专题3.3 基本不等式（第二课时）（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题3.3 基本不等式（第二课时） 教学目标 1.加深对基本不等式的理解 2.会用基本不等式解决一些简单的实际问题； 教学重难点 1.重点 化实际问题为数学问题； 2.难点 会恰当地运用基本不等式求几何中的最值. 知识点01 基本不等式在几何中的应用 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 【即学即练】 1．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 2．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（    ） A．如果,那么 B．如果,那么 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立 知识点02 基本不等式在实际问题中的应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【即学即练】 1．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 2．我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量x（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2023年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 知识点03 基本不等式求最值的进一步应用 用基本不等式求最大（小）值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值 ； 注：在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三相等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 【即学即练】 1．若，，则的最小值为 ． 2．已知，，，则的最大值为 ． 题型01 基本不等式在几何中的应用 【典例1】1．数学里有一种证明方法叫做，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米180元和80元，那么水池的最低总造价为（    ） A．1000元 B．2000元 C．2720元 D．4720元 【变式2】如图所示，在边长为1的正方形中，点、分别在线段、上运动．若的周长为定值2，的面积为，则的大小为 ，面积的最小值为 . 【变式3】如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【变式4】某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 题型02 基本不等式在实际问题中的应用 【典例1】某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【变式1】已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【变式2】一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（    ） A．大于10克 B．等于10克 C．小于10克 D．与砝码放置顺序有关 【变式3】制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（    ） A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m 【变式4】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. (1)现有可围长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 题型03 双换元法求最值 【典例1】若实数 满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 【变式1】已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】设m，n为正数，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【变式3】设，，且，则的最小值是 ． 【变式4】已知实数、满足，则的最小值为 ． 题型04 齐次化求最值 【典例1】已知正数，则的最大值为 ． 【变式1】已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 题型05 多次使用基本不等式求最值 【典例1】若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式1】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【变式2】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【变式5】对任意的正实数，且满足，则的最小值为 . 【变式6】已知，，，则的最小值为 ． 题型06 利用基本不等式在恒成立（有解）问题中求参数的范围 【典例1】已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【变式3】若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式4】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 1．已知，，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 2．若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 3．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 4．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，下列推理正确的是（    ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 5．如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 6．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 7．（多选）下列有关最值的结论中，正确的是（    ） A．已知，则函数的最大值为0 B．已知，，则的最小值为8 C．已知，，则的最大值为4 D．已知，为实数，则的最大值为 8．（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（多选）下列说法中正确的为（    ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为7 10．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 11．已知，则的最小值为 ． 12．已知的最小值为 . 13．如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 14．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 基本不等式（第二课时） 教学目标 1.加深对基本不等式的理解 2.会用基本不等式解决一些简单的实际问题； 教学重难点 1.重点 化实际问题为数学问题； 2.难点 会恰当地运用基本不等式求几何中的最值. 知识点01 基本不等式在几何中的应用 基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 【即学即练】 1．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，可得圆的半径为， 又由， 在直角中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 2．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（    ） A．如果,那么 B．如果,那么 C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立 D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立 【答案】C 【解析】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明, 故选：C 知识点02 基本不等式在实际问题中的应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【即学即练】 1．已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【答案】C 【解析】由题设，总成本为，则每个面包的总成本，当且仅当 故选：C 2．我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量x（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2023年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当2023年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元 【解析】（1）当时，； 当时，， 所以 （2）当时，，当时，万元； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，万元. 因为，故最大利润是8250万元. 答：当2023年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 知识点03 基本不等式求最值的进一步应用 用基本不等式求最大（小）值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 2 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值 S2 ； 注：在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三相等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 【即学即练】 1．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，， 所以， 当且仅当且，解得：， 所以的最小值为. 故答案为：4 2．已知，，，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立 故答案为： 题型01 基本不等式在几何中的应用 【典例1】1．数学里有一种证明方法叫做，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，可推出三角形也为等腰直角三角形， 所以图1的阴影部分面积， 图2阴影部分的面积， 由两图阴影部分面积关系直观得出，即，当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【变式1】建造一个容积为，深为的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米180元和80元，那么水池的最低总造价为（    ） A．1000元 B．2000元 C．2720元 D．4720元 【答案】B 【解析】由题意，设水池底面一边长为，则另一边长为，总造价，当且仅当，即时，等号成立． 【变式2】如图所示，在边长为1的正方形中，点、分别在线段、上运动．若的周长为定值2，的面积为，则的大小为 ，面积的最小值为 . 【答案】 / / 【解析】由题意不妨设，，则，，， 则， 空：将绕点顺时针旋转得到，如图， 则，，，， 所以与全等，则， 所以； 空：由题意的面积， 由，令，， 则，， 将代入得 所以， 因为，，，则； 因为，， 由根与系数关系可得：和是方程的实根， 其判别式为非负即， 解二次不等式可得：，因为且，所以， 所以的最小值在时取到，此时. 故答案为：；. 【变式3】如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1)；(2)m时，取得最小值1200. 【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围； （2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200. 【解析】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 【变式4】某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)，当时，取得最小值；(2)或 【解析】（1）由题图知， 所以，即， 解得， 所以． 因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以即当时，取得最小值． （2）因为矩形的面积大于， 所以，化简得， 即， 解得或． 题型02 基本不等式在实际问题中的应用 【典例1】某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1)；(2)；(3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【解析】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【变式1】已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（   ） A．20个 B．30个 C．40个 D．50个 【答案】C 【分析】根据题设有每个面包的总成本，应用基本不等式求结果. 【解析】由题设，总成本为，则每个面包的总成本， 当且仅当时取等号，故每个面包的总成本最小，每天应制作40个. 故选：C. 【变式2】一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（    ） A．大于10克 B．等于10克 C．小于10克 D．与砝码放置顺序有关 【答案】A 【解析】设天平左臂长为，右臂长为 第一次称重：左盘放砝码，右盘黄金质量为，根据杠杆原理，，解得：​ 第二次称重：右盘放砝码，左盘黄金质量为，根据杠杆原理，，解得 两次黄金总质量为： 因为，由基本不等式（当且仅当时取等号），所以： 因此，顾客得到的黄金实际克数大于克 故选：A. 【变式3】制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（    ） A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m 【答案】C 【分析】设一条直角边为，由面积和勾股定理求出另外两条边，再结合基本不等式求周长最小值即可； 【解析】设一条直角边为，由于面积为1，所以另一条直角边为， 所以斜边长为， 所以周长为， 当且仅当且，即时取等号， 所以较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为5m， 故选：C. 【变式4】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位：）、宽为b（单位：）（a，b都为正数）. (1)现有可围长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ 【答案】(1)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为. (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 【分析】（1）先由题意得，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积S的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出l的最小值以及此时的值. 【解析】（1）由题得即，， 设每间虎笼面积为S，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以即， 所以每间虎笼的长、宽时，可使每间虎笼面积最大，面积最大为. （2）由题意可得， 设钢筋网总长为l，则， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小，最小值为48m. 题型03 双换元法求最值 【典例1】若实数 满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设得使用基本不等式求解即可 【解析】法1由实数 满足，，设，解得， 则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为 法2令，则， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 【变式1】已知正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【解析】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 故选：D. 【变式2】设m，n为正数，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值. 【解析】令，则，且，， 又， 而， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【变式3】设，，且，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】设得，使用基本不等式求解即可 【解析】设，则，， ， 当且仅当即，时等号成立， 故当，时，取最小值. 故答案为： 【变式4】已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，得，，使用基本不等式求解即可 【解析】因为实数，满足，化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为： 题型04 齐次化求最值 【典例1】已知正数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将分母变为，分别利用基本不等式即可求得最大值. 【解析】（当且仅当，时取等号）， 的最大值为. 故答案为：. 【变式1】已知为非零实数，，均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【解析】因为为非零实数，，，均为正实数， 则 ， 当且仅当且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：B． 【变式2】不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值，然后解不等式即得. 【解析】因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，则， 又，所以， 即， 所以的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：D. 题型05 多次使用基本不等式求最值 【典例1】若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】， 其中，其中， 当时，即时，等号成立， ，当，即时等号成立， 当满足，即，时，两个等号同时成立， 所以的最小值为8. 故选：C 【变式1】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】A 【解析】由，得，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：A 【变式2】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，当且仅当时取“”， 所以， 当且仅当，即，时取“”， 所以最小值为． 故选：C． 【变式3】已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 【变式4】已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】先化简提公因式再应用，a，b应用基本不等式，再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可. 【解析】由条件知 ，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18． 故答案为：18. 【变式5】对任意的正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意将原式整理成，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可求得当，时的最小值为. 【解析】由正实数，且可得 ; 当且仅当时，即时，等号成立； 又， 当且仅当，即时，等号成立； 所以当，时，等号成立，此时的最小值为. 故答案为： 【变式6】已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解得，再根据取等号的条件可得，判断出的范围，进而判断得的范围，可得，可得所求最小值. 【解析】 ， 当且仅当，即时取“＝”， 此时，∵，， ∴，∴，∴， ∴原式，此时，，． 故答案为： 题型06 利用基本不等式在恒成立（有解）问题中求参数的范围 【典例1】已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值，然后解不等式即得. 【解析】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即，然后解不等式即得． 故选：C 【变式1】已知，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形后利用基本不等式求出最大值. 【解析】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 【变式2】知，且，若有解，则实数m的取值范围为（    ） A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9） 【答案】A 【分析】由有解，可知只要大于的最小值即可，所以结合基本不等式求出的最小值，再解关于的不等式即可 【解析】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9， 因为有解，所以，即， 解得或， 故选：A. 【变式3】若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【解析】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 【变式4】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 1．已知，，，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用将化为积为定值的形式，再根据基本不等式可求出结果. 【解析】因为，， 所以 ， 当且仅当，即，又，所以，时，等号成立. 故的最小值为. 故选：A. 2．若不等式对任意正数恒成立，则实数x的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】将不等式对任意正数恒成立，化为恒成立，利用基本不等式求得的最小值，即可求得答案. 【解析】由题意不等式对任意正数恒成立， 即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当时，等号成立， 故，即实数x的最大值为， 故选：C 3．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（   ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 【答案】B 【解析】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为；第二种方案的均价为．因为，当且仅当时，等号成立，所以无论油价如何变化，第二种方案更划算． 故选：B 4．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，下列推理正确的是（    ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】D 【解析】A选项：由图（1）和图（2）面积相等可得，所以，A错误； B选项：因为，所以，得， 设图（3）中正方形边长为t，因为小三角形（青）与相识， 所以，解得，所以， 因为，所以，整理得，B错误； C选项：因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，C错误； D选项：因为，所以，整理得，D正确. 故选：D 5．如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题意知，所以．因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立． 故选：C 6．若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可. 【解析】不等式有解， ， ， ， 当且仅当，等号成立， ，，， 实数的取值范围是． 故选：D． 7．（多选）下列有关最值的结论中，正确的是（    ） A．已知，则函数的最大值为0 B．已知，，则的最小值为8 C．已知，，则的最大值为4 D．已知，为实数，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】对于A，，则， ，当且仅当，即时取等号，A错误； 对于B，由，，得，且，， ， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，，由，得， 解得，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，显然要取到最大值，必有， 此时， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 8．（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解. 【解析】令，，因为，，所以，， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故选：AB 9．（多选）下列说法中正确的为（    ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为7 【答案】ACD 【解析】对于A选项，中，，中，所以可以推出， 但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误； 对于C选项，因为，所以 则， 当且仅当时，即时，取“=”，故C正确； 对于D选项，设，，则，且， 则， 其中， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：ACD. 10．不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【解析】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，，等号成立当且仅当， 所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 11．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 12．已知的最小值为 . 【答案】 【解析】由，得到，所以， 则， 又，所以， 当且仅当，即时取等号， 又， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 13．如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米. (1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为10米，求的最小值. 【答案】(1)育苗区的长为，宽为；(2) 【分析】（1）利用基本不等式求解和的最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】（1）依题意，，所用篱笆总长为，而， 当且仅当，即，时取等号， 所以育苗区的长为，宽为时，所用篱笆总长最小. （2）依题意，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值. 14．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，；(2)；(3) 【解析】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$