精品解析：江苏省镇江市2025-2026学年高三上学期期初监测数学试题

2025~2026学年第一学期镇江市高三期初监测 数学试卷 2025.9.16 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. “” 是“”的（    ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 下列函数为偶函数是（ ） A B. C. D. 4 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 5 D. 10 7. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知对于，恒有，且当时，.对于，不等式恒成立，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导结果正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植同一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量与田块数的关系（单位：），并整理下表 亩产量 田块数 6 12 18 30 24 10 据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于 B. 100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例低于 C. 100块稻田亩产量的极差介于至之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于至之间 11. 边长为1的正方体中，向量，则（ ） A. 若，则存在点，有 B. 若，则 C. 若，则最小值为 D. 若，则三棱锥的体积为定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的取值如下表： 0 1 3 4 从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则______. 13. 某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有__________（用数字作答）种. 14. 商场为了迎接促销，举办抽奖活动，奖池内有编号为的大小相同、质地均匀的4个乒乓球.乒乓球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖（鼓励奖）.规则是：每人可连续抽奖2次，每次抽完后将乒乓球放回奖池，记第次抽到的奖品等级为，某顾客第一次没有抽到一等奖，且第二次抽到一等奖的概率是__________；用表示“两次抽到的等级差”，则的数学期望为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值. 16. 已知. （1）当时，，求中的最大值； （2）若，求. 17. 已知函数. （1）若的定义域和值域均是，求实数的值； （2）若，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 18. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在天安门广场隆重举行.某部队观看阅兵直播结束后，就举行了射击比赛.每个参赛队由两名战士组成，比赛分为两个阶段.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名战士射击3次，若3次都未射中靶子，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少射中靶子一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名战士射击3次，每次射中靶子得5分，未射中靶子得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲､乙两名战士组成，甲每次射中靶子的概率为，乙每次射中靶子的概率为，各次射击中靶与否均相互独立. （1）若，甲参加第一阶段比赛，求甲､乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. （2）假设， （i）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ （ii）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ 19. 已知四棱锥底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的大小； （3）如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期镇江市高三期初监测 数学试卷 2025.9.16 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意知，故选B. 【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题. 2. “” 是“”的（    ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当，时，满足，此时， 当，时，满足，此时， 所以“” 是“”的既不充分又不必要条件， 故选：D 3. 下列函数为偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指、对数函数奇偶性的定义判断各选项即可. 【详解】对于A，函数定义域为，，所以为奇函数，故A错误； 对于B，由可得，所以函数的定义域为， ，所以为奇函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， ， 所以为偶函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 4. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合随机事件的关系运算即可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 又，所以， 则. 故选：C. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 6. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，再根据点到的距离计算可得. 【详解】因为、， 所以， 又平面的一个法向量， 所以点到的距离. 故选：A 7. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数来判断单调性，进而求出最值可得答案. 【详解】因为，所以的定义域为. ， 令，即，得， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以时取得最大值，即， 又，即最小值为. 所以的值域为. 故选：C 8. 已知对于，恒有，且当时，.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件，恒有，运用特殊值法推出函数奇偶性，利用当时，，结合推出函数单调性，结合上述性质对不等式进行化简后构造函数并求导，结合导数分情况讨论得出实数的取值范围. 【详解】已知对于，恒有， 令，则， 令，则，所以为奇函数. 任取，则，已知当时，，则， 又，则， ，故为上的减函数，因， 由可得， 因为上的减函数，故对于恒成立， 令，则对于恒成立. 求导得， 当时，，在上单调递增，当时，，不合题意； 当时，令，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 在处取最小值， 要使恒成立，需使，即， 解得； 当时，，因为对于恒成立，符合题意. 综上，. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的四则运算一一计算即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：BD. 10. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植同一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量与田块数的关系（单位：），并整理下表 亩产量 田块数 6 12 18 30 24 10 据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于 B. 100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例低于 C. 100块稻田亩产量的极差介于至之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于至之间 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，计算出前三段频数即可判断；对于B，计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断；对于C，根据极差计算方法即可判断；对于D，根据平均值计算公式即可判断． 【详解】对于A，根据频数分布表可知，，所以亩产量的中位数不小于1050kg，故A错误； 对于B，亩产量不低于1100kg的频数为，所以低于1100kg的稻田占比为，故B正确； 对于C，稻田亩产量的最大在区间内，最小在区间内，故极差在范围内，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误。 故选：BC． 11. 边长为1的正方体中，向量，则（ ） A. 若，则存在点，有 B. 若，则 C. 若，则的最小值为 D. 若，则三棱锥的体积为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间中点线面位置关系，和空间向量基本定理，空间中四点共面的判定方法，以及空间向量的共线、模长的表示方法，和三棱锥体积的求法，逐一判断各选项的正误，求出结果； 【详解】 如图所示： 已知， 当时，即， 解得，由，所以不满足条件，不存在点使得，所以A错误； 当时，，， ，所以，所以B正确； 由题意知， 所以， 由不等式可知， 因为，所以，所以； 由均值不等式可知， 所以，所以C正确； 当时，点与三点共面，即面， 由正方体的性质可知， 所以面面，可得三棱锥的体积为定值； 即，正方体棱长为1，则，所以D错误； 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的取值如下表： 0 1 3 4 从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由表中数据计算出，，根据线性回归方程过样本中心点即可求解. 【详解】由表中数据，计算得：，， 又线性回归方程过样本中心点，所以，解得. 故答案为： 13. 某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有__________（用数字作答）种. 【答案】144 【解析】 【分析】利用捆绑法、分步乘法计数原理和间接法求解. 【详解】6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有（种）， 6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有（种）， 所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（种）. 故答案为：144. 14. 商场为了迎接促销，举办抽奖活动，奖池内有编号为的大小相同、质地均匀的4个乒乓球.乒乓球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖（鼓励奖）.规则是：每人可连续抽奖2次，每次抽完后将乒乓球放回奖池，记第次抽到的奖品等级为，某顾客第一次没有抽到一等奖，且第二次抽到一等奖的概率是__________；用表示“两次抽到的等级差”，则的数学期望为__________. 【答案】 ①. ； ②. ##. 【解析】 【分析】第一次没抽到一等奖和第二次抽到一等奖，为相互独立事件，根据古典概型和相互独立事件的概率乘法即可求解； 对于随机变量的数学期望，先确定随机变量的取值，再根据古典概型分别计算每个取值的对应概率，最后根据数学期望公式计算即可. 【详解】因为每次抽完后将乒乓球放回奖池，所以每次抽奖相互独立. 则根据题意，第一次没有抽到一等奖的概率为，第二次抽到一等奖的概率为. 由于两次抽奖是相互独立事件，根据独立事件概率乘法公式， 可得某顾客第一次没有抽到一等奖，第二次抽到一等奖的概率是. 根据题意，随机变量，、分别表示第一次和第二次抽奖的获奖等级， 则、，所以的取值可能为0、1、2、3，两次抽奖等级共有种情况， 则表示两次抽奖等级相同，共有4种情况， 即，，，，所以， 表示两次抽奖等级相差1，共有6种情况， 即，，，， ，，所以， 表示两次抽奖等级相差为2，共有4种情况， 即，，，， 所以， 表示两次抽奖等级相差为3，共有2种情况，即，， 所以， 所以，的数学期望. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当，求的最值. 【答案】（1） （2）最大值为；最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【小问1详解】 依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为. 16. 已知. （1）当时，，求中的最大值； （2）若，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式得，则，分析为偶数时，取得最大值，再列出不等式组，解出即可； （2）法一：两边同时求导后再代入即可；法二：首先得，，再根据恒等式计算即可. 【小问1详解】 当时，， ，则， 显然为奇数时，；为偶数时，； 则当取到最大值时，为偶数， 设为最大项，其中．当时， 得，即， 解得，又因为，经验证得：． 又因为，所以最大项为． 【小问2详解】 法一：因为， ， 令，得：，所以：． 法二： 则，因为，所以， 所以 17. 已知函数. （1）若的定义域和值域均是，求实数的值； （2）若，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质，和参数的范围，判断函数在定义域上的单调性，进而求出函数的值域，求出参数的值； （2）根据参数的范围，判断函数在定义域上的单调性，求出函数在区间上的最小值，根据最小值的正负，讨论目标函数值的正负情况，进而求出结果. 【小问1详解】 由可知，函数对称轴为，因为，所以函数在上单调递减， 的定义域和值域均是，可得，即，解得. 【小问2详解】 由可知，函数对称轴为，在上单调递减， ，由可知恒成立， 当时，即，在上恒大于零， 则此时， 因为当时，，故且， 对任意的都有恒成立； 当时，，则，不符合题意； 当时，因为且， 所以存在，使得， 则当时，，， 此时，不符合题意； 综上所述，的取值范围为. 18. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在天安门广场隆重举行.某部队观看阅兵直播结束后，就举行了射击比赛.每个参赛队由两名战士组成，比赛分为两个阶段.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名战士射击3次，若3次都未射中靶子，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少射中靶子一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名战士射击3次，每次射中靶子得5分，未射中靶子得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲､乙两名战士组成，甲每次射中靶子的概率为，乙每次射中靶子的概率为，各次射击中靶与否均相互独立. （1）若，甲参加第一阶段比赛，求甲､乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. （2）假设， （i）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ （ii）在比赛成绩中，为使得甲､乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（ii）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. 【小问2详解】 （i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. （ii）若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 19. 已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的大小； （3）如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）作出合理辅助线，再根据面面垂直的性质定理得平面，再根据线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）方法一：作出二面角的平面角，再利用余弦定理求出或，再分别讨论即可；方法二：建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量则可得到点，再分别讨论即可； （3）方法一：建立合适的空间直角坐标系求出，再利用空间向量法写出面面角余弦的表达式，最后利用换元法和基本不等式即可求出最值； 方法二：首先同法一求出，再通过补形法，再找到二面角的平面角，最后利用余弦定理和不等式性质即可求出最值. 【小问1详解】 连接交于点，连接，在平面内过作，垂足为， 因为，所以垂足不与点重合，如图： 又因为平面平面，平面平面平面，则平面， 又因为平面，所以． 在正方形中，．平面平面， 则平面，又因为平面，所以． 【小问2详解】 方法一：在平面内，过作，垂足为，连接， 由（1）得，平面，因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以． 所以易知是二面角的平面角，， 在边长为1的正方形中，， 所以， 在Rt中，， 在中，， ，解得或， （i）当，又因为，在中，满足，则． 又因为平面，所以平面． 因为平面，则，所以， 又因为平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等， 过作，垂足为．又因为易证平面，所以平面平面， 平面平面，平面，所以平面． 在Rt中，，所以到平面的距离为． 设与平面所成角为，则， 又因为，则． （ii）当，中，得：， 如图，在中，， Rt中，， 因为， 设到平面的距离为，所以， 得：，解得，所以到平面的距离为， 设与平面所成角为，又因为，所以． 综上，与平面所成角为或． 方法二：以为轴，以为轴，过点的平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图． 则， 设，则．因为， 所以①． 因为，所以②． 因为平面，所以平面法向量， 设平面法向量，， 则，不妨取，则．所以． 因为二面角为，所以③． 由①②③解得，或，即或． （i）当时， 设平面法向量则即 不妨取，则．所以． ， 设与平面所成角为， ．又因为，所以． （ii）当时，． 设平面法向量， 则，即， 不妨取，则．所以． ， 设与平面所成角为．又因为，所以． 综上，与平面所成角为或． 【小问3详解】 法一：因为面，所以面． 所以．以为正交基建立空间直角坐标系． 因为平面平面，所以平面． 又因为平面，且平面平面，所以， 设，， 设平面法向量，， 则，不妨取，则．所以． 因为平面，所以平面法向量． 因为二面角为，所以， 即，解得，即． 设，设平面法向量， ，则，不妨取，则．所以． ，设平面法向量， ，则不妨取，则，所以. 则， 设 ， ．当且仅当时，，即最小值为． 法二：求出的过程同法一， 将补成正方体，平面平面，所以即为． 又因为，过作，垂足为，因为平面， 所以为二面角的平面角． 中，④，⑤， 由④⑤得：， 则，得． 则，解得， 当且仅当时，，此时，即最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $