专题11 全等三角形单元之压轴题型探究【单元重难点题型讲练】2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形的六大核心题型，从最值问题、翻折旋转到辅助线构建，层层递进，形成“概念理解—方法归纳—综合应用”的学习支架，帮助学生建立几何推理的逻辑链条。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出数学眼光中的几何直观与空间观念，如例1通过动点最值问题引导学生观察图形变化规律，体现数学思维中的推理能力与运算能力，变式3-2中旋转构造等边三角形巧妙融合模型意识与创新意识。课中可作为教师精讲示范素材，课后便于学生自主梳理错题、巩固方法，尤其适合用于压轴题突破训练与复习查漏补缺。

专题11 全等三角形单元之压轴题型探究 【知识考点 全等三角形】 【压轴题型梳理】 【题型01】 全等三角形的最值问题 【题型02】 全等三角形的翻折问题 【题型03】 全等三角形的旋转问题 【题型04】 全等三角形的综合应用 【题型05】 全等三角形中常用辅助线的构建方法之1---截长补短法 【题型06】 全等三角形中常用辅助线的构建方法之2---倍长中线法 【题型01】 全等三角形的最值问题 【例1】在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示） 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动． (1)求线段DP的最小值； (2)当DP最小时，求CDP的面积． 【变式1-2】在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究： (1)如图1，梯形中，，点是边的中点，连接，并延长交的延长线于点．求证：点E是的中点； (2)如图2，内部有一定点，若过点的直线与角的两边分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线，使得点P是线段的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，小明将直线绕着点旋转的过程中发现，的面积存在最小值，探索当在什么位置时，的面积最小，并说明理由． 【变式1-3】问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 【题型02】 全等三角形的翻折问题 【例2】把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 【变式2-1】如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：是等腰直角三角形； (3)在图中，你能通过平移、翻折、旋转等方式使与完全重合吗？ 【变式2-2】如图，中，于点，将沿翻折至，连接并延长，在射线上取点，使得，若，求的面积． 【变式2-3】如图，在中，．    (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状： 小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状； (2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明． 【题型03】 全等三角形的旋转问题 【例3】如图，中，，，，点是线段的中点，把按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合． (1)直接写出旋转中心和旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 【变式3-1】如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【变式3-2】如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【变式3-3】（1）如图，在正方形中，，写出与的数量关系？证明结论． （2）如图，在中，，，E，F分别是上两点，，写出之间的数量关系，并证明． （3）若将（2）中的绕点A旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出新的结论，证明． 【题型04】 全等三角形的综合应用 【例4】如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式4-1】如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【变式4-2】综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断 如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：__________． (2)性质探究 如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D，E均在外，连结，交于点M，连结．则与是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)拓展应用 如图3，和互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，，点A，D，E在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【变式4-3】在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD． 【探究发现】 （1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC； 【拓展迁移】 （2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝． ①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC＝10，求四边形ABCD的面积． 【题型05】 全等三角形中常用辅助线的构建方法之1---截长补短法 【例5】如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【变式5-1】如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 【变式5-2】在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【变式5-3】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【题型06】 全等三角形中常用辅助线的构建方法之2---倍长中线法 【例6】如图，是的中线，，，求中线的取值范围． 【变式6-1】如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 【变式6-2】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 【变式6-3】（1）如图1，在四边形中，，点E是中点，若是的平分线，可判断：之间的等量关系是__________； （2）如图2，在四边形中，，，点E是边的中点，，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，点N是延长线上一点，连接，点M是的中点，且平分，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 全等三角形单元之压轴题型探究 【知识考点 全等三角形】 【压轴题型梳理】 【题型01】 全等三角形的最值问题 【题型02】 全等三角形的翻折问题 【题型03】 全等三角形的旋转问题 【题型04】 全等三角形的综合应用 【题型05】 全等三角形中常用辅助线的构建方法之1---截长补短法 【题型06】 全等三角形中常用辅助线的构建方法之2---倍长中线法 【题型01】 全等三角形的最值问题 【例1】在中，点D是边上一点，连接． (1)如图1，若平分，，，的面积为3，求的面积； (2)如图2，若，点E在上，满足，过点C作于点C，交的延长线于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，已知，点P，Q分别是线段上的动点，连接，当的最小值是n时，直接写出线段的长．（用含m，n的代数式表示） 【答案】(1)8 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点G，于点H，根据角平分线的性质及三角形面积法求解即可； （2）过点D作，交于点N，利用全等三角形的判定和性质证明即可； （3）延长交于点K，则，再倍长至点，过点作于点Q，交于点P，利用轴对称的性质及图形求解即可． 【解答】（1）解：过点D作于点G，于点H，如图所示： ∵， ∴，即 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴； （2）过点D作，交于点N，如图所示： ∴， ∵，即 ∴ 在和中 ∴ ∴     ∵， ∴ 即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴     在和中 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴； （3），理由如下：    由（2）可知 延长交于点K，则 再倍长至点，过点作于点Q，交于点P 由轴对称性得 ∴最小，即 在中， ∴ 又在中， ∴． 【点评】题目主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，理解题意，作出相应辅助线综合运用这些知识点是解题关键． 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动． (1)求线段DP的最小值； (2)当DP最小时，求CDP的面积． 【答案】(1)DP的最小值是3； (2)当DP最小时，△CDP的面积为12． 【分析】（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论； （2）由勾股定理得BD=5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，则CP=BC-PB=8，然后由三角形面积公式即可求解． 【解答】（1）解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小， ∵BD平分∠ABC，∠A=90°， 当DP⊥BC时，DP=AD， ∵AD=3， ∴DP的最小值是3； （2）解：∵∠A=90°， ∴BD==5， 当DP最小时，DP=3，DP⊥BC， 则∠DPB=∠DPC=90°， ∴PB==4， ∴CP=BC-PB=12-4=8， ∴△CDP的面积=CP×DP=×8×3=12， 即当DP最小时，△CDP的面积为12． 【点评】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的在是解题的关键． 【变式1-2】在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究： (1)如图1，梯形中，，点是边的中点，连接，并延长交的延长线于点．求证：点E是的中点； (2)如图2，内部有一定点，若过点的直线与角的两边分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线，使得点P是线段的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； (3)如图3，小明将直线绕着点旋转的过程中发现，的面积存在最小值，探索当在什么位置时，的面积最小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)当为的中点时，的面积最小，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图—作平行线，作线段： （1）证明，得到即可； （2）作射线，截取，作，交于点，连接并延长，交于点即可； （3）过点的另一条直线，分别交于点，过点作，交于点，当为的中点时，可得，进而推出，根据，推出，即可得出结果． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴点E是的中点； （2）如图，即为所求； 由作图可知：，， 同（1）法可得：， ∴， ∴点P是线段的中点； （3）当为的中点时，的面积最小，理由如下： 过点的另一条直线，分别交于点，不妨设，如图， 过点作，交于点， 当为的中点时，同（1）法可知：， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， 故当为的中点时，的面积最小． 【变式1-3】问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）能达到， 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，最短距离问题，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据三点共线，两点之间，线段最短即可求解； （2）根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，确定当A、F、G三点共线时，最小，结合图形，利用各角之间关系即可求解． 【解答】解：（1）∵两点之间，线段最短， ∴当A、P、B三点共线时，取得最小值， 即； （2）证明：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当A、F、G三点共线时，最小，此时，点F位置如图所示： 此时，， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型02】 全等三角形的翻折问题 【例2】把四边形纸片沿折叠，使点C落在四边形内部的点处，如图所示，试探究与之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据折叠，得到，得到，利用平角的定义和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【解答】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 【变式2-1】如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：是等腰直角三角形； (3)在图中，你能通过平移、翻折、旋转等方式使与完全重合吗？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转和平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据全等三角形的性质得出，然后根据线段和差关系即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理可求出，等量代换可求出，根据三角形的内角和定理可求出，最后根据等腰直角三角形的定义判断即可； （3）根据旋转和平移的性质即可解答． 【解答】（1）证明：， ， 又，D，E三点在同一条直线上， ， ． （2）证明：， ， ， ， 即． 是等腰直角三角形； （3）解：答案不唯一，如：将先绕点D顺时针旋转与相同的度数，再向下平移与线段相同的长度，即可与完全重合． 【变式2-2】如图，中，于点，将沿翻折至，连接并延长，在射线上取点，使得，若，求的面积． 【答案】49 【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，理解折叠的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据折叠的性质可得，得到，，，由三角形的面积计算公式即可求解． 【解答】解：∵， ∴，即． ∵， ∴． 由翻折的性质，得， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由翻折的性质可得， ∴， ∴． 【变式2-3】如图，在中，．    (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状： 小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状； (2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明． 【答案】(1)线段组成的三角形是直角三角形，证明见详解 (2)线段组成的三角形是直角三角形，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求解； （2）将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到，根据折叠性质可得：，证出，，得出点与点F重合，在中，得出，即可求解． 【解答】（1）解：是直角三角形； 中，， ， 将沿折叠，得，连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴线段组成的三角形是直角三角形． （2）解：线段组成的三角形是直角三角形， 证明：如图， 将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到， 根据折叠性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点与点F重合， 如图，则在中，， ∴线段组成的三角形是直角三角形． 【题型03】 全等三角形的旋转问题 【例3】如图，中，，，，点是线段的中点，把按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合． (1)直接写出旋转中心和旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)点A，旋转角度是 (2)， 【分析】（1）根据旋转的性质可知对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，所以可求出，从而确定旋转角度； （2）利用周角的定义可求出，全等的性质可知． 【解答】（1）∵按逆时针方向旋转一定角度后恰好与重合， ∴可判断出旋转中心为：点A， ∵中，，， ∴根据旋转的性质可知：旋转角， ∴旋转角度是； （2）由旋转可知：， ∴，，， ∴． ∵为的中点，， ∴． 【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【变式3-1】如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)结论仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用证明可得，，延长交于， 由，即可得出，进而得出结论； （）与 （）同理可证明结论成立． 【解答】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论； （2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论 【解答】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）结论：． 理由：如图2中，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 延长到，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式3-3】（1）如图，在正方形中，，写出与的数量关系？证明结论． （2）如图，在中，，，E，F分别是上两点，，写出之间的数量关系，并证明． （3）若将（2）中的绕点A旋转至如图所示的位置，上述结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出新的结论，证明． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）仍然成立，理由见解析 【分析】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形判定和性质、勾股定理等知识， （1）把绕点A顺时针旋转至，使与重合，再证明，进而得到，即可得； （2）将绕点A顺时针旋转得到，根据旋转的性质，可知，得到，得到，证，利用得到； （3）将绕点A逆时针旋转使得与重合，点E的对应点为点G，同上的方法证得，再证明即可求解； 【解答】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， 把绕点A顺时针旋转至，使与重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、B、P共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 解：（2），证明如下： ∵， ∴， 将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 解：（3）仍然成立，理由如下： 如图，将绕点A逆时针旋转使得与重合，点E的对应点为点G， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【题型04】 全等三角形的综合应用 【例4】如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)，见解析 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 【变式4-1】如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等内容，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 分类讨论，当时或时，延长到点，使，连接、，先证，再证，最后证，得，即可得解． 【解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、， ， ， 在△和△中， ， ， ，， 是中点， ， 在△和△中， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图，延长到点，使，连接、， 同①理可得， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式4-2】综合与实践 在学习特殊三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“兄弟三角形”进行研究．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)操作判断 如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．请直接写出线段与之间的数量关系：__________． (2)性质探究 如图2，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D，E均在外，连结，交于点M，连结．则与是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由． (3)拓展应用 如图3，和互为“兄弟三角形”，点C为重合的顶角顶点，，点A，D，E在同一条直线上，为的高，连结，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)相等 (3) 【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到，进而得到，再证明即可得到答案； （2）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的对应高相等得到，根据角平分线的判定定理证明结论． （3）证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可知，最后依据可得到、、之间的数量关系． 【解答】（1）解：∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：，理由如下： 如图，过点A作于G，于H， ∵和互为“兄弟三角形”， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴平分，即； （3）解：， 同理得，， ∴， 在等腰中，， ∴N为中点， ∴， ∴． 【点评】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义是解题的关键． 【变式4-3】在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD． 【探究发现】 （1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC； 【拓展迁移】 （2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝． ①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC＝10，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；② 【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根据直角三角形中是斜边的一半即可写出数量关系； （2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造证明△CFB△CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系； ②根据题意应用的正弦值求得的长，然后根据的数量关系即可求解四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝， ∴∠DAC＝∠BAC＝， ∵∠ADC＝∠ABC＝， ∴∠ACD＝∠ACB＝， ∴AD＝． ∴AD＋AB＝AC， （2）①AD＋AB＝AC， 理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F． ， ∵AC平分∠BAD， ∴CF＝CE， ∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝， ∴∠FBC＝∠EDC， 又∠CFB＝∠CED＝， ∴△CFB△CED， ∴FB＝DE， ∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF， 在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC， ∴AD＋AB＝AC； ②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝ ∴∠DAC＝∠BAC＝， 又∵AC＝10， ∴CE＝A， ∵CF＝CE，AD＋AB＝AC， ∴ ＝． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线． 【题型05】 全等三角形中常用辅助线的构建方法之1---截长补短法 【例5】如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【答案】详见解析 【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 【解答】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线求解． 【变式5-1】如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．证明，，推出，推出即可解决问题． 【解答】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 【变式5-2】在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【解答】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 【变式5-3】把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【答案】(1)；证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可； 【解答】（1）解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：延长到，使，连接， ， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型06】 全等三角形中常用辅助线的构建方法之2---倍长中线法 【例6】如图，是的中线，，，求中线的取值范围． 【答案】 【分析】延长到，使,证明两边之和大于，两边之差小于，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得． 【解答】解：如图，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 【变式6-1】如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则 ． 【答案】/ 【分析】如图，延长至F，使得，交于点G，通过“边角边”证明，则，根据题意与三角形的外角性质可得，进而可得，设，根据题意得到关于x的方程，然后求解方程即可． 【解答】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，   设， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为： 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线． 【变式6-2】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 【答案】（1）；3（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）2 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解； 【解答】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴ 可得， 即：， ∴，的可能取值为3 故答案为：；3（答案不唯一） （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解： 由（2）可得：， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 【变式6-3】（1）如图1，在四边形中，，点E是中点，若是的平分线，可判断：之间的等量关系是__________； （2）如图2，在四边形中，，，点E是边的中点，，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，点N是延长线上一点，连接，点M是的中点，且平分，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，角平分线定义，平行线性质等． （1）延长AE交DC的延长线于点F，证明，再利用角平分线定义即可得到； （2）延长交的延长线于点F，由平行线性质得，，再证明，继而可得本题答案； （3）延长相交于点P，同（1）得，再利用平行线性质得，继而得到本题答案． 【解答】解：（1）延长AE交DC的延长线于点F， ， ，， 点E是的中点， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点F， ， ，， 点E是的中点， ， ， ，， ，， ， ，， ； （3）．证明如下： 延长相交于点P，    ∴， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $