1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（2）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2 用空间向量研究 距离、夹角问题 KAI的小炸鸡 2. 用空间向量研究夹角问题 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 回顾 点到直线的距离 两平行线之间的距离 点到平面的距离 直线到平面的距离 两个平行平面间的距离 单位方向向量 d= α 两点间的距离 2 导入 问题1：空间中有哪些夹角问题？如何研究夹角问题？ 直线与直线所成的角 直线与平面所成角 平面与平面所成角 空间中的角 空间中的角 空间向量的夹角 新知 1. 直线与直线所成角 异面直线l1, l2所成的角为θ，其方向向量分别是 思考：一定成立吗？它们的关系是什么？ l1 l2 l1 l2 O O 4 例题 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中， M， N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值． A C D B M N 解： 设，，， 则为空间的一个基底， 则 =. 设，则直线和夹角的余弦值等于. 1、化为向量问题 5 例题 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中， M， N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值． A C D B M N 又和为正三角形，， ∴ 2、进行向量运算 3、回到图形问题 ∴直线和夹角的余弦值为. 6 新知 2. 直线与平面所成角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量，平面α的法向量为. 思考：一定成立吗？它们的关系是什么？ = 设 7 新知 3. 平面与平面所成角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角 称为平面α与平面β的夹角. 两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角相等或互补. 二面角范围 平面间夹角范围 8 新知 3. 平面与平面所成角 设平面α与平面β所成的角为θ，平面α与平面β的法向量分别是，. 思考：一定成立吗？它们的关系是什么？ 设 9 例题 例7 如图示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上， A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. 求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 Q P R x y z 解： 以为原点，所在直线为,,轴， 建系如图. 设平面的法向量为， ∵面， ∴面的法向量为. 又，∴ 10 例题 例7 如图示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上， A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. 求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 Q P R x y z 设平面的法向量为， 则， 令. 则. 设平面与平面的夹角为，则 ∴平面PQR与平面的夹角余弦值为. 11 练习 书本P38 1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1, F1分别是A1B1, A1C1的中点，BC=CA =CC1. 则BD1与AF1所成角的余弦值是( ). A C B A1 C1 B1 F1 D1 x y z A 12 练习 书本P41 3. 如图，在三棱锥O-ABC中，OA, OB, OC两两垂直，OA=OC=3， OB=2. 求直线OB与平面ABC所成角的正弦值. B O C A x y z 13 练习 书本P41 3. 如图，在三棱锥O-ABC中，OA, OB, OC两两垂直，OA=OC=3， OB=2. 求直线OB与平面ABC所成角的正弦值. B O C A x y z 14 练习 书本P38 3. 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面 A1BC1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 x y z O 15 练习 书本P38 3. 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面 A1BC1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 x y z O 16 练习 书本P38 4. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (1) 直线AD与直线BC所成角的大小; x y z O D B C A 17 练习 书本P38 4. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (2) 直线AD与平面BCD所成角的大小; x y z O D B C A 18 练习 书本P38 4. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (3) 平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. x y z O D B C A 19 练习 书本P38 4. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (3) 平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. x y z O D B C A 20 总结 直线与直线所成的角θ 直线与平面所成角θ 平面与平面所成角θ 21 $