专题06 第十三章三角形之单元压轴题型探究【单元重难点题型讲练】2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题06 第十三章三角形之单元压轴题型探究 【知识考点 三角形】 【题型梳理】 【题型01】 根据三角形三边的关系求参数的值 【题型02】 根据三角形三边的关系化简绝对值 【题型03】 与平行线有关的三角形综合问题 【题型04】 与三角形的中线、角平分线、高线有关的综合问题 【题型05】 与三角形的外角、内角和性质有关的综合问题 【题型06】 三角形中的存在性问题 【题型07】 三角形中折叠的有关计算问题 【题型08】 三角形中旋转的有关计算问题 【题型09】 三角形中的规律和新定义问题 【题型01】 根据三角形三边的关系求参数的值 【例1】已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．11 【变式1-2】若的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．13 B．18 C．21 D．26 【变式1-3】已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ． 【题型02】 根据三角形三边的关系化简绝对值 【例2】已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 【变式2-1】已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简． 【变式2-2】已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 【变式2-3】已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【题型03】 与平行线有关的三角形综合问题 【例3】如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【变式3-1】如图，在中，平分，平分，连接、，且． (1)证明：； (2)若，，求的度数； (3)作与的角平分线交于点，探究、的数量关系，并证明你的结论． 【变式3-2】数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下∶ (1)[论证]如图1，延长至点，过点作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)[应用]如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ① 设，则________（用含的代数式表示）； ②的度数为________． (3)[拓展]如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，同时绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．设运动时间为秒．在旋转过程中，当的值为多少时，与的一边平行？请直接写出的值． 【变式3-3】【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、．若，，请你求出的度数； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为 ； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、．若，，、分别平分、，则的度数为 ； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，，、分别平分、．则 ； 【拓展深化】 如图，在中，D、E是、上的点，设，． （5）如图5，、分别平分、．用含m、n的式子表示的度数为 ； 【题型04】 与三角形的中线、角平分线、高线有关的综合问题 【例4】（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【变式4-1】如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 【变式4-2】如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 【变式4-3】【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【题型05】 与三角形的外角、内角和性质有关的综合问题 【例5】如图，在中，分别是，的平分线，分别是，的平分线． (1)当，时，________，________， (2)若，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【变式5-1】已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 【变式5-2】如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 【变式5-3】综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 【题型06】 三角形中的存在性问题 【例6】在中，与的平分线相交于点P． (1)如图1，，，求的度数． (2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D． ①试探究，之间的数量关系． ②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，其中a、b满足． (1)求a、b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 【变式6-3】【探究】 如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由， 【应用】 如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积 为 ； 【拓展】 （1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ． （2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 （用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为 ． 【题型07】 三角形折叠中的有关计算问题 【例7】如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕． (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【变式7-1】如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在 的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【变式7-3】综合与探究 (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【题型08】 三角形中旋转的有关计算问题 【例8】[实验探究] （1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______； （2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______． [猜想证明] 如图3，试猜想之间的关系，并证明． [结论应用] 请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数． 【变式8-1】如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），给出下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，．其中正确的说法的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式8-2】如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒． 【变式8-3】【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． 【题型09】 三角形中的规律和新定义问题 【例9】佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关． 测量数据如下表： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … (1)通过以上测量数据，请你写出与的数量关系： ； (2)如图2，的平分线交于点，当时，求的度数； (3)如图3，在中，若与的平分线交于点，请猜想与的数量关系，并进行证明． 【变式9-1】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”. (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【变式9-2】若三边均不相等的三角形三边a，b，c（）满足，则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． (1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号） ①4，2，1； ②13，18，9； ③19，20，19； ④9，8，6 (2)已知“不均衡三角形”三边分别为，求出所有符合条件的x的整数值． 【变式9-3】问题提出：最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形）， 问题探究：为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论。 （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1. 按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形，表①： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2. 根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形. 表②： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：表③： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：表④： 最长边长 最短边长 （最长边长， 最短边长，第 三边长） 整数边三角形个数 计算方式 算式 4 1 (4,1,4) 1 3个2 2×3 2 (4,2,3), (4,2,4) 2 3 (4,3,3), (4,3,4) 2 4 (4,4,4) 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：表⑤： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 2 ， 2 3 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有 个； （2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数； （3）最长边长为128的整数边三角形有 个； 拓展延伸：在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 个. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 第十三章三角形之单元压轴题型探究 【知识考点 三角形】 【题型梳理】 【题型01】 根据三角形三边的关系求参数的值 【题型02】 根据三角形三边的关系化简绝对值 【题型03】 与平行线有关的三角形综合问题 【题型04】 与三角形的中线、角平分线、高线有关的综合问题 【题型05】 与三角形的外角、内角和性质有关的综合问题 【题型06】 三角形中的存在性问题 【题型07】 三角形中折叠的有关计算问题 【题型08】 三角形中旋转的有关计算问题 【题型09】 三角形中的规律和新定义问题 【题型01】 根据三角形三边的关系求参数的值 【例1】已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】依据不等式组至少有三个整数解，即可得到a＞3，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得2＜a＜8，进而得出a的取值范围是3＜a＜8，即可得到a的整数解有4个． 【解答】解： 解不等式①，可得x＜2a， 解不等式②，可得x≥4， ∵不等式组至少有三个整数解， ∴a＞， 又∵存在以3，a，5为边的三角形， ∴2＜a＜8， ∴a的取值范围是3＜a＜8， ∴a的整数解有4、5、6、7共4个， 故选：B． 【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【变式1-1】五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系求解即可． 【解答】解：由题意，，则m的值为5或6． 若，，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形； 若，，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形， 所以． 故选：C． 【变式1-2】若的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．13 B．18 C．21 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，三角形三边的关系的应用，先解方程得到，再由方程的解为非正数得到，根据三角形三边的关系求出，则符合题意的k的值为5、6、7，据此可得答案． 【解答】解：解方程得， ∵方程的解为非正数， ∴， ∴， ∵的三边长分别为5，3，k， ∴， ∴， ∴符合题意的k的值为5、6、7， ∴符合条件的所有整数k的和为， 故选：B． 【变式1-3】 已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ． 【答案】9 【分析】利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可． 【解答】解：三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则，即，因此整数m的最大值是9． 故答案为：9． 【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【题型02】 根据三角形三边的关系化简绝对值 【例2】已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，化简绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数． （1）由三角形三边关系定理即可得到答案； （2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简． 【解答】（1）解：由三角形三边关系定理得：， ． 故答案为：． （2）解：，，， ． 【变式2-1】已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【解答】（1）解：的三边长是，， ，即， 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或； （2）解：由三角形三边关系得：， ，， ． 【变式2-2】已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【解答】（1）解：∵， ，即， ∵c为整数， ∴，的周长为． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 【变式2-3】已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【解答】（1）解：∵三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即 ∴等边三角形． 【题型03】 与平行线有关的三角形综合问题 【例3】如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据邻补角的性质，得出，证明，结合，即可作答． （2）由角平分线的定义得出，再进行角的等量代换，得出，且，得出，再根据三角形的内角性质，进行计算，即可作答． 【解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【变式3-1】如图，在中，平分，平分，连接、，且． (1)证明：； (2)若，，求的度数； (3)作与的角平分线交于点，探究、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) ，证明过程见详解 【分析】（1）如图，过点作，根据平行线的性质和判定，平行公理可得结论； （2）设，，根据三角形的内角和定理可得：，从而可得结论； （3）如图2，设，，根据角平分线的定义可得，，根据8字形可得①，②，由①②可得结论． 本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，解题的关键是利用8字形和三角形的内角和定理解决问题． 【解答】（1）证明：如图1，过点作， ， ， ， ， ； （2）解：设，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 在和中，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图2，，理由如下： 设，， 平分，平分， ，， ， ，即①， ， ，即②， 由（1）知：， 由（2）知：， 得：， ． 【变式3-2】数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下∶ (1)[论证]如图1，延长至点，过点作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)[应用]如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ① 设，则________（用含的代数式表示）； ②的度数为________． (3)[拓展]如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，同时绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．设运动时间为秒．在旋转过程中，当的值为多少时，与的一边平行？请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)的值为或或或 【分析】（1）利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； （2）①由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再由平行线的性质并结合三角形外角的定义及性质得出，推出，即可得解；②由平行线的性质结合角平分线的定义得出，求出即可得出答案； （3）总时间（秒），再分四种情况：当第一次与重合前，时，延长交于；当第一次与重合前，时；当第一次与重合后，时，令交于；当第一次与重合后，时；分别利用平行线的性质建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【解答】（1）证明：延长至点，过点作， ∴，， ∵， ∴； （2）解①如图： ∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止． ∴总时间（秒）， ∴的运动角度为， 当第一次与重合前，时，延长交于， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第一次与重合前，时， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第一次与重合后，时，令交于， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第一次与重合后，时， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或或或． 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式3-3】【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、．若，，请你求出的度数； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为 ； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、．若，，、分别平分、，则的度数为 ； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，，、分别平分、．则 ； 【拓展深化】 如图，在中，D、E是、上的点，设，． （5）如图5，、分别平分、．用含m、n的式子表示的度数为 ； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质进行求解即可； （2）设，由（1）可知：，再根据，即可得出答案； （3）设，由（1）可知：，，根据角平分线的定义，进行求解即可； （4）根据三角形内角和定理和角平分线的定义进行求解即可； （5）延长与的延长线交于点，求出，由（4）可知：，然后求出结果即可． 【解答】解：（1）过点作，如图1所示： ， ， ， ， 即， ， ； 故答案为：． （2）设，如图2所示： 的平分线与的平分线交于点， ， ，由（1）可知：， ， ， ， 由三角形的内角和定理得：， ， ， ； 故答案为：． （3）设，如图3所示： 、分别平分、， ，，，， ，由（1）可知：，， ， ， 解得：， ． 故答案为：． （4），， ， 、分别平分、， ， ， ， ； （5）延长与的延长线交于点，如图5所示： ， ， ， ， 、分别平分、， 由（4）可知：， ； 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行公理的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【题型04】 与三角形的中线、角平分线、高线有关的综合问题 【例4】（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 【变式4-1】如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【解答】解： 是的中线 的面积等于的面积   故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 ∴ 又 故正确；   故正确； 故错误； 故答案为：①②③． 【变式4-2】如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)7cm (3) 【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积， （1）根据三角形面积公式得，据此可得的长； （2）的周长为，的周长为，据此可得和的周长之差； （3）根据点是边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当时，根据为中线得，即，再根据得，即，据此即可得出的值；当时，同理可得，，据此即可得出的值． 【解答】（1）在中，，，，，为边上的高， ， ， 即的长度为； （2）为边上的中线， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长的周长， 即和的周长之差为； （3）点是边的三等分点， 有以下两种情况： ①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ，即， ， ， ，即， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ，即， ． 综上所述：的值为． 【变式4-3】【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【解答】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 【题型05】 与三角形的外角、内角和性质有关的综合问题 【例5】如图，在中，分别是，的平分线，分别是，的平分线． (1)当，时，________，________， (2)若，求，的度数； (3)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)的值不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算、三角形的内角和定理等知识点，学会整体思想是解题关键． （1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可； （3）利用（2）的结论即得结果． 【解答】（1）解：∵分别是，的平分线，，， ∴，， ∴； ∵分别是，的平分线， ∴， ∴． 故答案为60，120． （2）解：在中，， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵，， ，， ∴，， ∵，分别是，的平分线， ∴， ∴． （3）解：的值不变，理由如下： 由（2）可知：，， ∴，即当的大小变化时，的值不变． 【变式5-1】已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)． 【分析】（）延长交于，依据平行线的性质，可得，再根据是的外角，即可得到； （）依据，可得，再根据是的外角，即可得到，即； （）设，则，进而得出，依据，可得，求得，即可得出的度数， 本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点是解题的关键． 【解答】（1）如图，延长交于， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为：； （2），理由： ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （3）∵， 设，则， ∵，，， 又∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，． 【变式5-2】如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)猜想，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）根据，可得，再根据平角的定义可得，则； （2）同（1）求解即可； （3）由三角形的外角的性质知：，，据此可得结论； （4）由三角形的外角的性质知：，，再由，则． 【解答】（1）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：猜想，理由如下： 设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， 即； （4）解：，理由如下： 设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， ，， 即， 【变式5-3】综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，再推导出，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，可得，进而即可求解 【解答】解：（1）如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点 ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． 【题型06】 三角形中的存在性问题 【例6】在中，与的平分线相交于点P． (1)如图1，，，求的度数． (2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D． ①试探究，之间的数量关系． ②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或 【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，利用数形结合和分类讨论求解是解答的关键． （1）利用三角形内角和求出，再根据角平分线求出和，最后再利用三角形内角和求解； （2）同（1）中方法计算即可； （3）①根据角平分线的定义得到，，利用外角的性质可得，再结合即可证明； ②分四种情况分别讨论即可． 【解答】（1）解：在中， ，， ． ∵P是和的平分线的交点， ， （2）解：， ， ∵P是和的平分线的交点， ， ， ． （3）①∵是的外角的平分线， ． ∵平分， ． ， ， 即． ， ， 即． ②的度数是或或或． 由图得 ． 在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，可分为四种情况： （Ⅰ）， 则，； （Ⅱ）， 则，，； （Ⅲ），又 则，； （Ⅳ），又， 则，． 综上所述，的度数是或或或． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，其中a、b满足． (1)求a、b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2) (3)或或或 【分析】本题考查绝对值和二次方的非负性，平面直角坐标系中点的坐标，三角形的面积，坐标与图形，分类讨论思想． （1）根据非负数的性质得出a和b的值； （2）过点M作轴于点N，根据四边形的面积等于和的和得出答案； （3）首先根据题意得出的面积，然后分点N在x轴和y轴两种情况分别求出答案． 【解答】（1）解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴,． （2）解：过点M作轴于点N，如图所示： ∵，，且在第二象限， ∴，，， ∴， ， ∴； （3）解：当时，四边形的面积为． ∴， ①当N在x轴上时， 设，则， ， 解得：或， ∴或； ②当N在y轴上时， 设，则， 解得：或， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或或． 【变式6-2】小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【解答】（1）证明：∵，是高， ∴， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵， ∴ （2）∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）∵C、A、G三点共线，是角平分线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式6-3】【探究】 如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由， 【应用】 如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积 为 ； 【拓展】 （1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ． （2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 （用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为 ． 【答案】探究：，理由见解析；应用：24；拓展：（1）54；（2），32 【分析】探究：根据等底同高的三角形面积相等，即可得结论； 应用：连接，，，运用探究结论可知，则，同理可得，即可求得阴影部分的面积； 拓展：（1）如图，连接，，利用等高的性质，求得所有三角形的面积，再求和，可得结论； （2）连接并延长交于，可知是边上的中点，记6个小三角形的面积分别为，，，，，，可得，进而可得，可知四边形面积，要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大，则只需要，可得的面积最大值为，即可求得四边形面积最大值． 本题考查与三角形中线有关的面积问题，等高模型的性质等知识，解题的关键是理解三角形中线的性质． 【解答】解：探究：，理由如下： 过点作，交于， ∵是中边上的中线，则， ∴， 即：； 应用：连接，，， ∵点A、B、C分别是、、的中点， ∴，，， ∴， 则， 同理可得， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：24； 拓展：（1）如图，连接，． ∵，则， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积 ． 故答案为：54； （2）连接并延长交于， ∵点、是、边上的中点， ∴是边上的中线， 记6个小三角形的面积分别为，，，，，， 则，，，， ∴，即：， ∴，即：， 同理可知，， ∴， ∴四边形面积， 要使得四边形面积最大，只需要使得的面积最大， ∵中，，， ∴要使得的面积最大，则只需要， ∴的面积最大值为， 则四边形面积最大值为， 故答案为：，32． 【题型07】 三角形折叠中的有关计算问题 【例7】如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕． (1)若，求的度数； (2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，数形结合． （1）根据折叠得出，，根据，求出，即可求出结果； （2）根据，，得出，即可得出结论． 【解答】（1）解：∵将对折，得到折痕， ∴， ∵将对折，得到折痕， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：不变．理由如下： ∵，，， ∴， 即． ∴的大小不随点的运动而变化． 【变式7-1】如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【解答】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 故选D． 【变式7-2】如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在 的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、三角形面积等知识： （1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，得出，再计算出，由三角形面积公式可得结论． 【解答】（1）由折叠可得，，， 又， ， 即； （2）由折叠，得，． ． ． ． ． 【变式7-3】综合与探究 (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【解答】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【题型08】 三角形中旋转的有关计算问题 【例8】[实验探究] （1）将一副三角板如图1摆放，使三角板的两条直角边分别经过点，点，且，则______； （2）在图1的基础上，三角板保持不动，将三角板旋转得到图2，使三角板的两条直角边依然分别经过点，点，则______． [猜想证明] 如图3，试猜想之间的关系，并证明． [结论应用] 请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，与的角平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】[实验探究] （1）；（2）；[猜想证明] ，证明见解析；[结论应用] 【分析】本题考查了三角形内角和定理，准确识别图形是解题的关键． [实验探究] （1）根据直角三角板的性质可得，，即可求解； （2）根据直角三角板的性质可得，，即可求解； [猜想证明] 连接，在和中，根据三角形内角和定理可得，，即可求解； [结论应用] 由[猜想证明]得：，，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【解答】解：[实验探究] （1）∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： [猜想证明]  ，证明如下： 如图，连接， 在中，， 在中，， ∴ ， 即； [结论应用]  由[猜想证明]得：，， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式8-1】如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），给出下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，．其中正确的说法的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形内角和定理，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键．先证明，然后求出当时，，由此按照图①求解即可判断①；当时，求得，，则，即可判断②；当时，先求出，则，，即可判断③． 【解答】解：当三角板旋转角度小于度时，如题干图②， 设直线与直线交于F， ∴， ∴， 当时，即，如图①所示， ∴， ∴； 当三角板旋转角度大于时，如图②所示， ∴， ∴当时，即， ∴， ∴此时在图中的位置， ∴，故①正确； 当三角板旋转角度小于度时，如图③所示， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当三角板旋转角的大于时，如图④所示， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图⑤所示，当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确． 故选：C． 【变式8-2】如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒． 【答案】25或65 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，过点E作，延长，先求出，设运动时间为t，则，，分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【解答】解：过点E作，延长，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设运动时间为t，则，， 当点P在点B的左侧时，如图所示： ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点P在点B的右侧时，如图所示： 此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：射线旋转了25秒或65秒． 故答案为：25或65． 【变式8-3】【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析； （3）或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定和性质，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据，得到，即可得解； （2）若与交于点，利用， ，求得，再得到，，即得证； （3）当与三角板的直角边和直角边重合时，分别讨论两种情况即可得解； 【解答】解：（1） ， ， ， ． （2），理由如下， 若与交于点，如图， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ． （3）当与三角板的直角边重合时，与交于点，如图所示， ，， ， 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为． 当与三角板的直角边重合时，和延长线交于点，如图所示 ，， ， ， ． 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为 综上，当与三角板的直角边重合时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为或． 【题型09】 三角形中的规律和新定义问题 【例9】佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关． 测量数据如下表： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … (1)通过以上测量数据，请你写出与的数量关系： ； (2)如图2，的平分线交于点，当时，求的度数； (3)如图3，在中，若与的平分线交于点，请猜想与的数量关系，并进行证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）由表中与的测量数据，找到规律即可得到答案； （2）利用三角形内角和定理得到，再由邻补角定义、角平分线定义得到，最后在中，由三角形内角和定理求解即可得到答案； （3）根据角平分线定义、三角形外角性质列式化简即可得到答案． 【解答】（1）解： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … 与的数量关系：， 故答案为： （2）解：如图所示： ，， ， 在中，，则， ， 的平分线交于点， ， 在中，； （3）解：， 证明如下： 与的平分线交于点， ，， ，， ． 【点评】本题考查规律探究，涉及找规律、角平分线定义、三角形内角和定理、邻补角定义、三角形外角性质等知识，熟练掌握角平分线定义、三角形内角和与外角性质，数形结合得到角的关系是解决问题的关键． 【变式9-1】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”. (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）①利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可；②由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【解答】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， 为“友爱三角形” ； （2）解：的度数为或， 是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 【变式9-2】若三边均不相等的三角形三边a，b，c（）满足，则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． (1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号） ①4，2，1； ②13，18，9； ③19，20，19； ④9，8，6 (2)已知“不均衡三角形”三边分别为，求出所有符合条件的x的整数值． 【答案】(1)② (2)10，12，13，14 【分析】本题考查了三角形三边关系，求不等式的解集，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． （1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，根据“不均衡三角形”的定义列方程求解即可． 【解答】（1）①∵， ∴4，2，1不能组成“不均衡三角形”； ②∵， ∴13，18，9能组成“不均衡三角形”； ③∵， ∴19，20，19不能组成“不均衡三角形”； ④∵， ∴9，8，6不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：②； （2）∵， ∴． 当时，即， 则， 解得：（舍） 当时，即， 则， 解得：，则，符合题意的x取值为10 当时，即， 则， 解得：，则，符合题意的x取值为12，13，14 综合的x的取值为10，12，13，14． 【变式9-3】问题提出：最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形）， 问题探究：为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论。 （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1. 按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形，表①： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2. 根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形. 表②： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：表③： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：表④： 最长边长 最短边长 （最长边长， 最短边长，第 三边长） 整数边三角形个数 计算方式 算式 4 1 (4,1,4) 1 3个2 2×3 2 (4,2,3), (4,2,4) 2 3 (4,3,3), (4,3,4) 2 4 (4,4,4) 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：表⑤： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 2 ， 2 3 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有 个； （2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数； （3）最长边长为128的整数边三角形有 个； 拓展延伸：在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 个. 【答案】⑤，，，3，3个3，；（1）12；（2）当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律不一样， 当n为奇数时，最长边长为n的整数边三角形的个数为，当n为偶数时，最长边长为n的整数边三角形的个数为；（3）4160；拓展延伸：295 【分析】⑤根据上面列举求解即可； （1）由上面列举规律求解即可； （2）按照n为奇数或n为偶数分类，找出n与两数乘积中第一个的关系即可求解； （3）在（2）的基础上，将代入求解， 拓展延伸：分成当最长边是三角形的边长和侧棱两种情况求解即可． 【解答】解：⑤由题意可得， 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 3个3 2 ， 2 3 ，， 3 4 ， 2 5 1 故答案为：，，，3，3个3，； （1）列表如下： 最短边长 最长边 三角形个数 1 2 3 4 5 6 ∴最长边长为6的整数边三角形有个， 故答案为：12； （2）列表如下： 最长边长是奇数时 算式 1 3 5 7 ⋯ ⋯ n 最长边长是偶数时 算式 2 4 6 ⋯ ⋯ n ∴当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律不一样， 当n为奇数时，最长边长为n的整数边三角形的个数为，当n为偶数时，最长边长为n的整数边三角形的个数为； （3）当时，， 故答案为：4160； 拓展延伸：当侧棱是9时，底边三角形的最长边可以是1，2，3，4，5，6，7，8， ∴直三棱柱个数共有：， 当底的棱长是9时，， ∴， 故答案为：295． 【点评】本题考查数字规律型、三角形的三边关系，解决问题的关键是列出表格总结出规律及正确分类． 学科网（北京）股份有限公司 $$