第3章 勾股定理高频易错考点训练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册章节复习培优专项训练

第3章 勾股定理（易错题考点集训） 【28个高频易错考点 共56题】 易错考点01：用勾股定理解三角形 2 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 5 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 6 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 8 易错考点05：勾股定理的证明方法 10 易错考点06：以弦图为背景的计算题 13 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 15 易错考点08：勾股定理与无理数 17 易错考点09：勾股树（数）问题 18 易错考点10：判断三边能否构成直角三角形 19 易错考点11：在网格中判断直角三角形 21 易错考点12：利用勾股定理的逆定理求解 22 易错考点13：勾股定理逆定理的拓展问题 24 易错考点14：勾股定理与网格问题 25 易错考点15：勾股定理与折叠问题 27 易错考点16：求旗杆高度（勾股定理的应用） 29 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 31 易错考点18：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 32 易错考点19：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 34 易错考点20：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 35 易错考点21：解决航海问题（勾股定理的应用） 37 易错考点22：求河宽（勾股定理的应用) 38 易错考点23：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 40 易错考点24：判断汽车是否超速(勾股定理的应用） 41 易错考点25：判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 43 易错考点26：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 45 易错考点27：求最短路径（勾股定理的应用） 47 易错考点28：勾股定理逆定理的实际应用 49 易错考点01：用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中，已知，，，，求 BD 的长． 【答案】14 【思路引导】本题主要考查了利用勾股定理和三角形的面积进行求解，准确作出辅助线计算是解题的关键． 过点作于点，得到，根据三角形等面积法算出，再利用勾股定理计算即可． 【规范解答】过点A 作 于点E，如图， 则 ， ， ， ， ， ， 在中， ∵，， ， ， ． 2．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，于点，，分别交于点、， (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若． ①求证：是的中点； ②求证：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【思路引导】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，在中，由勾股定理计算可得的长，再由等腰直角三角形的判定与性质得，最后数形结合，由线段的差求解即可得到答案； （2）①在上取一点，使，连接，如图所示，构建全等三角形，证明，得，再由等腰三角形判定与性质得到，等量代换得到，即可得证是的中点；②进而由等腰三角形三线合一的性质，结合垂直平分线的性质得，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，最后由勾股定理和等量代换即可得证． 【规范解答】（1）解：，， ， 在中，， 则由勾股定理可得， 在中，，则是等腰直角三角形， ， ； （2）证明：①在上取一点，使，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ， ， ， ，即是的中点； ②如①图所示， ， ， ，， ， 由①可知，， ， 在中，由勾股定理得， ∴． 【考点剖析】本题考查几何综合，涉及等腰三角形性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，第二问有难度，熟记相关几何性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以和为边分别向两边作正方形，面积分别为和，已知，且，则的值为 ． 【答案】29 【思路引导】本题考查了勾股定理和正方形的性质，由勾股定理得，再求出，则，然后由勾股定理求出的长即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, 故答案为：29． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，按此规律继续摆放，则 ． 【答案】25 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，可证明得到，利用勾股定理推出，则，同理可得，……，，据此求解即可． 【规范解答】解：如图所示，由正方形的性质可得 ， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 同理可得， ……， ， ∴， 故答案为：． 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【规范解答】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2021·贵州·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明 ，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题． 【规范解答】如图，连接，过点作， 设，则矩形中 在与中， 在中， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用． （1）根据勾股定理得到，根据三角形面积公式得到，进而代入计算即可； （2）由（1）可知，，根据完全平方公式得到，，可知，即可证明． 【规范解答】（1）解：在中，，，，，，， 所以，， 所以， 所以． （2）解：由（1）可知，， 所以． 因为都是正数， 所以， 所以． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图：延长到G使，连接证，推出，，求出，再根据勾股定理即可证明结论． 【规范解答】证明：如图：延长到G使，连接，， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错考点05：勾股定理的证明方法 9．（2025八年级上·全国·专题练习）面积法是最常见的验证勾股定理的方法．用两个全等的直角三角形的纸板拼出如图所示的图形，，设，请结合图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查勾股定理；结合两个全等的直角三角形，分别列出的式子，再结合，列出等式即可求出结果． 【规范解答】解：根据题意可得， 所以． 因为，所以， 所以，即， 所以． 因为，易得在中，边上的高与相等， 所以， 所以． 因为， ， 所以， 所以， 整理，得． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以为斜边作等腰直角三角形，连结，．设，请利用下面的图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查探索勾股定理，过点D作交CB的延长线于点E，作于点G，作于点F．由，可得，证明，得，设，即得，故，，可得，，，而，从而，化简即得． 【规范解答】解：如图，过点D作交CB的延长线于点E，作于点G，作于点F． ， 平分， ， 和是等腰直角三角形， ． ， ， ，即， ． ， ， ． 设， 则， ， ， ， ，． 是等腰直角三角形，， ， 和是等腰直角三角形． ， ， ． ， ， ， ． 易错考点06：以弦图为背景的计算题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，，，． (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可知小正方形的边长，根据正方形面积公式计算即可； （2）由题意可知,，由勾股定理得，求出，进而计算即可. 【规范解答】（1）解：由全等三角形的性质可知小正方形的边长， ∴， ∴图①中小正方形的面积为； （2）解：由题意可知,， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴这个风车的外围周长为． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【答案】(1)④；⑤；② (2) 【思路引导】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【规范解答】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 13．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【规范解答】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ∴米， 即门铃恰好自动响起，则的长为4米， 故选：C． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【思路引导】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【规范解答】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 易错考点08：勾股定理与无理数 15．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，然后以原点O为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点D． (1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）； (2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示； (3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法． 【答案】(1)，无理数 (2)能 (3)详见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理，用数轴上的数表示无理数，尺规作图． （1）根据及勾股定理求出，根据无理数的定义作答即可； （2）根据（1）即可得到结论； （3）根据画出表示的点，进而可画出表示的点M． 【规范解答】（1）由图可知，是无理数 ∴点D表示的数是，这个数是无理数 故答案为：，无理数 （2）由（1）可知，无理数能用数轴上的点表示 故答案为：能 （3）因为， 所以画法如下： ①在数轴上画长方形，使在数轴上且点在原点右侧，点在数轴的上方； ②以原点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是，如答图所示． 证明：∵ ∴ ∴ ∴ 16．（21-22八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，，则数轴上点C所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查实数与数轴，利用勾股定理求出AB的值为解决本题的关键．可利用勾股定理求出AB的值，即可得到答案． 【规范解答】解：由勾股定理可知：， 即， ∵A为数轴上的， ∴数轴上点C表示的数为． 故选：B． 易错考点09：勾股树（数）问题 17．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查勾股数；根据勾股数的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A、，故不是勾股数； B、，故是勾股数； C、，故不是勾股数； D、，故不是勾股数； 故选：B． 18．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【规范解答】解：、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，所以不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 易错考点10：判断三边能否构成直角三角形 19．（2025八年级上·全国·专题练习）车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图所示，按照规定，李师傅依次测量三条边的长度，由此判断该零件是否合格．李师傅这样做的依据是（    ） A．直角三角形两锐角互余 B．三角形两边之和大于第三边 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】D 【思路引导】本题主要考查勾股定理的逆定理；根据勾股定理的逆定理的定义即可求出结果． 【规范解答】解：根据题意，李师傅这样做的依据是勾股定理的逆定理； 根据勾股定理的逆定理得，若，则说明；则该零件合格； 故选：D． 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）． (1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形； (3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】(1)锐角，钝角 (2)， (3)是锐角三角形，此时；时，是直角三角形；是钝角三角形，此时 【思路引导】本题主要考查了勾股定理和三角形的性质，熟练掌握“大边对大角，大角对大边”、“三角形任意两边之和大于第三边”是解题的关键． 【规范解答】（1）解：当三边长分别为6，8，10时，是一个直角边长分别为6、8的直角三角形，斜边长为10，，所以当三边长分别为6，8，9时，边长为9的边所对的角小于直角，则为锐角三角形； ，所以当三边长分别为6，8，11时，边长为11的边所对的角大于直角，则为钝角三角形； 故答案为：锐角，钝角． （2）解：由（1），猜想当时，为锐角三角形；当时，为钝角三角形； 故答案为：，． （3）解：为最长边， ， 时，是直角三角形； 时，是锐角三角形，此时，即； 时，是钝角三角形，此时，即； 综上，时，是锐角三角形；时，是直角三角形；时，是钝角三角形． 易错考点11：在网格中判断直角三角形 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据网格的特点，分别求得、和，然后根据，即可求解； 【规范解答】解：由题意可得：，，， ∵， ∴； 22．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，都在格点上，与相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查构造直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，根据勾股定理，求出． 【规范解答】解：如图，过点作， ， 过格点， 连接， ， ， ， ， ， 故选：C． 易错考点12：利用勾股定理的逆定理求解 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，由勾股定理，求得，再由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，则四边形田地的面积为，代入计算即可． （2）过点作于点．由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度．根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：， ． 在中，由勾股定理，得， （负值已舍去）． ， ， 是直角三角形，且， 四边形田地的面积为 ； （2）解：如图，过点作于点． 由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度． ， ， ， 解得， 这条水渠的最短长度为． 24．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）在中，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形性质，由，得，然后通过直角三角形的性质即可求解，掌握知识点的运用是解题的关键． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 易错考点13：勾股定理逆定理的拓展问题 25．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【思路引导】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1） 这个三角形是锐角三角形；（2） 这个三角形是直角三角形；（3） 这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 26．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【思路引导】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【规范解答】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 易错考点14：勾股定理与网格问题 27．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上．若，则以三条线段为边长，能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】能构成直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题主要考查勾股定理及其逆定理；根据勾股定理得到，再结合勾股定理的逆定理即可求出结果． 【规范解答】解：能构成直角三角形． 理由如下： 由题图可知． 又因为， 所以， 所以以三条线段为边长，能构成直角三角形． 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题． (1)试判断的形状并说明理由； (2)在网格中以为边向右作直角三角形，令点在格点上，且使是等腰三角形，则的长为 ． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)或5 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理，准确地做出图形是解题的关键． （1）先根据勾股定理求边长，再根据勾股定理的逆定理判定； （2）画出图形，分类讨论，再求解． 【规范解答】（1）解：是直角三角形． 理由：由勾股定理，得， ， ， 是直角三角形． （2）解：点的位置有两处，如图所示． 当点在点处时，； 当点在点处时，． 综上所述，的长为或5． 故答案为：或5． 易错考点15：勾股定理与折叠问题 29．（24-25八年级上·全国·期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了勾股定理，综合运用这些知识点是解题关键． 由勾股定理求解，由对折可得，设 则， 利用勾股定理求解，再利用勾股定理可得答案． 【规范解答】解： 由折叠可得： 设 则 故选：D． 30．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，设与交于点．由折叠的性质可知，根据三角形全等的性质得出．证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【规范解答】解：如图，设与交于点． ∵四边形是长方形， ∴，． 由折叠的性质可知， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴． 易错考点16：求旗杆高度（勾股定理的应用） 31．（25-26八年级上·全国·单元测试）将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答． 【规范解答】如图，连接． 依题意， ∵， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：A． 32．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】(1)12米 (2)7米 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【规范解答】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； （2）解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 33．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 【答案】滑动的水平距离是 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，在和中利用勾股定理解直角三角形是解答本题的． 利用勾股定理先求出滑动前的长，再求出滑动后的长，二者相减即可求解． 【规范解答】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴中，， ∴， 即滑动的距离为． 34．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【规范解答】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 易错考点18：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 35．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，如图所示，为树，且，为两树距离12米，过C作于E，则，，在直角三角形中利用勾股定理即可求出． 【规范解答】解：如图所示，为树，且，为两树距离12米， 过C作于E，则，， 在直角三角形中， ． 故选：A． 36．（24-25八年级上·山东青岛·期末）有两棵树，一棵高11米，另一棵高4米，两树相距24米，一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少飞行 米； 【答案】25 【思路引导】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【规范解答】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 易错考点19：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 37．（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，设原处的竹子还有x尺，则尺，尺，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图， 设原处的竹子还有x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：B． 38．（24-25八年级下·云南德宏·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可． 【规范解答】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得： 故选：A． 易错考点20：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 39．（20-21八年级上·河南南阳·期末）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（　　）cm A．35 B．40 C．50 D．45 【答案】D 【思路引导】本题考查正确运用勾股定理，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可． 【规范解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深，由题意得： 中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 即：水深是 故选：D． 40．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 【答案】 【思路引导】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：设，则， ∵，， ∴， 解得：，即， 故答案为：． 易错考点21：解决航海问题（勾股定理的应用） 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 【答案】D 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，由题意知，，， ， ， ， 根据题意，（海里），（海里）， （海里）， 我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）． 故选：D． 42．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 【答案】此时灯塔与客轮的距离为． 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用．先求出，再由勾股定理即可得出结果． 【规范解答】解：由题意，得． 在中， 答：此时灯塔与客轮的距离为． 易错考点22：求河宽（勾股定理的应用) 43．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【规范解答】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 44．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】(1)公路与垂直，计算见解析 (2)818万元 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【规范解答】（1）解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 易错考点23：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 45．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 【规范解答】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【考点剖析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 46．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（    ）    A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米 【答案】B 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，与实际生活相联系，熟练掌握勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【规范解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度米， 地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是米． 故选B． 易错考点24：判断汽车是否超速(勾股定理的应用） 47．（25-26八年级上·全国·随堂练习）新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【思路引导】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】在中，， 根据勾股定理，得， 所以． 因为小汽车行驶了， 所以它的速度为． 因为，且， 所以这辆小汽车超速了． 48．（24-25八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 【答案】这辆观光电瓶车超速了 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，进而可得观光电瓶车的速度为，即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【规范解答】解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． 易错考点25：判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 49．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 50．（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【思路引导】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【规范解答】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 易错考点26：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 51．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为300米，到公交站（点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（点），使之到学校及到车站的距离相等，求商店与车站之间的距离． 【答案】米 【思路引导】本题考查勾股定理的实际应用，过点作于点，如图所示，在中，由勾股定理求出米，设米，则米，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．根据题意，构造直角三角形，运用勾股定理求解是解决问题的关键． 【规范解答】解：过点作于点，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得米， 设米，则米， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即， ，解得， 则商店与车站之间的距离为米． 52．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． (1)求E站应建在离A点多少处？ (2)若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 【答案】(1)E站应建在离A点处 (2)2小时 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得的长是解答的关键． （1）设，则，根据勾股定理得到，进而列方程求解即可； （2）利用勾股定理求得即可求解． 【规范解答】（1）解：设，则， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∵C，D两商场到E站的距离相等， ∴，则， ∴，又，， ∴，解得， ∴E站应建在离A点处； （2）解：在中，， ， 答：某人需要多少小时从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要2小时． 易错考点27：求最短路径（勾股定理的应用） 53．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)见解析 (2)两点之间，线段最短 (3) 【思路引导】（）根据图形画出侧面展开图即可； （）根据两点之间，线段最短即可求解； （）利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，正确画出木块的侧面展开图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）解：依据是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短； （3）解：根据题意可知，侧面展开图中，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程为 54．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用． 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为1米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， ∴长方形的长为米， ∵长方形的宽为1米， ∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， ∴米， 故答案为：． 易错考点28：勾股定理逆定理的实际应用 55．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点为公园小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得米，米，米，米． (1)求观赏池边的长； (2)求草坪的面积． 【答案】(1)20米 (2)600平方米 【思路引导】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用勾股定理求解即可； （2）连接,根据勾股定理求出米,然后证明出是直角三角形，且，然后利用代数求解即可. 【规范解答】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 在Rt中，米，米， 由勾股定理，得，即， 所以米． 答：观赏池边的长为20米; （2）解：连接． 因为,米，米， 根据勾股定理，得， 所以米． 因为在中，，， 所以， 所以是直角三角形，且， 所以（平方米）． 答：草坪的面积为600平方米． 56．（23-24八年级下·全国·单元测试）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是从村庄C到河边的最近路，理由见解析 (2)2.5千米 【思路引导】本题考查勾股定理及其逆定理，垂线段的性质，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，由垂线段最短，可知是从村庄C到河边的最近路； （2）利用勾股定理解即可． 【规范解答】（1）解：是从村庄C到河边的最近路，理由如下： ，，，， ， 是直角三角形，其中， ， 是从村庄C到河边的最近路 （2）解：设 ，则， 在中，， ， 解得， 即原来的路线的长为2.5千米． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理（易错题考点集训） 【28个高频易错考点 共56题】 易错考点01：用勾股定理解三角形 2 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 3 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 3 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 4 易错考点05：勾股定理的证明方法 5 易错考点06：以弦图为背景的计算题 6 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 7 易错考点08：勾股定理与无理数 8 易错考点09：勾股树（数）问题 8 易错考点10：判断三边能否构成直角三角形 8 易错考点11：在网格中判断直角三角形 9 易错考点12：利用勾股定理的逆定理求解 10 易错考点13：勾股定理逆定理的拓展问题 10 易错考点14：勾股定理与网格问题 11 易错考点15：勾股定理与折叠问题 12 易错考点16：求旗杆高度（勾股定理的应用） 12 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 13 易错考点18：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 14 易错考点19：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 15 易错考点20：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 15 易错考点21：解决航海问题（勾股定理的应用） 16 易错考点22：求河宽（勾股定理的应用) 17 易错考点23：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 18 易错考点24：判断汽车是否超速(勾股定理的应用） 19 易错考点25：判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 20 易错考点26：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 21 易错考点27：求最短路径（勾股定理的应用） 22 易错考点28：勾股定理逆定理的实际应用 23 易错考点01：用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在 中，已知，，，，求 BD 的长． 2．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，于点，，分别交于点、， (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若． ①求证：是的中点； ②求证：． 易错考点02：以直角三角形三边为边长的图形面积 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以和为边分别向两边作正方形，面积分别为和，已知，且，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，按此规律继续摆放，则 ． 易错考点03：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 6．（2021·贵州·一模）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为 ． 易错考点04：利用勾股定理证明线段平方关系 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一结论：直角三角形两条直角边的平方的倒数和等于斜边上的高的平方的倒数．用数学语言表示如下：如图，在中，，，，，，，试说明：． (1)写出上述说理过程； (2)试说明：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，E是中点，D是上一点，F是上一点，若，且，求证：． 易错考点05：勾股定理的证明方法 9．（2025八年级上·全国·专题练习）面积法是最常见的验证勾股定理的方法．用两个全等的直角三角形的纸板拼出如图所示的图形，，设，请结合图形验证勾股定理． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，以为斜边作等腰直角三角形，连结，．设，请利用下面的图形验证勾股定理． 易错考点06：以弦图为背景的计算题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）[传统文化]如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，，，． (1)求图①中小正方形的面积； (2)若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 易错考点07：用勾股定理构造图形解决问题 13．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示，人只要移至该门铃及以内时，即，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高的学生走到D处，即，门铃恰好自动响起，则的长为（    ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 易错考点08：勾股定理与无理数 15．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，然后以原点O为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点D． (1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）； (2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示； (3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法． 16．（21-22八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，，则数轴上点C所表示的数为（   ） A． B． C． D． 易错考点09：勾股树（数）问题 17．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 易错考点10：判断三边能否构成直角三角形 19．（2025八年级上·全国·专题练习）车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图所示，按照规定，李师傅依次测量三条边的长度，由此判断该零件是否合格．李师傅这样做的依据是（    ） A．直角三角形两锐角互余 B．三角形两边之和大于第三边 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 20．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）． (1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形； (3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围． 易错考点11：在网格中判断直角三角形 21．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 22．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，都在格点上，与相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 易错考点12：利用勾股定理的逆定理求解 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地为田间的一条小路，且，已知，，，． (1)求四边形田地的面积； (2)为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 24．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）在中，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 易错考点13：勾股定理逆定理的拓展问题 25．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 26．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 易错考点14：勾股定理与网格问题 27．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上．若，则以三条线段为边长，能否构成直角三角形？请说明理由． 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题． (1)试判断的形状并说明理由； (2)在网格中以为边向右作直角三角形，令点在格点上，且使是等腰三角形，则的长为 ． 易错考点15：勾股定理与折叠问题 29．（24-25八年级上·全国·期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 30．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 易错考点16：求旗杆高度（勾股定理的应用） 31．（25-26八年级上·全国·单元测试）将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 易错考点17：求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 33．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 34．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 易错考点18：求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 35．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 36．（24-25八年级上·山东青岛·期末）有两棵树，一棵高11米，另一棵高4米，两树相距24米，一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少飞行 米； 易错考点19：求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 37．（2025八年级上·全国·专题练习）《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·云南德宏·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 易错考点20：解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 39．（20-21八年级上·河南南阳·期末）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是（　　）cm A．35 B．40 C．50 D．45 40．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 易错考点21：解决航海问题（勾股定理的应用） 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（   ） A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时 42．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里） 易错考点22：求河宽（勾股定理的应用) 43．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 44．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 易错考点23：求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 45．（25-26八年级上·全国·随堂练习）某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 46．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（    ）    A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米 易错考点24：判断汽车是否超速(勾股定理的应用） 47．（25-26八年级上·全国·随堂练习）新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 48．（24-25八年级下·山西朔州·期中）为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 易错考点25：判断是否受台风影响(勾股定理的应用） 49．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 50．（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 易错考点26：选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 51．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，某学校（点）到公路（直线）的距离为300米，到公交站（点）的距离为500米，现要在公路边上建一个商店（点），使之到学校及到车站的距离相等，求商店与车站之间的距离． 52．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． (1)求E站应建在离A点多少处？ (2)若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 易错考点27：求最短路径（勾股定理的应用） 53．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①，一只蚂蚁在一个长为、宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形． (1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即为蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是________________． (3)求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 54．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米． 易错考点28：勾股定理逆定理的实际应用 55．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点为公园小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得米，米，米，米． (1)求观赏池边的长； (2)求草坪的面积． 56．（24-25八年级下·全国·单元测试）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $