表示； （2）解：①动点从点处出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，点B表示1， 运动秒时，点所表示的数为：； ②由题意知：运动秒时，点所表示的数为：，点所表示的数为：， ， ， ， 的值是不随时间的变化而变化，值为1． 30．已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)数轴上点A、B、C对应的数分别是a、b、c，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x，若满足，求x的值． (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， (2)或 (3)的值不随着随着时间t的变化而改变，为定值2，理由见解析 【分析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用： （1）最小的正整数为1，则，根据非负数的性质可得，则，； （2）根据数轴上两点距离公式可得方程，解方程即可得到答案； （3）运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，根据数轴上两点距离计算公式得到，，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：的值不随着随着时间t的变化而改变，为定值2，理由如下： 由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不随着随着时间t的变化而改变，为定值2． 31．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上分别表示数a、b，且满足． (1)填空：______，______； (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的2倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 【答案】(1)，2 (2)点M对应的数为或； (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是数轴、绝对值和非负数，解题的关键是根据数轴的特点，表示出点表示的数和线段的长度． （1）根据非负性计算可得； （2）根据题意得，解方程求解即可； （3）分别表示出点P与点C表示的数，表示出的长度，因为的长度是定值，故含字母的部分为0，解出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，2； （2）解：设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为2， ∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的2倍， ∴， 整理得或， 解得或 综上所述：点M对应的数为或； （3）解：，理由如下： 设运动时间为t秒，根据题意得：， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， 点C表示的数为：， 点P表示的数为：， ∴， ∵线段的长度总为一个固定的值， ∴， ∴． 32．综合与探究 已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即时），则式子的值为_______． (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，， (2)10 (3)，不变，见解析 【分析】本题为数轴上的动点问题，考查整式加减的应用，非负数的性质． （1）根据有理数的分类，偶次幂和绝对值的非负性求解； （2）由，可知，，，再根据绝对值的意义进行化简，然后按照整式加减运算法则进行计算； （3）根据运动方向和运动速度分别表示出点A，B，C在运动过程中所表示的数，然后利用数轴上两点间的距离公式列式计算． 理解数轴上点所对应数的表示，应用数形结合思想解题是关键． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即：，，； （2）∵， ∴，，， ∴ ， 故答案为：10； （3）不变 理由如下：t秒时，点A对应的数为，点B对应的数为，点C对应的数为． 所以，， ， 所以， 即的值不随着时间t的变化而改变，． 33．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒．地 城 类型05 动点问题求运动时间 (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值为或 (3)t的值为2 (4)t的值为或或或 【分析】（1）根据数轴上两点A、B表示的数分别为、10，列式求出线段中点表示的数，根据N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒，得到点N表示的数为，即可求出； （2）由M、N两点相距6个单位，可得，即可解得答案； （3）求出的中点P表示的数是，根据点P与数轴上表示的点重合列式计算，可解得答案； （4）分四种情况：当时，列式， 当时，列式，当时，列式，当时，列式，分别解方程可得结果． 本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A、B表示的数分别为、10， ∴线段的中点表示的数为， ∵N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒， ∴点N表示的数为， 故答案为：，； （2）解：∵点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动， ∴点M表示的数为， 点N表示的数为， ∵M、N两点相距6个单位， ∴， 解得或， ∴t的值为或； （3）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴的中点P表示的数是， ∴， 解得， ∴t的值为2； （4）解：M从A到B所需时间为（秒）， N从B到A所需时间为（秒）， 当时，M表示的数为，点N表示的数为，P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是，N表示的数是，P表示的数为， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或或或． 34．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）列出点的表达式，代入运算即可； （2）根据表达式代入运算即可； （3）分类讨论点的位置，列出方程运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴当时，， 故答案为：；； （2）解：把代入，可得： ，， ∴； （3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：； ∴当时，大致如图所示： ∵，，，， ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：； 当时，大致如图所示： ∴， ∴ 解得：（舍去）； 综上所述：或． 35．如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满． (1) ______， ______， ______； (2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程数轴上的点的运动问题，涉及绝对值方程、一元一次方程以及点的运动规律．需要通过解析方程和运动状态求解点的位置与时间关系． （1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0 成为解题的关键； （2）由题意可知，，结合两点距离公式求解绝对值方程即可，注意检验点P在点C左侧； （3）根据C到达O点前，以及C到达O点后进行分类讨论，注意转折点对方程产生的影响． 【详解】（1）因为，所以，， 又因为点B为中点，所以． 故答案为：． （2）由题意可得 ，， 因为， 所以， 解得：或． 检验，当时，，满足条件， 当时，，也满足条件， 综上或． （3）由题意，可得： C到达O点前，有： ①当M在O左侧时，此时， 解得； ②当M在O右侧、B左侧时，此时， 解得无解； ③当M在B右侧时，此时， 解得无解； C到达O点后，有： ④当M在B右侧时，此时， 解得； 综上或． 36．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；2或-4 (2) (3)存在，或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程． （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）已知数轴上两点对应的数分别为、， 点P从B开始向左移动6个单位长度， 则， 当点P向左移动到与点A距离3个单位长度时， 点P对应的数是或． （2）点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动， 则t秒后P点表示的数是， 数轴折叠，使与3表示的点重合， 折叠中心为， 折叠后，点P与数表示的点重合． （3）存在， t秒后，点P所在的位置表示的数为， 点Q所在的位置表示的数为， 点Q与点P之间的距离， 当等于2个单位长度时， ，即或， 解得或． 存在t使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，此时或 37．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出A、B两点之间的距离______； (2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； (3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或或 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴两点间的距离，绝对值方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，得出，即可作答． （2）进行分类讨论，则点C在B点的右边；当点C在A点与B点的之间，当点C在A点的左边，分别运用数轴两点间的距离进行列式计算，即可作答． （3）考虑，则点P表示的数是，列式，解得或，点P第一次从点往点移动时，则点P表示的数是，得，解得或；当点P第二次从出发，列式，解得．据此即可作答． 【详解】（1）解：∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． ∴ ∴A、B两点之间的距离为； （2）解：设点C在数轴上表示有理数c， 点C在B点的右边，则结合数轴，， 不满足C到B的距离是到A的距离的2倍，故舍去； 当点C在A点与B点的之间， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， 则 解得， 当点C在A点的左边， ∵A、B两点在数轴上对应的数分别为和6，C到B的距离是到A的距离的2倍， 则 解得， ∴点C表示的数为或； （3）解：依题意，时间为t， 点Q表示的数是， ∵， ∴， ∴则点P表示的数是， ∵， ∴， 即， ∴或， 解得或， 当点P表示的数去到点，且点P第一次从点往点移动时， 则， ∴则点P表示的数是， ∵， ∴， ， 即或， 此时或， 当点P刚好回到，此时点Q表示的数是， ∵， ∴， ∵， ∴当点P第二次从A出发，， 则点P表示的数是， ∵， ∴， ∴， 综上或，或或． 38．数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 39．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离为 ；数轴上表示x和两点之间的距离为 ； (2)若的最小值为4，则 ； (3)已知数轴上三点M、O、N对应的数分别为、0、3，点P为数轴上任意点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位的速度从点O向左运动，设t分钟后，（不包括）时点P到N的距离为点P到M的距离的4倍，请求出t值． 【答案】(1)3； (2)3或 (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，绝对值方程，正确理解数轴上两点之间的距离公式是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）由题意可知，表示的点在表示a的点与表示的点之间，进而得出表示a的点与表示的点的距离为4，再结合数轴上两点之间的距离公式求解即可； （3）根据题意可知P表示的数为，进而得到，，再根据点P到N的距离为点P到M的距离的4倍，列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示2和的两点之间的距离为3； 数轴上表示x和﹣1两点之间的距离为， 故答案为：3；； （2）解：∵的最小值为4， ∴表示的点在表示a的点与表示的点之间， ∴表示a的点与表示的点的距离为4， ∴或； 故答案为：3或； （3）解：根据题意，P表示的数为， ∴，， ∵点P到N的距离为点P到M的距离的4倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴t的值为或． 40．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 41．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：．地 城 类型06 动点求值 (1)则______，______； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P在点A右侧，同时点Q在点B的右侧，P在Q的左侧，且，则当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求的值． 【答案】(1)，12 (2)①6，0；②45，60， 【分析】（1）利用平方数和绝对值的非负性来确定a、b的值； （2）①通过设点M对应的数，根据“友好点”的定义列出方程求解； ②先根据求出的值，再设点P、Q对应的数，分情况讨论当B、P、Q分别为“友好点”时列出方程求解的值． 【详解】（1），，且， ，， 解得，， 故答案为，12； （2）①设数轴上点M表示的数为x， ，， 根据“友好点”的定义，M到A、B两点的距离满足其中一个距离是另一个距离的2倍，即或， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得 所以数轴上点M对应的有理数是6或0； ②，且， ， 设点P表示的数为p， 点P在点A右侧，A表示的数为， ， 解得， 设点Q表示的数为q，则， 当点B是P、Q的“友好点”时：有或，， 当时，， 解得， 此时点表示的数是，点表示的数是，点在点的右侧，不合题意，舍去； 当时，， 当点P是B、Q的“友好点”时：有或，，， 当时，， 解得，则， 当时，， 解得，则， 当点Q是B、P的“友好点”时：有或，，， 当时，， 解得，则， 当时，， 解得（因为点Q在B右侧，所以舍去）， 综上分析可得，的值为45或60或90． 【点睛】本题是一道综合性较强的数轴与绝对值应用问题，非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 42．如图，为数轴的原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)则________，________； (2)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ①当时，求点的运动时间； ②当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值． 【答案】(1)，6 (2)①5秒②2 【分析】（1）根据非负数的性质，即可求得的值； （2）①根据题意可知运动秒后点对应的数为：，进而确定，的值，结合列出绝对值方程并求解，即可获得答案；②当点运动到线段上时，分别确定，，的值，然后计算的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，， ∵，， ∴，， 解得，． 故答案为：，6； （2）①根据题意，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动秒后点对应的数为：， ∵为数轴的原点，点表示的数为6， ∴，， ∴当时，可有， 解得， 即当时，求点的运动时间5秒； ②当点运动到线段上时， 中点表示的数是：， 的中点表示的数是：， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示有理数、非负数的性质、数轴上两点之间的距离、绝对值方程以及数轴上动点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 43．已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1) ， ，线段 ； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长 ； (3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值 ．（用含t的代数式表示） 【答案】(1)，20，30 (2)3或75 (3) 【分析】本题考查多项式和数轴有关知识，关键是根据题意列出合适的代数式求解． （1）根据多项式的有关概念求得a、b值即可； （2）分点C在之间和点C在B右侧两种情况，分别计算、，进而可求解； （3）根据速度和时间表示出点G、H表示的数，进而得到点D和点F表示的数，根据题意和数轴上两点的距离求解方法列式求解即可． 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的二次多项式， ∴， ∴； ∵二次项系数为b， ∴； ∴线段． 故答案为：，20，30； （2）解：分两种情况： ①当点C在之间时，如图1， ∵，， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴； ②当点C在B右侧时，如图2， ∵，， ∴，又， ∴， 综上，的长是3或75． 故答案为：3或75； （3）解：由题意得，点G表示得数为：，点H表示的数为：， ∵，， ∴点G在线段之间， ∵D为中点， ∴点D表示的数为：， ∵F是中点， ∴点F表示的数为：， ∵，， ∴， ∴点E表示的数为：， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 44．已知b是最小正整数，且a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)实数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C，动点p以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿数轴负方向做匀速运动，同时点M和点N分别从点B，点C出发，分别以每秒个单位长度和5个单位长度沿数轴正方向做匀速运动，运动时间为t秒． ①写出点P，点M，点N所表示的数；（用含t的代数式表示） ②点M与点N之间的距离表示为，点P与点M之间的距离表示为，已知数轴上两点间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值（或用这两点所表示的数中较大的数减去较小的数） i）点O为原点，试说明； ii）当时，求的值． 【答案】(1)，，； (2)①；②i）见解析；ii）2． 【分析】（1）由b是最小正整数可得，由可得，； （2）①由点P、点M、点Q运动的方向，速度即可表示； ②i）点O为原点时表示出和，即可得到； ii）表示出，，求出，即可得到m的值． 【详解】（1）∵b是最小正整数， ，，， ，， ，； （2）①点P表示的数是，点M所表示的数是，点N所表示的数是； ②i）,， ． ii）当时，， ， ． 【点睛】本题考查数轴，绝对值的概念，非负数的性质，关键是理解“数轴上两点间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值”． 45．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非装常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间 的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，数轴上的表示数2的点与原点（即表示0的点）之间的距离是，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．我们总结为数轴上的点与点之间的距离，是这两个点所对应的数的差，是大数减小数，永远表示距离． 已知数轴上两点A，B，点A在点B的左边，原点O是线段上的一点，已知，线且．点A，B对应的数分别是a，b，点P为数轴上的一动点． (1) ___________， __________，并在数轴上面标出A，B两点； (2)点P对应的数为x，若，求x的值； (3)点Q，M在数轴上，点P以每秒2个单位长度的速度从原点O出发向右运动，同时点Q从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，求的值． 【答案】(1)，，见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，解绝对值方程； （1）根据题意求出，，再由点O为原点，点A在点B的左边即可得到，，然后在数轴上标出A，B两点即可； （2）根据列出绝对值方程，解方程可得答案； （3）设运动时间为t，可得，，然后计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点O为原点，点A在点B的左边， ∴，， 点A，B位置如图所示： 故答案为：，； （2）∵， ∴， 解得：或； （3）设运动时间为t， 则t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， ∴，， ∴． 46．如图，数轴上原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足，，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为x秒（x＞0）． （1）A、B两点间的距离是 ；动点M对应的数是 （用含x的代数式表示）；动点N对应的数是 ；（用含x的代数式表示） （2）几秒后，线段OM与线段ON恰好满足3OM＝2ON？ （3）若M，N开始运动的同时，R从﹣1出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求的值． 【答案】（1）6；x＋2；3x−4；（2）或秒；（3）2或−2 【分析】（1）求出点A、B对应的数即可求出AB的长度，再根据点M、N的运动速度结合点A、B对应的数即可得出运动时间为x秒时，动点N、M对应的数； （2）根据题意即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）先求得相遇时时间，然后根据N与M相遇前，x＜3s时，求得＝，N与M相遇后，x＞3s时，求得＝． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵点A对应的数是a，点B对应的数是b， AB＝2−（−4）＝6． 当运动时间为x秒时，动点M对应的数是x＋2，动点N对应的数是3x−4． 故答案为：6；x＋2；3x−4． （2）由（1）中M，N所对的数得OM＝x＋2，ON＝3x−4， ∵3OM＝2ON， ∴3（2＋x）＝2|3x−4|， ①3（2＋x）＝2（3x−4）， 解得x＝； ②3（2＋x）＝−2（3x−4）， 解得x＝； 综上：或秒后，线段OM与线段ON恰好满足3OM＝2ON； （3）由题意得动点R所对的数为−1＋2x，RN＝|（−1＋2x）−（3x−4）|＝|3−x|，MB＝（2＋x）−（−4）＝6＋x，NB＝（−4＋3x）−（−4）＝3x， ∴MB−NB＝6＋x−3x＝6−2x， ∵2＋x＝−4＋3x，解得x＝3， ∴M与N相遇时时间为3s， N与M相遇前，x＜3s时，＝， N与M相遇后，x＞3s时，＝， 综上所述：的值为2或−2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：（1）根据点M，N的运动速度结合点A、B对应的数找出运动时间为x秒时，动点M，N对应的数；（2）根据题意，找出关于x的一元一次方程；（3）N与M相遇前和N与M相遇后，两种情况考虑． 47．已知是最小的正整数，且，满足 (1)请求出，，的值； (2)，，在数轴上对应的点分别为、、，点为动点，其对应的点为，点在－1到1之间运动时（即时）请化简；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，3秒钟后，若点与点之间的距离表示，点与点B之间的距离表示为，请求的值． 【答案】(1)，， (2) (3)1 【分析】（1）先根据是最小的正整数，求出，再根据，即可求出、； （2）根据绝对值的定义即可得到结论； （3）根据题意用的代数式表示出、即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）∵是最小的正整数， ∴． ∵， ∴，； （2）点在到1之间运动时（即时）， 则：，， ． （3）解：设、、运动的时间为秒， 由题意得：移动后点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为： 则：， ∴． 48．如图，在数轴上A点表示数，点表示数，点表示数．点为线段的中点且，满足．若动点，分别从A，同时出发，点的运动速度为8个单位长度/秒，点的运动速度为4个单位长度/秒，设动点，的运动时间是秒． (1)________，________，________． (2)若，同时出发，相向而行，假设秒后，，，A三点中恰好有一点为另外两个点的中点，求的值． (3)若为原点，向左运动，向右运动，为的中点，为的中点，在，的运动过程中，________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由可得a、c进而可求b； （2）分当A为中点时，， 当P为中点时，， 当Q为中点时，三种情况进行求解即可； （3）由为原点，为的中点，得点E对应的值为：，由为的中点，得点F对应的值为：，进而得，进而可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）根据题意，， 当A为中点时，，即， ∴，故不存在； 当P为中点时，，即， ∴； 当Q为中点时，，即， ∴； ∴或． （3）∵为原点，为的中点， ∴点E对应的值为：， ∵为的中点， ∴点F对应的值为：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴上点的位置关系、一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解体的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数轴动点问题（6种类型48道） 地 城 类型01 动点定值问题 1．阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是，，，A到C的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空：__________，__________； (2)现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，求P、Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． (3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 2．如图，数轴上点A，（点A在点左边）所对应的数，满足．P为数轴上一动点，其对应的数为，为原点． (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，当点P在线段的延长线上运动时，的值是否为定值（即确定的值，不因点P位置的变化而变化）？如是，请求出这个定值；如不是，也请说明理由． 3．已知点A在数轴上表示的数为a，点B表示的数为b. (1)若a，b满足，求线段的长； (2)在（1）的条件下，若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒，当点P与点Q相距4个单位长度时，求t的值； (3)若动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒b个单位长度的速度也向右匀速运动，设运动t秒后，点P表示的数为m，点Q表示的数为n.是否存在有理数a和b，使得无论t为何值，代数式为定值3，若存在，求a，b的值，若不存在，请说明理由. 4．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且．动点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P运动时间为t秒    (1)填空： ； ；的距离为 ； (2)点P运动多少秒后，成立？ (3)当点P在A，B之间运动时，如果点M为的中点，请你探究式子是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由 5．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①几秒时，点P与点Q距离6个单位长度？ ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 6．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 7．在数轴上A，B，C点分别表示数a，b， c，且b最大的负整数，．    (1) ， ， ； (2)若A、B、C为数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C以分别每秒2个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，设点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为 ①若，求t的值？ ②是否存在常数m，使得的值是个定值？如果存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 8．如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧．已知a，b满足，则：    (1)______，______． (2)若动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒． ①当t为何值时，P、Q两点重合？ ②当t为何值时，P、Q两点相距8个单位长度？ ③如图2，点M是的中点，在点P、Q同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由．    9．如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，．地 城 类型02 动点最值问题 (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 10．设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上， ①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，， ①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 11．如图，O为数轴的原点，，，O为的中点，C为的中点． (1)求的长度； (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t满足什么条件时，有最小值，并求出该最小值． 12．已知点A在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，，且，A、之间的距离为或，请回答问题： (1)请直接写出 ， ， ； (2)设点在数轴上对应的数为，且，求的值； (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数是． ①若，求的值； ②求的最小值，并写出此时整数的值． 13．点在数轴上表示的数分别为，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为_________，的值为_________，的值为_________． (2)若数轴上有三个动点，分别从点开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度． 其中点向左运动，点向右运动，点先向左运动，遇到点后回头再向右运动，遇到点后又回头再向左运动，…，这样直到点遇到点时三点都停止运动，求点所走的路程； (3)已知点为数轴上一点，它表示的数为，求的最小值，并写出此时的取值． 14．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为（a为定值，且），C为数轴上异于点A的一点，且到原点O的距离与点A到原点O的距离相等． (1)请在图中标出原点O与点C． ​ (2)点A到点C的距离为 ．（用含a的式子表示） (3)P为数轴上一动点，其对应的数为x． ①当P是B，C之间的一动点时，点P到点B、点C的距离之和是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． ②设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点B开始沿数轴的正方向运动到点A这一运动过程中，若S的最大值为m，最小值为n，求的值． 15．如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 16．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、6，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由； (3)现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ (4)借助于此数轴，若，则的最小值为______． 17．如图，点O是数轴的原点，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b，且满足．地 城 类型03 动点变速问题 (1)点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)动点P、Q分别从点A和点O同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度向正方向运动，点Q运动到点B后立即沿射线的方向以原速度运动，点P、Q在点C的位置相遇，求点C表示的数； (3)在（2）的条件下，若从点P、Q相遇开始，动点N从点O出发以每秒0．5个单位长度的速度向数轴正方向运动，点Q的速度变为每秒个单位长度，点P的速度不变，设动点N运动的时间为t秒，求当t为何值，点P刚好是线段的一个三等分点，并直接写出此时点N所表示的数． 18．数轴上点对应的数分别为，其中满足，点为数轴上一动点． (1)______，______； (2)若点到点的距离之和为55，求点对应的数； (3)若点从点以2个单位每秒的速度向点运动，到达点后立即掉头，速度变为原来的3倍，当点运动3秒后，点与点同时出发，点从点以1个单位每秒的速度向左运动，点以5个单位每秒的速度从表示10的点处向左出发，当点与点相遇后，点的速度变为原来的2倍，并继续向左运动，直到点追上点后所有点停止运动．求点运动多少秒时． 19．如图，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的倍． (1)填空： _____， _____， _____； (2)如图，若点、、分别同时以每秒个单位长度、个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值： (3)如图，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为_____． 20．已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 21．将一条数轴在原点和点处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点表示，点表示，点表示．我们称点和点在数轴上的“友好距离”为个单位长度．动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为原来的一半．经过点后立刻恢复原速：同时，动点从点出发，以单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点与点之间时速度变为原来的两倍，经过后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．    (1)动点从点运动至点需要_______秒，动点从点运动至点需要______秒； (2)两点相遇时，求出值，并求出相遇点在“折线数轴”上所对应的数； 22．已知为常数，且满足，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示，动点分别从同时开始运动，点以每秒个单位向左运动，点以每秒个单位向右运动，设运动时间为秒． (1)求的值： (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：________；点在数轴上对应的数为：________； (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留秒后向左运动且速度变为原来的倍，在整个运动过程中，当之间的距离为个单位时，请直接写出运动时间的值． 23．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为． (1)______，______，______； (2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数； (3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值． 24．点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为． (1)求的长度； (2)两带电粒子P，Q分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，其中带电粒子Q的运动速度为2个单位长度／秒． ①若带电粒子P的运动速度为4个单位长度／秒，设运动时间为秒，当时，求的值； ②点C为线段上的一点.若两带电粒子P，Q运动开始时，在线段之间放入某种电场，使得带电粒子在线段运动时，速度比原来每秒快１个单位长度，在线段运动时，速度变为原速度的2倍，P，Q在其他位置速度与原来相同．若经过一段时间x秒的运动后，的长度恒等于10，求运动时间x的最小值及点C所对应的数． 25．如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6．地 城 类型04 多动点问题 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 26．已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 27．已知如图，数轴上、、三点分别对应有理数、、，且满足． (1)求、、的值； (2)若点在之间，且，求点对应的数； (3)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以单位秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一点，求的值，并求点对应的数； (4)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以6单位秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，为的中点，为的中点，是否存在某时刻，、两点到原点的距离相等？若存在，求出运动时间． 28．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．    (1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ； (2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为． ①求点、对应的数（用含的式子表示） ②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度． 29．如图，已知点，，是数轴上的三个点． (1)请直接写出点，所表示的数； (2)在此数轴上有点，，三个动点同时出发运动，其中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动；动点，分别从点，处同时出发，分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度沿数轴向右运动． ①写出运动秒时，点所表示的数（用含有点的式子表示）； ②若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．试探究：的值是否随时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 30．已知：b是最小的正整数，且a、b满足． (1)请求出a、b、c的值； (2)数轴上点A、B、C对应的数分别是a、b、c，点P为数轴上的一个动点，其对应的数为x，若满足，求x的值． (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 31．点O为数轴的原点，点A、B在数轴上分别表示数a、b，且满足． (1)填空：______，______； (2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的2倍，求点M在数轴上表示的数； (3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系． 32．综合与探究 已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，点P在0到1之间运动时（即时），则式子的值为_______． (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 33．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒．地 城 类型05 动点问题求运动时间 (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 34．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______； (2)当时，求、两点间的距离； (3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由． 35．如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是a、b、c，点B为中点，且a，c满． (1) ______， ______， ______； (2)点P从点A出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，以1个单位每秒的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点P运动到点C时，点P，Q停止运动．设运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)若动点M从点A出发．以每秒4个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动至点B，再以每秒1个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时，动点N从点C出发以每秒2个单位长度沿着数轴的负方向匀速运动至点O，到达O点后点N按原速度立即返回点C，当点N运动到点C时，点M，N停止运动，设运动时间为k秒，当，求k的值． 36．如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 37．已知点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，M、N两点之间的距离表示为，则在数轴上M、N两点之间的距离，如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出A、B两点之间的距离______； (2)若在数轴上存在一点C，使得C到B的距离是到A的距离的2倍，求点C表示的数； (3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在之间进行往返运动，点P出发的同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴一直向左运动，求当时，时间t的取值． 38．数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 39．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离为 ；数轴上表示x和两点之间的距离为 ； (2)若的最小值为4，则 ； (3)已知数轴上三点M、O、N对应的数分别为、0、3，点P为数轴上任意点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位的速度从点O向左运动，设t分钟后，（不包括）时点P到N的距离为点P到M的距离的4倍，请求出t值． 40．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 41．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：．地 城 类型06 动点求值 (1)则______，______； (2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”． ①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数； ②点P在点A右侧，同时点Q在点B的右侧，P在Q的左侧，且，则当B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求的值． 42．如图，为数轴的原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)则________，________； (2)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ①当时，求点的运动时间； ②当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值． 43．已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1) ， ，线段 ； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长 ； (3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值 ．（用含t的代数式表示） 44．已知b是最小正整数，且a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)实数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C，动点p以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿数轴负方向做匀速运动，同时点M和点N分别从点B，点C出发，分别以每秒个单位长度和5个单位长度沿数轴正方向做匀速运动，运动时间为t秒． ①写出点P，点M，点N所表示的数；（用含t的代数式表示） ②点M与点N之间的距离表示为，点P与点M之间的距离表示为，已知数轴上两点间的距离为这两点所表示的数的差的绝对值（或用这两点所表示的数中较大的数减去较小的数） i）点O为原点，试说明； ii）当时，求的值． 45．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非装常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间 的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，数轴上的表示数2的点与原点（即表示0的点）之间的距离是，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．我们总结为数轴上的点与点之间的距离，是这两个点所对应的数的差，是大数减小数，永远表示距离． 已知数轴上两点A，B，点A在点B的左边，原点O是线段上的一点，已知，线且．点A，B对应的数分别是a，b，点P为数轴上的一动点． (1) ___________， __________，并在数轴上面标出A，B两点； (2)点P对应的数为x，若，求x的值； (3)点Q，M在数轴上，点P以每秒2个单位长度的速度从原点O出发向右运动，同时点Q从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，求的值． 46．如图，数轴上原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足，，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为x秒（x＞0）． （1）A、B两点间的距离是 ；动点M对应的数是 （用含x的代数式表示）；动点N对应的数是 ；（用含x的代数式表示） （2）几秒后，线段OM与线段ON恰好满足3OM＝2ON？ （3）若M，N开始运动的同时，R从﹣1出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求的值． 47．已知是最小的正整数，且，满足 (1)请求出，，的值； (2)，，在数轴上对应的点分别为、、，点为动点，其对应的点为，点在－1到1之间运动时（即时）请化简；（写出化简过程） (3)在（1）、（2）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，3秒钟后，若点与点之间的距离表示，点与点B之间的距离表示为，请求的值． 48．如图，在数轴上A点表示数，点表示数，点表示数．点为线段的中点且，满足．若动点，分别从A，同时出发，点的运动速度为8个单位长度/秒，点的运动速度为4个单位长度/秒，设动点，的运动时间是秒． (1)________，________，________． (2)若，同时出发，相向而行，假设秒后，，，A三点中恰好有一点为另外两个点的中点，求的值． (3)若为原点，向左运动，向右运动，为的中点，为的中点，在，的运动过程中，________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $