专题06 反比例函数中k的几何意义（4重难点题型）（题型专练）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列

专 题型梳理 题型方法 题型一一点一垂线 题型二一点两垂线 题型三两点两垂线 题型四两曲一平行 题型方法 【题型一】一点一垂线 【例1】(22-23九年级上·四川 点A作x轴的垂线交x轴于点B B x A.8 B.6 【举一反三】【变式1】(23-2 AB⊥x轴，垂足为点B,若A 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 题06反比例函数中k的几何意义 广安期中)如图，正比例函数y=x与反比例函数y-4的图象相交于A、C两点，过 连接BC,则ABC的面积等于() C.4 D.2 4九年级上江苏盐城期末)如图所示，点A是反比例函数y=k图象上一点，作 )B的面积为2，则k的值是() 1 业a西 Y A B 无 A.4 B.3 【变式2】(24-25九年级上·安 面积为 珠 A B 【变式3】（24-25九年级上·陕 △ABO的面积为3. y个 B A y= x 0 X (1)试求k的值： (2)若AB=2,点A的坐标. 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 C.2 D.1 激六安期末)如图，点A是双曲线y=8的图象上一点，AB⊥x轴于点B,则A0B的 1 西西安期末)如图，点A在反比例函数y=《(k≠0)的图象上，AB⊥y轴于点B,且 2 宋老师数学 【题型二】一点两垂线 【例2】（24-25九年级上·云南 垂线，垂足分别为A,C,则矩 个 C B y= m x X A.1 B.2 【举一反三】【变式1】( 24-2 AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分 B C A A.2 B.-2 【变式2】(24-25九年级下·江 值为一 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 红河期中)如图，点B在反比例函数y=3(x>0)的图象上，过B分别向x轴，y轴作 形OABC的面积为() C.3 D.4 九年级上河南安阳期末)如图，A为反比例函数y=《(x>0)的图象上的一点， 别为B,C.若四边形OCAB的面积为2，则飞的值为() C.4 D.-4 西宜春阶段练习)反比例函数y=k的图象如图所示，若矩形0APB的面积是2，则k的 3 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 B 【变式3】(24-25九年级上青海西宁期中)如图，矩形40BP的面积为6，反比例函数y=k的图象经过点P,那么 k的值为 B V= 【题型三】两点两垂线 【例3】(24-25九年级上河南安阳阶段练习)如图，点A、C是反比例函数y=图象上任意两点，且AB⊥y轴于点 B,CD1x轴于点D,AOB和△COD面积之和为3，则k的值为() YA B A.-3 B.-6 C.3 D.6 【举一反三】【变式1】(24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末)如图，A,B是双曲线y=二上关于原点对称的任意两点， AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积为() 4 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2】(23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末)如图，在平面直角坐标系中，过原点0的直线交反比例函数 y=二（化≠O)的图象于A,B两点，过点A作AC∥y轴，过点B作BC∥x轴，AC与BC交于点C.若S△ABc=10,则k的 值为」 C B 2 【变式3】(2024九年级下全国专题练习)如图，函数y=-x与函数y=4的图象相交于A、B两点，4C1y轴于 点C,BD⊥y轴于点D,则四边形ADBC的面积为 D B 【题型四】两曲一平行 5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。 【例4】(2425九年级上四川达州期末)如图，是反比例函数y=上和y=2(k<k,)在第一象限的图象，直线 5 AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若S,0s=2,则k,-k的值是（） V A.6 B.5 C.4 D.3 【举一反三】【变式1】(2425九年级上辽宁大连阶段练习)双曲线y=4与y=2在第一象限内的图象如图所示， x 作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A,B两点，连接OA,OB,则AOB的面积为() A.1 B.2 C.1.5 D.0.5 【变式2】(2425九年级上辽宁盘锦期末)如图，两个反比例函数y=9和y=4在第一象限内的图象依次是G和C ,设点P在C上，PC⊥x轴于点C,交C,于点A,PD⊥y轴于点D,交C,于点B,则四边形PAOB的面积为 C B P D 【变式3】(24-25九年级上陕西西安期末)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形0ABC的顶 6 点4在反比例函数y=6上，顶 X Y 无 好题必刷 一、单选题 1.（24-25九年级上·湖北襄阳 OA,则△AB0的面积为() A B 0 X A.-10 B.10 2.（24-25九年级上吉林·期末 于点C,连接BC,则ABC的 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 10 点B在反比例函数y=D上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形OABC的面积. 期未)如图，点A为反比例函数y=-0的图象上一点，过A作AB1x轴于点B,连接 C.-5 D.5 如图，点A在反比例函数y=8的图象上，过点4作AB⊥x轴于点B,作4C⊥y轴 面积为() 7 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 A.2 B.4 C.6 D.8 3。（21-2九年级上河南安阳期末)双曲线，与在第一象限的图象如图所示，其中1，⅓的解析式分别为片=4， 1 P 2=二，过图象上的任意一点A,作x轴的平行线交的图象于点B,交y轴于点C,连接OA,OB,则AOB的 x 面积是() B A.1 B.2 C.3 D.4 4.(24-25九年级上山东临沂期末)如图，点A在反比例函数y=《(x>0)图象上，AB上x轴于点B.若S△408=4， X 则k的值为() YA B A.1 B.2 C.4 D.8 6 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 5. (2425九年级上黑龙江绥化阶段练习)如图，A是反比例函数y=《图象上一点AB⊥x轴于点B,C是x轴正半 轴上一点，且满足 D6=弓，AC与y轴交于点D,若Sa0c=4则k=() B A.-20 B.-25 C.-30 D.-35 6、(2425九年级上广东广州期末)每图。已知两个反比例函数C:y-和C,:y=在第一象限内的图象，设点P 在G上，PC⊥x轴于点C,交C,于点A,PD⊥y轴于点D,交C,于点B,则四边形PAOB的面积为() V C2 A. B. 2 c D. 2-3 二、填空题 7. (2425九年级上陕西西安期末)如图，反比例函数y=《(k≠0)的图象上有一点P,经过点P作y轴的垂线，交 y轴于点Q,连接OP.若So0=6,则k= 9 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 18 8.(24-25九年级上·广东河源阶段练习)如图，点A在反比例函数y,=°(x>0)的图象上，过点A作AB1x轴，垂 足为B,交反比例函数与，=8(x>0)的图象于点C,P为y轴上一点，连接PA、PC,则△4PC的面积为 9.(24-25九年级上山西晋中期末)如图，点A为反比例函数y=(x<0)的图象上一点，过点A作AB1y轴于点B ,点C与点B关于x轴对称，连接AC.若ABC的面积为16，则k的值为 10.(2425九年级下陕西西安期中)如图，A、B为反比例函数y=(x>0)图象上两点，连接0A,过点B作 BC⊥y轴于点C,交OA于点D,且D为OA的中点.若△ABD的面积等于3，则k的值为 B 1山.(2324九年级上辽宁大连期末)卖图。点4在函级y-6x>0)的图像上，点B在函数y=x>0的图像上. 且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C,则四边形ABCO的面积为 10 专题06 反比例函数中k的几何意义 题型梳理 题型方法 题型一 一点一垂线 题型二 一点两垂线 题型三 两点两垂线 题型四 两曲一平行 题型方法 【题型一】一点一垂线 【例1】（22-23九年级上·四川广安·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 由于点、位于反比例函数图象上且关于原点对称，则，再根据反比例函数系数的几何意义作答即可． 【详解】解：点、位于反比例函数图象上且关于原点对称， 、两点到轴的距离相等， ， ， ． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图所示，点是反比例函数图象上一点，作轴，垂足为点，若的面积为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，即，运用数形结合思想、正确理解的几何意义是解此类问题的关键．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，作轴，垂足为点， ∴，， 又∵函数图象位于一、三象限， ∴，即， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，点是双曲线的图象上一点，轴于点，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为，正确理解的几何含义是解题关键．根据的几何含义可得答案． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴于点， ∴， 故答案为：4． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为． (1)试求的值； (2)若，点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． （）根据的几何意义可得，进而结合图象位置即可求解； （）由（）可得反比例函数解析式，再根据可得点的横坐标为，把代入函数式求出纵坐标即可求解； 【详解】（1）解：∵轴于点， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象位于第一象限， ∴， ∴； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴点的坐标为． 【题型二】一点两垂线 【例2】（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为3． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为2，则k的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为．从而可求解． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ∵， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积是2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握以上知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：点在反比例函数图象上，且矩形的面积是， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，矩形的面积为6，反比例函数的图象经过点，那么的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，属于简单题，熟悉反比例函数的图像和性质是解题关键． 根据反比例函数系数k的几何意义即可解题． 【详解】解：∵矩形的面积为6，反比例函数的图象经过点P， ∴， ∴． 又∵点P在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型三】两点两垂线 【例3】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，点A、C是反比例函数图象上任意两点，且轴于点B，轴于点D，和面积之和为3，则k的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出和面积之和，即可求解． 【详解】解：点A、是反比例函数图象上任意两点， 设，， 轴于点，轴于点D， ，，，， 和面积之和为3， ， ， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，是双曲线上关于原点对称的任意两点，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义，难易程度适中，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的三角形面积，结合图象解答是解题的关键． 根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积可知，，再根据反比例函数的对称性可知，为中点，则，，进而求出四边形的面积． 【详解】解：连接， 是双曲线上关于原点对称的任意两点， 经过原点， 轴，轴， ， 假设点坐标为， 则点坐标为， 则， ，， 四边形面积， 故选：B ． 【变式2】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图象于两点，过点作轴，过点作轴，与交于点．若，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，反比例函数向上的几何意义，三角形相似的判定和性质，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．由题意可知轴，根据反比例函数系数的几何意义得到 ，通过证得 ，即可求得 【详解】∵过原点的直线交反比例函数的图象于两点， ，即， ∵过点作轴，过点作轴， ∴轴， ， ∵ 轴, ， ， ， 解得 ， 故答案为: ． 【变式3】（2024九年级下·全国·专题练习）如图，函数与函数的图象相交于、两点，轴于点，轴于点，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数的对称性．注意：从反比例函数图象上任意一点向轴或轴引垂线，则这点、原点、垂足所组成的三角形的面积是．根据题意，得到四边形是平行四边形，则平行四边形的面积即为三角形的面积的4倍．根据点是反比例函数图象上一点，则三角形的面积即为，从而求得四边形的面积． 【详解】解：函数与函数的图象相交于、两点， ，是函数的图象上关于原点对称的两点， ，， 四边形是平行四边形，三角形的面积是． 四边形的面积三角形的面积的4倍． 故答案为8． 【题型四】两曲一平行 【例4】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（   ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，设点，代入双曲线得，根据三角形面积公式求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 如果设直线与x轴交于点C，那么的面积的面积的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知的面积为2，的面积为1，从而求出结果． 【详解】解：设直线与轴交于点． ∵轴， ∴轴，轴． ∵点在双曲线的图象上， ∴的面积． 点在双曲线的图象上， ∴的面积． ∴的面积的面积的面积． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．由题意得，，然后由即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，点A为反比例函数的图象上一点，过A作轴于点B，连接，则的面积为（   ） A． B．10 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题的关键．直接根据反比例函数系数的几何意义解答即可． 【详解】解：点为反比例函数的图象上一点，过作轴于点， ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 3．（21-22九年级上·河南安阳·期末）双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用到的知识点是三角形的面积与反比例函数系数的关系，由点B在的图象上可得出，由点A在的图象上可得出，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵点B在的图象上， ∴， ∵点A在的图象上， ∴， ∴， 故选B 4．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，点A在反比例函数图象上，轴于点B．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义．根据反比例函数中比例系数的几何意义得到，再根据反比例函数性质确定的值，即可解题． 【详解】解：轴于点B．且， ， 解得或， 反比例函数图象在第一象限， ， 故选：D． 5．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，A是反比例函数图象上一点轴于点B，C是x轴正半轴上一点，且满足，与y轴交于点D，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的几何意义． 连接，由轴可得，故，可得，再根据和的面积之间的关系，以及k的几何意义，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ， ， 轴， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，反比例函数的图象上有一点，经过点作轴的垂线，交轴于点，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数系数的几何意义是解题关键．设点的坐标为，则，，根据点在反比例函数的图象上，得到，再结合求解即可． 【详解】解：设点的坐标为， ，， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接、，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，可证明轴，得到；再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴轴， ∴； ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点与点关于轴对称，连接．若的面积为16，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，连接，点与点关于轴对称，可得，即可解答，根据熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：如图，连接． 点与点关于轴对称， ． ． ， ． ． 反比例函数的图象位于第二象限， ． ． 10．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，A、B为反比例函数图象上两点，连接，过点B作轴于点C，交于点D，且D为的中点．若的面积等于3，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查反比例函数的图像及性质、中点坐标公式等知识点，重点要掌握反比例函数系数的几何意义，以及利用待定系数法求反比例函数的解析式，本题易错点在于的正负，计算过程中要注意．设，，则，则点，得到，，根据面积求出即可． 【详解】解：设，，则， ∵D为的中点， 根据中点坐标公式， ∴点， 将点代入函数解析式， ∴， ∴， 设到上的高为，， ∵的面积等于3， ∴ ∴， ∴； 故答案为：． 11．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 12．（2025九年级上·北京·专题练习）双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 根据k的几何意义得出的面积为2，进而得出面积为5，即可得出的解析式． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的解析式为：． 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，延长交y轴于C，得到轴，设，则，即可得到，，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于C， ∵轴， ∴轴， 设，则， ∴，， ∴． 14．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某反比例函数的图象如图所示，点A是图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C，若长方形面积为12． (1)求反比例函数的解析式 (2)若A点横坐标为 ，为反比例图象上一点，面积为9，求点坐标． (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数与几何的综合、一次函数与不等式等知识点，掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的长方形的面积是且保持不变是解题的关键． （1）设点，由题意可得，然后再结合反比例函数图象在二、四象限即可解答； （2）先求得点A的坐标为，即；设点P的坐标为，则边上的高为，然后根据面积为9，列绝对值方程求解，然后确定点P的坐标即可； （3）如图：作直线交抛物线于点，即点，然后根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解：设点， ∵轴，轴， ∴， ∵长方形面积为12， ∴，即 ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵A点横坐标为 点A在反比例函数的解析式为， ∴点A的坐标为， ∴， 设点P的坐标为， ∴边上的高为， ∵面积为9， ∴，解得：或6， ∴点P的坐标为或． （3）解：如图：作直线交抛物线于点，即点， 由函数图象可得：当时，的取值范围为． 15．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点A作垂直x轴的，垂足为点B，且的面积为．    (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和4时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）由（1）可得，， ∵当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 16．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线之上，且轴，，在轴上，若四边形为矩形，求它的面积． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，根据双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积与的关系：即可判断，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 【详解】解：延长交轴于， 轴， 垂直于轴，即， 四边形为矩形， ∴， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为1， ， 四边形为矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为3， 矩形的面积为． 17．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函的图象分别交于第二、四象限内的点，，过点A作轴，垂足为点C，的面积为3． (1)求a，b的值； (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)在y轴上取一点P，使的值最大，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据的面积为3，求出反比例函数的关系式为，把点，代入反比例函数解析式求出结果即可； （2）根据函数图象，求出不等式的解集即可； （3）取点A关于y轴的对称点，连接，并延长，交y轴于点P，连接，根据轴对称，三角形三边关系和轴对称的性质得出此时的值最大，求出直线的关系式为，再求出结果即可． 【详解】（1）解：∵的面积为3， ∴， 解得：或（舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点，代入， 解得：，； （2）解：根据图象，可知不等式的解集为：或； （3）解：取点A关于y轴的对称点，连接，并延长，交y轴于点P，连接，如图所示： ∵点， ∴点， 根据轴对称可知：， ∴， ∵， ∴， 设直线的关系式为， 则， 解得， ∴直线的关系式为， ∴直线与y轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，求出反比例函数解析式． 18．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求，，的值； (2)点是（）的图象上一点，抽交轴于点，轴交轴于点，若的面积小于四边形的面积，直接写出此时点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数的几何意义，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）将点代入，即可求得，将代入，即可求得的值，进而得到点的坐标，最后将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求得的值； （2）由题意可设，所以，又的面积小于四边形的面积，所以，结合，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：在上， ， ， ， 在上， ， ， 在上， ，即，，； （2）解：由题意可设， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $