精品解析：湖南省郴州市永兴县树德初级中学2025-2026学年八年级上学期入学考试数学试题

2025年下期八年级入学测试数学试卷 （时间：120分钟 总分：120分） 一、单选题（30分） 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面的计算，不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③④ 5. 若，则的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 若，则与的关系一定是（ ） A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 无法确定 7. 不等式组的最大整数解是（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 若m和n是10的两个平方根，则的值是（ ） A. 0 B. 10 C. 20 D. 9. 如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是由绕点按顺时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（24分） 11. 因式分解：__________． 12. 因式分解：_________． 13. 若，则__________． 14. 计算：_____________． 15. 化简__________． 16. 已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是__________． 17. 如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于________． 18. 如图，在三角形中，延长至点，的平分线与的平分线交于点，在的内部作射线，已知，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题（19、20每题6分；21、22每题8分；23、24每题9分；25、26每题10分共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 小丽学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）小丽同学共调查了 名居民的年龄； （2）扇形统计图中 ， （填写百分数），并补全条形统计图； （3）扇形统计图中，表示“年龄在0~14岁的居民”的扇形的圆心角度数是 ． 22. 已知，b是9的算术平方根，的立方根是． （1）求a，b，c的值； （2）若，求的平方根． 23. 如图，已知，，． （1）请你判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，平分，试求的度数． 24. 暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． （1）求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ （2）为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 25. 定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： （1）直接写出的运算结果是__________． （2）若为偶数，且的运算结果为，求的值． （3）若为奇数，且，，求的值． 26. 如图1，小明将一个含30°的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上．过顶点P作直线．作直线，分别交直线，于点G，H． （1）如图1，求的度数． （2）如图2，将直角三角板绕顶点M逆时针旋转，旋转角为，且．在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线EF随着点P的运动位置发生变化． ①当点P在直线下方时，试说明； ②当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角及的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期八年级入学测试数学试卷 （时间：120分钟 总分：120分） 一、单选题（30分） 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义； 因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A.是整式乘法，不是因式分解； B.等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； C.是因式分解； D.等式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； 故选：C． 2. 下面的计算，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方的逆运算、幂的乘方及同底数幂的乘法法则分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，该选项计算正确，不合题意； B、，该选项计算正确，不合题意； C、，该选项计算正确，不合题意； D、，该选项计算错误，符合题意； 故选：D． 3. 已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选D． 4. 如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握数形结合思想的应用、弄清截线与被截线是解题的关键． 根据平行线的定义可判定①；运用内错角相等、两直线平行可判定②③④． 【详解】解：由不等同于，故①不符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即②符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即③不符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即④符合题意； 所以能使的条件是②④． 故选：C． 5. 若，则的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，运算法则需要熟练掌握，利用对应项系数相等求解是解题的关键．运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于，的方程来确定，的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， 故选：C． 6. 若，则与的关系一定是（ ） A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，完全平方公式，利用完全平方公式把右式展开，化简得到，再根据倒数的定义即可判断求解，掌握乘积为的两个数互为倒数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴与的关系一定是互为倒数， 故选：． 7. 不等式组的最大整数解是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查求不等式组的整数解，先解不等式，得到不等式组的解集，即可得到不等式组的最大整数解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的最大整数解为2， 故选：C． 8. 若m和n是10的两个平方根，则的值是（ ） A. 0 B. 10 C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平方根的性质得出与的关系（和与积），再代入式子计算．本题主要考查了平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数，以及平方根与原数的关系），熟练掌握“正数的两个平方根互为相反数，且它们的积为原数的相反数”是解题的关键． 【详解】解： 和是的两个平方根， ， ，（或反之 ）， ∴． ． 故选：D． 9. 如图，将一张等宽的纸条按图中方式折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 如图，由平行线的性质可求得，由折叠的性质可求得，再由平行线的性质可求得 【详解】解：如图， ，， 又由折叠的性质可知，且， ， ， 故选：C． 10. 如图，是由绕点按顺时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质． 由可知，根据旋转的性质得到，进而得到，根据旋转的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ∴， ∴， ∵是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ∴， 故选：B 二、填空题（24分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取公因式即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 13. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解代数式的值，熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键．由，可得，，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 14. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式计算法则，将变为，将变为，利用完全平方公式计算，由此化简分母，再化简分数得到答案． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为． 15. 化简__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识．先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据绝对值的定义化简绝对值，最后计算加减即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16. 已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知不等式组的解集得出关于的不等式是解题关键．先求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出关于的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 关于的不等式组的解集为， ， 解得， 故答案为：． 17. 如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：4． 18. 如图，在三角形中，延长至点，的平分线与的平分线交于点，在的内部作射线，已知，．下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质、角平分线的定义，逐一分析每个结论． 【详解】解：∵， ∴，所以结论①正确． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，， ∴． ∴，所以结论②正确． ∵， ∴， ∵， ∴，所以结论③错误． ∵， ∴， ∴，所以结论④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（19、20每题6分；21、22每题8分；23、24每题9分；25、26每题10分共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，算术平方根，立方根的计算，掌握实数的计算法则是解题的关键． 先算乘方，绝对值，立方根，算术平方根的结果，再根式实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则化简，再代入字母的值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 21. 小丽学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图： 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题： （1）小丽同学共调查了 名居民的年龄； （2）扇形统计图中 ， （填写百分数），并补全条形统计图； （3）扇形统计图中，表示“年龄在0~14岁的居民”的扇形的圆心角度数是 ． 【答案】（1）500 （2），， 条形统计图如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图、画条形统计图、求扇形统计图圆心角的度数等知识点，从统计图中获取所需信息是解题的关键． （1）由条形统计图可知岁的有230人，由扇形统计图可知岁的占被调查总人数的，由即可求得被调查的小区居民的总人数； （2）求a时，用岁的人数除以调查的总人数；用60岁以上的人数除以调查的总人数即可求出b，进而求得岁居民人数，再补全统计图即可； （3）用岁居民所占的百分率乘以即可解答． 【小问1详解】 解：被调查的居民的总人数：(人)． 故答案为：500． 【小问2详解】 解：岁居民所占的百分率：； 60岁以上居民所占的百分率：． 故答案为：，． 岁居民人数为： 【小问3详解】 解：扇形统计图中，表示“年龄在岁的居民”的扇形的圆心角度数是． 故答案为：． 22. 已知，b是9的算术平方根，的立方根是． （1）求a，b，c的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根： （1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解； （2）先根据确定a的值，进而求出的值，再求平方根即可． 【小问1详解】 解：因为，b是9的算术平方根，的立方根是， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：因为，， 所以， 所以． 因为25的平方根是， 所以的平方根是． 23. 如图，已知，，． （1）请你判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，平分，试求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）依据平行线的判定与性质，即可得到与的数量关系； （2）利用平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出的度数，再根据为直角，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴； 24. 暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． （1）求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？ （2）为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购进两种T恤的总费用不超过6540元，并且购进的甲种T恤的数量的三倍不超过乙种T恤的数量，请你通过计算，确定服装店购进甲、乙两种T恤的方案． 【答案】（1）甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元 （2）一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件 【解析】 【分析】（1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据题意列出不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元， 由题意得， 解得． 答：甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元． 【小问2详解】 解：设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件， 由题意得， 解得， ∵m为整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案： 方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件； 方案二，购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件； 方案三，购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 25. 定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对进行次“”运算，因为是偶数，所以，第一次运算的结果为，因为第一次运算的结果是奇数，所以第二次运算的结果为，所以的运算结果是．请回答下列问题： （1）直接写出的运算结果是__________． （2）若为偶数，且的运算结果为，求的值． （3）若为奇数，且，，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3），，， 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，一元一次方程和不等式的应用，解题的关键是分类讨论和理解“”运算． （1）根据“”运算求解即可； （2）由于为偶数，则的第一次运算结果为，第二次运算分两种情况：当是偶数时，当是奇数时，根据“”运算求解即可； （3）根据为奇数，且，得到第一次运算的结果为，求出，由于为偶数，则第二次运算的结果为，第三次运算分两种情况：当是偶数时，当是奇数时，根据“”运算列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：中，是奇数， 的运算结果是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：为偶数， 的第一次运算结果为， 当是偶数时，的第二次运算结果为， 解得：； 当是奇数时，的第二次运算结果为， 解得：； 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：为奇数，且，， 第一次运算的结果为， 解得：， 、为奇数， 为偶数， 第二次运算的结果为， 当是偶数时，第三次运算的结果为， 解得：， 当是奇数时，第三次运算的结果为， 解得：， 综上所述，， 为奇数，且是整数， 的值为，，，． 26. 如图1，小明将一个含30°的直角三角板（其中，）按图1所示放置，使得直角三角板的一边落在直线上．过顶点P作直线．作直线，分别交直线，于点G，H． （1）如图1，求的度数． （2）如图2，将直角三角板绕顶点M逆时针旋转，旋转角为，且．在旋转过程中，直线，位置保持不变，直线EF随着点P的运动位置发生变化． ①当点P在直线下方时，试说明； ②当直角三角板的一边与直线平行时，求旋转角及的度数． 【答案】（1） （2） ①证明：如图，过作，而， ∴， ∴， ∴． ②，；，； 【解析】 【分析】（1）先求解，再证明，结合邻补角的性质可得答案； （2）①如图，过作，而，可得，证明，再利用角的和差关系可得答案；②分两种情况讨论：如图，当时，记与的交点为，如图，当时，再利用数形结合的方法可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②如图，当时，记与的交点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∵，则， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，旋转的性质，熟记旋转的性质与旋转角的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $