第十四章 全等三角形全章培优测试卷-2025-2026学年人教版八年级数学上册必考点分类集训系列

第十四章 全等三角形全章培优测试卷 【人教版2024】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．本卷聚焦全章基础考点与重难点，旨在检测所学内容掌握程度。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3 C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意； B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的△ABC，故本选项符合题意； C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10，符合全等三角形的判定定理SAS，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意； D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，符合全等直角三角形的判定定理HL，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（3分）如图，已知△ABC各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出、则所画三角形不一定与△ABC全等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可． 【解答】解：A、根据“ASA”可证明与原三角形全等，所以此选项正确，不符合题意； B、根据“SAS”可证明与原三角形全等，所以此选项正确，不符合题意； C、根据“SSS”可证明与原三角形全等，所以此选项正确，不符合题意； D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，所以此选项错误，符合题意； 故选：D． 3．（3分）如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝（　　） A．8 B．或6 C．10 D．或6 【分析】根据全等三角形的对应边相等列出方程，解方程分别求出x、y，计算即可． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴3x﹣2＝5，2y﹣1＝7或3x﹣2＝7，2y﹣1＝5， 解得：x，y＝4或x＝3，y＝3， 则x+y或6， 故选：D． 4．（3分）如图，AC与BD相交于点O，OD＝OC，有以下四个条件：①∠C＝∠D；②AD＝BC；③∠DAO＝∠CBO；④OA＝OB．从这四个条件中任选一个，能使△DAO≌△CBO的选法种数共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．1种 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【解答】解：①在△DAO与△CBO中， ， ∴△DAO≌△CBO（ASA），符合题意； ②添加AD＝BC不能判定△DAO≌△CBO，不符合题意； ③在△DAO与△CBO中， ， ∴△DAO≌△CBO（AAS），符合题意； ④在△DAO与△CBO中， ， ∴△DAO≌△CBO（SAS），符合题意， ∴①③④正确． 故选：B． 5．（3分）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝40°，∠F＝26°，则∠DEF的度数为（　　） A．124° B．66° C．114° D．140° 【分析】由全等三角形的性质推出∠D＝∠A＝40°，由三角形的外角性质即可得到∠DEC的度数． 【解答】解，∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝40°， ∵∠F＝26°， ∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣40°﹣26°＝114°． 故选：C． 6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．7对 【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD，△AOC≌△AOB，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， ∵AC＝AB， ∵∠CAE＝∠BAD， ∴△AEC≌△ADB； ∴CE＝BD， ∵AC＝AB， ∴∠CBE＝∠BCD， ∵∠BEC＝∠CDB＝90°， ∴△BCE≌△CBD； ∴BE＝CD， ∴AD＝AE， ∵AO＝AO， ∴△AOD≌△AOE； ∵∠DOC＝∠EOB， ∴△COD≌△BOE； ∴OB＝OC， ∵AB＝AC， ∴CF＝BF，AF⊥BC， ∴△ACF≌△ABF，△COF≌△BOF． ∵∠ABO＝∠ACO，AB＝AC，∠AOB＝∠AOC， ∴△AOB≌△AOC， 共7对， 故选：D． 7．（3分）如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于点D．若△OBC的面积是16，BC＝8，AC＝6，则△AOC的面积为（　　） A．48 B．24 C．18 D．12 【分析】过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，根据∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，得到OE＝OF＝OD，利用三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为点E， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O， ∴OE＝OD， ∵△OBC的面积16，且BC＝8， ∴， 解得OD＝4， ∴OE＝OD＝4， ∵AC＝6， ∴S△AOC， 故选：D． 8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】由“SAS”可证△BFD≌△CDE，可得∠BFD＝∠CDE，由三角形的外角性质可得∠B＝∠FDE＝65°＝∠C，由三角形内角和定理可求解． 【解答】解：∵BF＝CD，∠B＝∠C，BD＝CE， ∴△BFD≌△CDE（SAS） ∴∠BFD＝∠CDE， ∵∠FDC＝∠B+∠BFD＝∠FDE+∠CDE， ∴∠B＝∠FDE＝65°＝∠C， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°， 故选：A． 9．（3分）在△ABC外部取一点D，得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学的作法： 甲：①作∠A的角平分线l；②以B为圆心，AB长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求； 乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．以下说法正确的是（　　） A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【分析】甲：先根据尺规作图的过程可知∠BAD＝∠CAD，AB＝BD，BC＝BC，两边的夹角不相等，所以这两个三角形不全等；乙：根据平行线的性质得∠ABC＝∠BCD，∠ACB＝∠CBD，再根据BC＝CB，可结合“角边角”得出△ABC≌△DCB，判断答案即可． 【解答】解：如图1， 根据题意可知∠BAD＝∠CAD，AB＝BD，BC＝BC， ∵两边的夹角不相等， ∴这两个三角形不全等； 如图2， ∵AB∥m，AC∥l， ∴∠ABC＝∠BCD，∠ACB＝∠CBD． 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（ASA）， 综上所述，甲错误，乙正确， 故选：D． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①；②若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】由角平分线的定义、三角形的内角和定理得∠AOB与∠C的关系，判定①正确；过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，由三角形的面积证得②正确；在AB上取一点H，使BH＝BE，证△HBO≌△EBO，得∠BOH＝∠BOE＝60°，再证△HAO≌△FAO，得AF＝AH，判定③正确，即可得出结论． 【解答】解：①∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①符合题意； ②过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，如图： ∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O， ∴点O在∠C的平分线上， ∴ON＝OM＝OD＝a， ∵AB+AC+BC＝2b ∴，故②符合题意； ③∵∠C＝60°， ∴∠BAC+∠ABC＝120°， ∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线， ∴， ∴∠AOB＝120°， ∴∠AOF＝60°， ∴∠BOE＝60°， 如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，连接OH， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠HBO＝∠EBO， 在△HBO和△EBO中， ， ∴△HBO≌△EBO（SAS）， ∴∠BOH＝∠BOE＝60°， ∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠AOH＝∠AOF， ∵OA＝OA， ∴△HAO≌△FAO（ASA）， ∴AF＝AH， ∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故③符合题意； 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 　③　 去（填序号）． 【分析】利用三角形全等的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”，即可确定． 【解答】解：第③块玻璃含有两个角，能确定整块玻璃的形状． 第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边， 则可以根据“ASA”来配一块一样的玻璃． 应带③去． 故答案为：③． 12．（3分）如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，若要根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DFE，则需添加的一个条件可以是 　DE＝AC（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【分析】根据直角三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：添加DE＝AC，∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即EF＝CB， 在Rt△ABC与Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：DE＝AC（答案不唯一）． 13．（3分）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点A，B分别在坐标轴上，且∠ABC＝90°，AB＝BC，若点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（0，2），则点C的坐标为 　（2，﹣3）　 ． 【分析】过C作CD⊥y轴于点D，由∠DCB+∠CBD＝90°，∠OBA+∠CBD＝90°可得∠DCB＝∠OBA，从而证明△DCB≌△OBA（AAS），再根据全等三角形的性质即可求出CD＝BO＝2，DB＝OA＝5，通过线段和差与点C在第四象限即可求解． 【解答】解：如图，过C作CD⊥y轴于点D， ∴∠BDC＝∠AOB＝90°， ∴∠DCB+∠CBD＝90°， ∴∠OBA+∠CBD＝90°， ∴∠DCB＝∠OBA， 在△DCB和△OBA中， ， ∴△DCB≌△OBA（AAS）， ∴CD＝BO，DB＝OA， ∴CD＝BO＝2，DB＝OA＝5， ∴OD＝DB﹣BO＝3， ∴点C坐标为（2，﹣3）， 故答案为：（2，﹣3）． 14．（3分）如图，在△ABC中，点D为AC边的中点，过点C作CF∥AB，过点D作直线EF交AB于点E，交直线CF于点F，若BE＝9，CF＝6，△ABC的面积为30，则△CDF的面积为 　6　 ． 【分析】本题可先证明三角形全等，得出线段关系，再通过中点与三角形面积公式求解． 【解答】解：∵点D为AC边的中点，CF∥AB， ∴AD＝DC，∠A＝∠ACF，∠AED＝∠F， ∴△AED≌△CFD（AAS）， ∵CF＝6， ∴AE＝6，AB＝15； ∵点D为AC边的中点， ∴， ∴△ABD的高为2， ∴， 又∵△AED≌△CFD， ∴S△AED＝S△CFD＝6． 故答案为：6． 15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B＝∠CED．若AB＝16，CE＝7，则AE的长为 　2　 ． 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质得出DC＝DF，证明△DCE≌△DFB，得出BF＝CE，求出AF，由HL证明Rt△ADC≌Rt△ADF，得出AC＝AF，即可求出结果． 【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示： ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴DC＝DF， 在△DCE和△DFB中， ， ∴△DCE≌△DFB（AAS）， ∴BF＝CE＝7， ∴AF＝AB﹣BF＝16﹣7＝9， 在Rt△ADC与Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL）， ∴AC＝AF＝9， ∴AE＝AC﹣CE＝9﹣7＝2． 故答案为：2． 16．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度运动，过点E作BC的垂线，交直线CD于点F，当E运动 　2或5　 s时，CF＝AB． 【分析】先证明△CEF≌△ACB（AAS），得出CE＝AC＝7cm，再分两种情况讨论，①当点E在射线BC上移动时；②当点E在射线CB上移动时，据此即可求解． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠CBD＝90°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠ECF， ∴∠ECF＝∠A， ∵EF⊥BC， ∴∠CEF＝∠ACB＝90°， 在△CEF和△ACB中， ， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE＝AC， ∵AC＝7cm， ∴CE＝7cm， ①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动， ∴E移动了； ②当点E在射线CB上移动时，BE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动， ∴E移动了2s； 综上所述，当点E在射线CB上移动2s或5s时，CF＝AB； 故答案为：2或5． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，已知∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∠C＝∠F，求证：△AEC≌△DEF． 【分析】由已知条件可得∠AEC＝∠DEF，再利用“AAS”证明全等即可． 【解答】证明：∵∠AEF＝∠DEC， ∴∠AEF+∠FEC＝∠DEC+∠FEC， 即∠AEC＝∠DEF 在△AEC和△DEF中， ， ∴△AEC≌△DEF（AAS）． 18．（6分）如图，在△ABC中，点F在AB上，D为△ABC外一点，连接AD，有BC∥AD，AD＝AC，连接DF交AC于点E，∠AED＝∠B．求证：BC＝EA． 【分析】根据平行线的性质得到∠C＝∠DAE，结合已知利用AAS证明△ABC≌△DEA，即可证明结论． 【解答】证明：∵BC∥AD， ∴∠C＝∠DAE， 在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（AAS）， ∴BC＝EA． 19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，证明AB⊥DE． 【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E； （2）依据SAS证明△ACE≌△ADE得到∠ACE＝∠ADE，进一步可得结论． 【解答】解：（1）如图，AE为所作∠BAC的平分线； （2）证明：如图．连接DE，由（1）知：∠CAE＝∠DAE， 在△ACE和△ADE中， ， ∴△ACE≌△ADE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ADE， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ADE＝90°， ∴AB⊥DE． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC． （1）求证：AF＝BE； （2）若△BDE的面积为1.4，△ABC的面积为18，求△CFD的面积． 【分析】（1）由∠AFC＝180°﹣∠2，∠BEA＝180°﹣∠1，且∠1＝∠2，得∠AFC＝∠BEA，再推导出∠ACF＝∠BAE，而AC＝BA，即可根据“AAS”证明△ACF≌△BAE，则AF＝BE； （2）由△ACF≌△BAE，得S△ACF＝S△BAE，由CD＝2BD，求得S△ABD＝6，S△ACD＝12，则S△ACF＝S△BAE＝S△ABD﹣S△BDE＝4.6，求得S△CFD＝S△ACD﹣S△ACF＝7.4． 【解答】（1）证明：∵∠AFC＝180°﹣∠2，∠BEA＝180°﹣∠1，且∠1＝∠2， ∴∠AFC＝∠BEA， ∵∠2＝∠CAF+∠ACF，∠BAC＝∠CAF+∠BAE，且∠2＝∠BAC， ∴∠CAF+∠ACF＝∠CAF+∠BAE， ∴∠ACF＝∠BAE， 在△ACF和△BAE中， ， ∴△ACF≌△BAE（AAS）， ∴AF＝BE． （2）解：由（1）得△ACF≌△BAE， ∴S△ACF＝S△BAE， ∵CD＝2BD， ∴S△ACD＝2S△ABD， ∴S△ABD+2S△ABD＝S△ABC＝18， ∴S△ABD＝6，S△ACD＝12， ∵S△BDE＝1.4， ∴S△ACF＝S△BAE＝S△ABD﹣S△BDE＝6﹣1.4＝4.6， ∴S△CFD＝S△ACD﹣S△ACF＝12﹣4.6＝7.4， ∴△CFD的面积为7.4． 21．（10分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若CE＝4，DE＝3，求BE的长． 【分析】（1）证出∠AED＝∠AEF，由角平分线的性质可得出结论； （2）证明Rt△ABF≌△RtACD（HL），由全等三角形的性质可得出BF＝CD＝7，由Rt△AEF≌△Rt△AED（HL）得到EF＝3，利用BE＝BF+FE解答即可． 【解答】（1）证明：∵∠D＝90°， ∴AD⊥DE， ∵EA平分∠DEF， ∴∠AED＝∠AEF， ∴∠AED＝∠AEF， 又∵AF⊥EF， ∴AF＝AD； （2）解：在Rt△ABF和△RtACD中， ， ∴Rt△ABF≌△Rt△ACD（HL）， ∴BF＝CD． ∵CE＝4，DE＝3， ∴CD＝7， ∴BF＝7． 在Rt△AEF和△Rt△AED中， ， ∴Rt△AEF≌△Rt△AED（HL）， ∴FE＝DE， ∵DE＝3， ∴FE＝3， ∴BE＝BF+FE＝7+3＝10． 22．（10分）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 【分析】（1）如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，由角平分线的性质可得OF＝OG，OH＝OG，进而得OF＝OH，再根据角平分线的判定即可求证； （2）由△AOC的面积为12可得OG＝OF＝OH＝4，再根据S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝30可得AB+BC＝15，进而即可求解． 【解答】（1）证明：如图，过点O分别作OF⊥BD，OG⊥AC，OH⊥BE，垂足分别为点F、G、H， ∵AO平分∠CAD，CO平分∠ACE， ∴OF＝OG，OH＝OG， ∴OF＝OH（等量代换）， ∵OF⊥BD，OH⊥BE， ∴点O在∠ABC的角平分线上， 即BO平分∠ABC； （2）解：∵△AOC的面积为12， ∴， ∵AC＝6， ∴， ∴OG＝4， ∴OF＝OH＝OG＝4， ∵S△ABO+S△BCO＝S△ABC+S△AOC＝12+18＝30， ∴， 即， 整理得AB+BC＝15， ∴AB+BC+AC＝15+6＝21， △ABC的周长为21． 23．（12分）【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，如果DE＝100m，求AB间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，中线AD的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，CA的延长线交DE于点F，求证DF＝EF． 【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等的性质得出DE＝AB＝100m； （2）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，再由三角形三边关系即可求解； （3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△DAF，得到DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，再证明△ACG≌△EAF，得到EF＝AG，即可得出结论． 【解答】（1）解：∵AC＝DC，BC＝EC， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴DE＝AB＝100m， （2）解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE＝3， 由三角形三边关系可知，2＜2AD＜8， ∴1＜AD＜4； （3）证明：在BC上截取BG＝AF， ∵∠CAE＝∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF， ∴∠ABC＝∠DAF， 在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△DAF（SAS）， ∴∠DFA＝∠BGA， ∴∠EFA＝∠CGA， 在△ACG与△EAF中， ， ∴△ACG≌△EAF（AAS）， ∴EF＝AG， ∴DF＝EF． 24．（12分）【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　∠BAE+∠FAD＝∠EAF　 ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论； （2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论． 【解答】解：（1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF． 理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+DF， ∴EF＝DF+DG＝FG， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF． 故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF； （2）仍成立，理由： 如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF； （3）结论：∠EAF＝180°∠DAB． 理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE＝∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°， 即2∠FAE+∠DAB＝360°， ∴∠EAF＝180°∠DAB． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形全章培优测试卷 【人教版2024】 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．本卷聚焦全章基础考点与重难点，旨在检测所学内容掌握程度。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3 C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3 2．（3分）如图，已知△ABC各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出、则所画三角形不一定与△ABC全等的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝（　　） A．8 B．或6 C．10 D．或6 4．（3分）如图，AC与BD相交于点O，OD＝OC，有以下四个条件：①∠C＝∠D；②AD＝BC；③∠DAO＝∠CBO；④OA＝OB．从这四个条件中任选一个，能使△DAO≌△CBO的选法种数共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．1种 5．（3分）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC≌△DEF，若∠A＝40°，∠F＝26°，则∠DEF的度数为（　　） A．124° B．66° C．114° D．140° 6．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的三角形有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．7对 7．（3分）如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于点D．若△OBC的面积是16，BC＝8，AC＝6，则△AOC的面积为（　　） A．48 B．24 C．18 D．12 8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 9．（3分）在△ABC外部取一点D，得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学的作法： 甲：①作∠A的角平分线l；②以B为圆心，AB长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求； 乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．以下说法正确的是（　　） A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①；②若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 　 　 去（填序号）． 12．（3分）如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，若要根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DFE，则需添加的一个条件可以是 　 　 （写出一个即可）． 13．（3分）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点A，B分别在坐标轴上，且∠ABC＝90°，AB＝BC，若点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（0，2），则点C的坐标为 　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，点D为AC边的中点，过点C作CF∥AB，过点D作直线EF交AB于点E，交直线CF于点F，若BE＝9，CF＝6，△ABC的面积为30，则△CDF的面积为 　 　 ． 15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B＝∠CED．若AB＝16，CE＝7，则AE的长为 　 　 ． 16．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度运动，过点E作BC的垂线，交直线CD于点F，当E运动 　 　 s时，CF＝AB． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，已知∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∠C＝∠F，求证：△AEC≌△DEF． 18．（6分）如图，在△ABC中，点F在AB上，D为△ABC外一点，连接AD，有BC∥AD，AD＝AC，连接DF交AC于点E，∠AED＝∠B．求证：BC＝EA． 19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AC＝AD． （1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE，证明AB⊥DE． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC． （1）求证：AF＝BE； （2）若△BDE的面积为1.4，△ABC的面积为18，求△CFD的面积． 21．（10分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若CE＝4，DE＝3，求BE的长． 22．（10分）如图，已知OA、OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB． （1）求证：BO平分∠ABC； （2）若AC＝6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长． 23．（12分）【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，如果DE＝100m，求AB间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，中线AD的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，CA的延长线交DE于点F，求证DF＝EF． 24．（12分）【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　 ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $