专题4.3 对数（第二课时）（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题4.3 对数（第二课时） 教学目标 1.理解对数的运算性质； 2.会用对数的运算性质进行一些简单的化简、计算； 3.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算； 4.通过运用对数的运算性质进行化简求值，提升学生的数学抽象素养和数学运算素养。 教学重难点 1.重点 对数的运算性质及换底公式； 2.难点 与对数相关的综合问题. 知识点01 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 对数运算中的常见公式及推广(选讲) (1)loga＝logaM(M＞0，n∈N*，n＞1，a＞0，且a≠1)； (2)loga＝－logaM(M＞0，a＞0，且a≠1)； (3)loga＝logaM(M＞0，n，p∈N*，p，n＞1，a＞0，且a≠1)； (4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a＞0，且a≠1). 【即学即练】 1． 下列各等式正确的为（   ） A.log23·log25＝log2(3×5) B.lg 3＋lg 4＝lg(3＋4) C.log2＝log2x－log2y D.lg＝lg m(m>0，n>1，n∈N*) 【答案】D 【解析】A，B显然错误，C中，当x，y均为负数时，等式右边无意义. 故选：D 2． 已知a>0，且a≠1，x>y>0，则下列结论正确的是（   ） A.loga(x－y)＝logax－logay B.＝logax－logay C.loga＝logax－loga D.loga＝ 【答案】C 【解析】logax－logay＝loga，故A，B错误，D错误. 故选：C 知识点02 换底公式 一般地，logaN＝，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 这个公式称为对数的换底公式，用语言可表示为：一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示. 换底公式的推论：（1）=；（2）= 【即学即练】 1．若log5·log36·log6x＝2，则x等于（   ） A．9 B． C．25 D． 【答案】D 【解析】　log5·log36·log6x＝－log53·log36·log6x＝－log5x，则log5x＝－2，则x＝5－2＝. 故选：D. 2． log23×log34×log45×log52＝________． 【答案】1 【解析】log23×log34×log45×log52＝×××＝1. 故答案为：1 题型01 对数的运算性质 【典例1】化简下列各式： （1）； （2） （3） 【答案】（1）4；（2）；（3）2 【解析】（1）原式. （2） 原式 （3） 原式 【变式1】计算=____________； 【答案】 【解析】原式 . 故答案为： 【变式2】已知为自然对数的底数，则 ． 【答案】 【分析】直接根据对数运算的性质得到答案. 【解析】. 故答案为：. 【变式3】用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xyz)； (2)lg； (3)lg； (4)lg. 【答案】答案见解析 【解析】(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z. (2)lg＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z. (3)lg＝lg(xy3)－lg＝lg x＋3lg y－lg z. (4)lg＝lg－lg(y2z)＝lg x－2lg y－lg z. 【变式4】 . 【答案】/ 【分析】根据指数与对数的运算公式直接计算. 【解析】 . 故答案为：. 题型02 利用对数的运算性质化简求值 【典例1】求值：(1)；(2)log535－2log5＋log57－log51.8. 【答案】答案见解析 【解析】(1)原式＝＝＝. (2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2. 对数式化简与求值的基本原则和方法： (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行； (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 【变式1】 【答案】 【分析】利用指数的运算法则、对数恒等式以及对数的运算法则进行求解； 【解析】原式 【变式2】2log32－log3＋log38－3log55=______________ 【答案】－1. 【解析】原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3 ＝log3(22×32×2－5×23)－3 ＝log332－3 ＝2－3 ＝－1. 【变式3】求值： (1)； (2)． 【答案】(1)3；(2)2 【解析】（1） . （2） . . 题型03 对数中的求值(用代数式表示)问题 【典例1】已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 所以 故选：B. 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【变式1】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以． 故选：D. 【变式2】已知，，则 【答案】 【解析】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 【变式3】若，则 ． 【答案】 【解析】由题意得， . 故答案为： 【变式4】已知，则 【答案】 【解析】，则， 即. 故答案为：. 题型04 对数换底公式的应用 【典例1】（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），， ，， ； （2），， ． 利用换底公式求值的思想与注意点： 【变式1】（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 . 故选：D 【变式2】（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】，所以，所以，故A正确，B错误；，故C错误，D正确． 故选：AD 【变式3】已知则 . 【答案】1 【解析】由题意得，， ∴. 故答案为：1. 【变式4】已知，求证：. 【答案】证明见解析； 【解析】令， 则，，， 所以. 题型05 对数的综合应用 【典例1】（多选）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数与对数的互化，设，得，，，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解． 【解析】已知正实数，则设，所以，，， 对于A，因为 ， 又，所以，所以，即，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ， 又因为，故等号不成立，所以，即，故D正确， 故选：ACD． 求解与对数有关的各种求值问题的三个注意点： (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法； (3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题． 【变式1】若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数运算可得，利用基本不等式可求的最小值. 【解析】由，可得，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【变式2】已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 【答案】 【解析】设，则原方程化为，，即，所以 ． 故答案为： 【变式3】已知，，且，其中所有正确结论的序号是 ． 1．    2．   3．         4． 【答案】 【解析】因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以1正确； 因为，，且，所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以2正确； 因为，，且，所以，且，所以，即，所以3正确； 因为，，且，所以，且， 所以，因为，所以，所以4错误. 故答案为： 【变式4】已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【答案】(1)①；②；(2) 【解析】（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 题型06 利用对数运算解决实际问题 【典例1】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 【答案】(1)；(2)；（3） 【解析】（1）当时，，当时，，即. ， （2）当时，，即15h后，还剩的污染物. （3）设污染物减少40%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得. ，即污染物减少40%大约需要花h. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算． 【变式1】努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（    ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 【答案】A 【解析】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 【变式2】春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 【答案】A 【解析】静止时，即时，， 时，， 所以， 故选：A. 【变式3】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 【答案】(1)，；(2)王老师大约等待20min 【分析】（1）由题意得，结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可； （2）令，进而结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可. 【解析】（1）由题意，得， 即，即，解得， 此时. （2）令，即， 即，解得， 所以王老师大约等待20min. 1．（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由对数的运算化简可得结果. 【解析】 . 故选：A 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【解析】， ，. 故选：D. 3．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】指数式化为对数式，利用对数运算法则得到，再对数式化为指数式，得到. 【解析】， . 故选：C 4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（    ）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：） A．130天 B．149天 C．120天 D．155天 【答案】B 【解析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的20倍， 则， . 故选：B 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 6．已知正实数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 令，则， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 故选：C 7．（多选）下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，，所以，所以，所以A正确；对于B，由，得，故，所以B正确；对于C，设，取对数得.所以.所以C正确；对于D，因为，所以，所以，所以D错误. 故选：ABC 8．（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，所以， 所以，所以A错误； ，B正确； ，所以，C错误； 因为，，所以，D正确. 故选：BD. 9．（多选）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为正实数满足，所以， 所以，解得，当且仅当， 即时，取到最小值4，故A正确； 对于B，由得， 所以， 当且仅当即时，取到最小值，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，所以， 当且仅当即时，取到最小值，故C正确； 对于D，，由A选项可知， 由函数在上单调递减可知，， 所以，故D正确. 故选：ACD 10．若，则的值为 ． 【答案】12 【解析】由题意得 故答案为：12 11．已知，，用，表示 ． 【答案】 【解析】因为，，， ， 所以，， . 故答案为：. 12．数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字x的素数个数可以表示为．根据欧拉得出的结论，可估计以内的素数的个数为 （注：素数即质数，）． 【答案】8686 【解析】． 故答案为：8686 13．（1）设，求的值； （2）已知，且，求； （3）求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）3 【解析】由，两边同时取以6为底数的对数，得，所以，所以． （2）令，所以，所以，由，得，所以，所以． （3）原式． 14．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 对数（第二课时） 教学目标 1.理解对数的运算性质； 2.会用对数的运算性质进行一些简单的化简、计算； 3.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算； 4.通过运用对数的运算性质进行化简求值，提升学生的数学抽象素养和数学运算素养。 教学重难点 1.重点 对数的运算性质及换底公式； 2.难点 与对数相关的综合问题. 知识点01 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 对数运算中的常见公式及推广(选讲) (1)loga＝logaM(M＞0，n∈N*，n＞1，a＞0，且a≠1)； (2)loga＝－logaM(M＞0，a＞0，且a≠1)； (3)loga＝logaM(M＞0，n，p∈N*，p，n＞1，a＞0，且a≠1)； (4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a＞0，且a≠1). 【即学即练】 1． 下列各等式正确的为（   ） A.log23·log25＝log2(3×5) B.lg 3＋lg 4＝lg(3＋4) C.log2＝log2x－log2y D.lg＝lg m(m>0，n>1，n∈N*) 2． 已知a>0，且a≠1，x>y>0，则下列结论正确的是（   ） A.loga(x－y)＝logax－logay B.＝logax－logay C.loga＝logax－loga D.loga＝ 知识点02 换底公式 一般地，logaN＝，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 这个公式称为对数的换底公式，用语言可表示为：一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示. 换底公式的推论：（1）=；（2）= 【即学即练】 1．若log5·log36·log6x＝2，则x等于（   ） A．9 B． C．25 D． 2． log23×log34×log45×log52＝________． 题型01 对数的运算性质 【典例1】化简下列各式： （1）； （2） （3） 【变式1】计算=____________； 【变式2】已知为自然对数的底数，则 ． 【变式3】用lg x，lg y，lg z表示下列各式： (1)lg(xyz)； (2)lg； (3)lg； (4)lg. 【变式4】 . 题型02 利用对数的运算性质化简求值 【典例1】求值：(1)；(2)log535－2log5＋log57－log51.8. 对数式化简与求值的基本原则和方法： (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行； (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 【变式1】 【变式2】2log32－log3＋log38－3log55=______________ 【变式3】求值： (1)； (2)． 题型03 对数中的求值(用代数式表示)问题 【典例1】已知，用表示为（   ） A． B． C． D． 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【变式1】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则 【变式3】若，则 ． 【变式4】已知，则 题型04 对数换底公式的应用 【典例1】（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示． 利用换底公式求值的思想与注意点： 【变式1】（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知则 . 【变式4】已知，求证：. 题型05 对数的综合应用 【典例1】（多选）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 求解与对数有关的各种求值问题的三个注意点： (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法； (3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题． 【变式1】若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 【变式3】已知，，且，其中所有正确结论的序号是 ． 1．    2．   3．         4． 【变式4】已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 题型06 利用对数运算解决实际问题 【典例1】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算． 【变式1】努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（    ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 【变式2】春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 【变式3】中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 1．（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．若，且，则（   ） A． B． C． D． 4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（    ）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：） A．130天 B．149天 C．120天 D．155天 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 6．已知正实数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列关系表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 8．（多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．若，则的值为 ． 11．已知，，用，表示 ． 12．数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字x的素数个数可以表示为．根据欧拉得出的结论，可估计以内的素数的个数为 （注：素数即质数，）． 13．（1）设，求的值； （2）已知，且，求； （3）求的值． 14．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $