1.6 线段垂直平分线的性质 教案2025-2026学年浙教版八年级数学上册

初中数学浙教版（新课标） 第一章 三角形的初步认识 1.6线段垂直平分线的性质   一、教材分析 在浙教版八年级上册第1章第6节中，“线段垂直平分线的性质” 是几何部分的重要内容.它承接了之前所学的线段、角等基本几何概念，是对几何图形性质探究的进一步深入，同时也为后续学习等腰三角形、轴对称图形等知识奠定基础，起到承上启下的关键作用. 先通过折纸等操作活动，让学生直观感受线段垂直平分线的定义，再引导学生通过测量、猜想等方式，探究并归纳出线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.接着，以严谨的证明过程论证该性质，体现数学的逻辑性和严谨性.之后安排了利用性质进行尺规作图以及解决实际问题的例题，实现知识从理论到应用的转化.   二、教学目标 1.了解线段垂直平分线的概念，掌握其性质． 2.灵活运用线段垂直平分线的性质解决问题. 3.能用尺规作线段的垂直平分线，提升动手操作能力． 4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识．   三、教学重难点 重点：了解线段垂直平分线的概念，掌握其性质． 难点：运用线段垂直平分线的性质解决问题．   五、教学过程 · 情境导入 弩箭发射的过程中，两段弓弦AB，AC有什么关系？若箭所在的直线为AD，则AD与BC有什么关系? 要回答上述两个问题，就需要我们学习-线段垂直平分线的性质. 师生活动：教师展示弩箭发射的过程，提出问题，学生观察思考． 设计意图：通过弩箭实例，引出线段垂直平分线性质，让学生在生活情境中感知数学，激发学习兴趣与思考． · 探究新知 　　活动一：线段垂直平分线的定义 探究：如图，在纸片上画一条线段AB，对折AB使点A，B重合，沿着折痕作直线CD，设CD与AB的交点为O. 1.AO与BO相等吗？ 预设：相等，理由如下：因为AO与BO完全重合，所以AO=BO. 2.AB与CD有怎样的位置关系？ 预设：垂直，理由如下： 因为∠AOC与∠BOC完全重合， 所以∠AOC=∠BOC， 又∠AOC+∠BOC=∠AOB=180°， 所以∠AOC=∠BOC=90°，即AB⊥CD. 师生活动：鼓励学生动手操作，小组讨论，得出结论，教师指导并纠正． 设计意图：通过折纸操作，让学生动手探究线段垂直平分线定义，在实践、讨论中直观理解 “平分且垂直” 特征，培养动手与归纳能力，为后续学习打基础. 定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 如图，直线l⊥AB于点D，且AD=BD，直线l就是线段AB的垂直平分线. 几何语言： 因为l⊥AB，AD=BD 所以l是线段AB的垂直平分线. 设计意图：通过文字、图形、几何语言，清晰呈现线段垂直平分线定义，帮助学生精准理解概念． 活动二：线段垂直平分线的性质 1.在直线l上任意取一点P，用圆规比较点P到点A，B的距离，你发现了什么？ 预设：点P到A，B的距离相等，即PA=PB. 2.在直线l再任意取一些点，你的结论还是成立吗？ 预设：仍然成立. 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 设计意图：通过让学生在直线l上取点，用圆规比较距离，经历操作、猜想过程，自主发现线段垂直平分线性质，培养探究与归纳能力，加深对性质的理解. 证明：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 已知：如图，直线l⊥AB于点O，且OA=OB，C是直线l上的任意一点.求证:CA=CB. 证明:已知OA=OB，当点C与点O为同一点，即重合时，显然CA=CB. 当点C与点O不重合时, 因为直线l⊥AB(已知) 所以∠COA=∠COB=90°(垂直的定义) 在△AOC和△BOC中， 所以△AOC≌△BOC(SAS) 所以CA= CB (全等三角形的对应边相等) 总结：关于线段的垂直平分线，有如下的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言： 因为l垂直平分AB(l⊥AB，AO=BO) 所以 CA=CB. 师生活动：教师通过圆规或直尺比较、讨论、总结等方法引导学生探究线段垂直平分线的性质，学生动手操作和思考讨论，教师进行总结． 设计意图：通过严谨证明推导线段垂直平分线性质定理，规范几何推理，帮助学生理解定理本质，掌握证明方法，提升逻辑推理能力. 做一做：弩箭发射的过程中，两段弓弦AB，AC有什么关系？若箭所在的直线为AD，则AD与BC有什么关系? 预设：AB=AC，使弓弦受力均衡，让箭发射更稳定.因为AB=AC，根据垂直平分线的性质有直线AD是BC的垂直平分线即AD⊥BC，BD=CD. 设计意图：结合弩箭实例，运用线段垂直平分线性质，让学生在生活情境中巩固知识，理解数学应用价值. · 应用新知 【教材例题】 例1已知线段AB，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线. 分析：要作线段AB的垂直平分线，只需找出线段AB的垂直平分线上的两个点，这两个点到点A，B的距离分别相等. 作法：如图． 1.分别以点A，B 为圆心，大于线段AB的长为半径作弧，两段弧相交于点C，D； 2.作直线CD． 直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线． 思考：你能说明上述作法的道理吗? 预设：如图，记CD与AB的交点为O，连结AC，BC，AD，BD.由作法易得△ACD≌△BCD(SSS)， 则∠ACO=∠BCO(全等三角形的对应角相等)，从而可证△ACO≌△BCO(SAS)， 所以∠AOC=∠BOC=90°，AO=BO. 例2如图，在△ABC中，AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.已知△ACD的周长是15cm，求AB和AC的长. 分析：根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得CD=BD，则△ACD 的周长可转化为AB+AC，由此可获得AB和AC之间的数量关系. 解：因为DE是BC的垂直平分线，所以CD=BD， 所以△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB. 由题意，得AB-AC=3，AB+AC=15. 解得AB=9，AC=6. 所以AB的长为9cm，AC的长为6cm. 总结：遇到线段垂直平分线问题，优先运用其 “线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等” 的性质，实现线段等量代换，将未知线段关系转化为已知条件，结合周长、长度差等信息，通过方程（组）求解线段长度. 经典例题 例3 如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)? 分析：连接AB，作线段AB的垂直平分线，与公路l的交点就是所要建的公共汽车站C. 解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E. 因为EO是线段AB的垂直平分线， 所以点O到A，B的距离相等， 所以这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长． 师生活动：教师讲解例1、例2、例3的解题思路和方法，引导学生分析问题，让学生自己思考解答，然后教师进行讲解和总结，强调解题的关键和注意事项． 设计意图：通过作垂直平分线、利用性质解题、实际应用作图等例题，让学生掌握线段垂直平分线的作图与性质运用，提升知识应用和解决实际问题的能力． · 课堂练习 教材练习 1.已知：如图，直线AD是线段BC的垂直平分线，连结AB，AC，DB，DC. 求证：△ABD≌△ACD. 证明：因为直线AD是线段BC的垂直平分线， 所以AB=AC，BD=CD. 在△ABD和△ACD中， 所以△ABD≌△ACD（SSS）. 2.如图，已知直线l和直线外一点A.用直尺和圆规作过点A的直线l的垂线. 作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于B，C两点； ②分别以B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧交于点D； ③连接AD，则直线AD即为过点A垂直于直线l的垂线. 自选练习 3.如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论不一定成立的是(　 ) A.AE＝BE B.AD＝AC C.AD＝BD D.∠BED＝90° 答案：B. 4.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于(　 ) A．80° B．70° C．60° D．50° 答案：C. 5.在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交AB于点D，交AC于点E.且∠EBC＝40°，求∠A及∠BED的度数． 解：如图. 因为∠C＝90°，∠EBC＝40°， 所以∠BEC＝50°.又因为ED是AB的中垂线， 所以ED⊥AB，AE＝BE，所以∠A＝∠EBA， 因为∠A＋∠EBA＋∠AEB＝180°，∠AEB＋∠BEC＝180°， 所以∠BEC＝∠A＋∠EBA，∠BEC＝2∠A＝50°，所以∠A＝25°， 因为ED⊥AB，所以∠EDB＝90°， 所以∠BED＝90°-∠EBA＝90°-25°＝65°. 6.如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长． 解：因为△ABC的周长为28，BC＝8且AB＝AC， 所以AB＋AC＋BC＝28，即2AC＋BC＝28， 所以AC＝10. 因为DE垂直平分AB，所以BE＝AE， 所以△BCE的周长为BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC＝10＋8＝18. 即△BCE的周长是18. 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握线段垂直平分线的定义及性质，提高学生的解题能力和应用能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.说一说，线段垂直平分线的定义？ 3.线段垂直平分线的性质定理是怎样的，你能用几何语言表示吗？ 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备． 学科网（北京）股份有限公司 $