精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县第五中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

第五中学2025—2026学年度第一学期测试题初四数学试题 温馨提示：答题时间120分钟，共28道小题，满分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 是方程的根，则式子的值为（ ） A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017 4. 如果点在第三象限，点关于原点的对称点在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如果2是一元二次方程的一个根，那么常数c是（ ）． A. 2 B. 4 C. D. 6. 如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是【 】 A. abc＜0 B. 2a＋b＜0 C. a－b＋c＜0 D. 4ac－b2＜0 8. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若，则值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（ ）． A. 7或17 B. 7 C. 7或12 D. 12 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，，依此类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 2010年10月31日，上海世博会闭幕．累计参观者突破7308万人次，创造了世博会历史上新的纪录．用科学记数法表示为_________人次．（结果保留两个有效数字） 12. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）. 13. 若二次函数的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是____ 14. 如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为______． 15. 如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为___________． 16. 从数字，，中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是______． 17. 若圆锥的底面直径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为______． 18. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 19. 在半径为5的中，若弦为，则弦所对的圆周角的度数为______． 20. 如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是____． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2． （1）求、的值； （2）求的面积． 23. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，也在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）画出绕点按顺时针方向旋转后所得的； （3）与组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 24. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若∠F=30°，EB=6，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 25. 已知：． （1）尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积． 26. 如图，在气象站台A的正西方向的B处有一台风中心，该台风中心以每小时的速度沿北偏东的方向移动，在距离台风中心内的地方都要受到其影响． （1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？ （2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台多长时间？ 27. 为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋 价格 甲 乙 进价（元/双） m m﹣20 售价（元/双） 240 160 已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 28. 已知直线分别交轴、轴于两点，抛物线经过点，和轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是抛物线上的动点，且在第三象限，求面积的最大值； （3）如图，经过点的直线交抛物线于点，连接分别交轴于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五中学2025—2026学年度第一学期测试题初四数学试题 温馨提示：答题时间120分钟，共28道小题，满分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列运算中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算； ③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算. 【详解】∵与不是同类项，无法合并，∴①是错误的； ∵，∴②是正确的； ∵，∴③是错误的； ∵，∴④是错误的； 综上所述，只有一个正确， 故选：A. 【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其运算法则是解题的关键. 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． 3. 是方程的根，则式子的值为（ ） A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017 【答案】B 【解析】 【分析】把m代入x2+x﹣1=0得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，把式子m3+2m2+2014变形为m（m2+m）+m2+2014的形式，代入即可求出式子的值． 【详解】∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014=m+m2+2014=1+2014=2015． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2+m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 4. 如果点在第三象限，点关于原点的对称点在（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由点在第三象限，可得，点关于原点的对称点为，结合的范围即可判断出其对称点的象限； 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∵点关于原点的对称点为， ∴，， ∴点在第二象限； 故选择：B 【点睛】本题考查的是象限内点的坐标特点，关于原点对称的点的坐标特点，不等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键． 5. 如果2是一元二次方程的一个根，那么常数c是（ ）． A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=2代入原方程，即可求得c的值． 【详解】解：∵x=2是一元二次方程x2-c=0的一个根， ∴x=2满足一元二次方程x2-c=0， ∴22-c=0， ∴c=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是将原方程的根代入原方程，求得待定系数的值． 6. 如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是【 】 A. abc＜0 B. 2a＋b＜0 C. a－b＋c＜0 D. 4ac－b2＜0 【答案】D 【解析】 【详解】A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0， 抛物线的对称轴； 抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0， ∴abc＞0．故本选项错误． B、∵，∴b=－2a，即2a＋b=0．故本选项错误． C、∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0）， ∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（－1，0）． ∴当x=－1时，y=0，即a－b＋c=0．故本选项错误． D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0．故本选项正确． 故选D． 8. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，若，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，由轴于点，，则有，再结合反比例函数的图象在第二象限即可求出的值，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵轴于点，， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故选：． 9. 已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（ ）． A. 7或17 B. 7 C. 7或12 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，，依此类推，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，先求出至点的坐标，找出其循环的规律为每个点循环一次即可求解，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，作出如下图形： ∴点坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点处， ∴其每个点循环一次， ∴，即循环了次后余下， ∴的坐标与点的坐标相同，其坐标为 ， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 2010年10月31日，上海世博会闭幕．累计参观者突破7308万人次，创造了世博会历史上新的纪录．用科学记数法表示为_________人次．（结果保留两个有效数字） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：7308万， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“<”）. 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵k>0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ， ∴>． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键． 13. 若二次函数的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象全部在x轴的上方，得出，，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象全部在x轴的上方， ∴，， ∴，， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=1， ∵OC⊥AB， ∴D为AB的中点． ∴AB=2AD． 故答案为： 15. 如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为___________． 【答案】13 【解析】 【分析】首先证明，再利用证明，进而得到，然后再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点F，于点E， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 16. 从数字，，中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，共有种等可能的结果数，其中组成的数是偶数的结果数有种，然后用概率公式即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中组成的数是偶数的结果为，，，，共种， ∴组成的数是偶数的概率， 故答案为：． 17. 若圆锥的底面直径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图及弧长公式，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长，列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， ∵圆锥的底面直径为，母线长为， ∴， 解得． 故答案为： 18. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，首先将方程化为一般形式，进一步利用根判别式求解即可．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：由得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 即的取值范围是且． 故答案为：且． 19. 在半径为5的中，若弦为，则弦所对的圆周角的度数为______． 【答案】45°或135° 【解析】 【分析】根据题意画出图形，连接OA和OB，先根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】解：连接OA、OB，C为优弧AB上一点，D为劣弧AB上一点，如图所示： 则OA=OB=5， ∵AB=， 由于，即， ∴∠AOB=90°， ∴∠ACB=∠AOB=45°， ∴∠ADB=180°-∠ACB=135°， 即弦AB对的圆周角的度数是45°或135°， 故答案为：45°或135°． 【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理的逆定理以及圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． 20. 如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是____． 【答案】，且x≠0 【解析】 【分析】由题意得有两个极值点，过点与相切时，取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可． 【详解】由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可： 如图，连接OD， 由题意得，OD＝1，∠DOP'＝45°，∠ODP'＝90°， ∴OP'＝，即x的极大值为． 同理当点P在y轴左边时也有一个极值点， 此时x取得极小值，x＝－． 综上可得x的范围为：－≤x≤，且x≠0． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，得出直线与圆相切时的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，方程的解，先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于是方程的根，那么，可得整体代入化简后的式子，计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2． （1）求、的值； （2）求的面积． 【答案】（1）4；6 （2）6 【解析】 【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值； （2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象轴交于点， ∴，OB=4， ∴一次函数解析式为， 设点C（m，n）， ∵的面积是2． ∴，解得：m=1， ∵点C在一次函数图象上， ∴， ∴点C（1，6）， 把点C（1，6）代入得：k=6； 【小问2详解】 当y=0时，，解得：x=-2， ∴点A（-2，0）， ∴OA=2， ∴． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键． 23. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，也在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）画出绕点按顺时针方向旋转后所得的； （3）与组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 【答案】（1） 即为所求： （2） 即为所求： （3） 解：与组成的图形是轴对称图形，作对称轴如图： 所以直线即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，旋转变换，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据轴对称的性质，作出各对应点即可求解； （）将，，，沿点顺时针旋转即可得出对应点，然后连接即可； （）利用轴对称图形性质，画出对称轴即可． 【小问1详解】 解：如图，作点，，关于直线对称， 【小问2详解】 解：如图，作点，，，沿点顺时针旋转， 【小问3详解】 略 24. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若∠F=30°，EB=6，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 【答案】（1）证明见解析 （2）9﹣3π 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据平行四边形的性质得出∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，结合OB=OD得出∠DOC=∠AOC，从而证明出△COD和△COA全等，从而的得出答案； （2）根据∠F=30°，可得∠DOF=60°，从而得到∠AOD=120°，由（1）得∠AOC=∠COD=60°，，从而得到∠ACO=30°，再根据直角三角形的性质可得，，然后根据阴影部分的面积等于两个△AOC的面积减去扇形AOD的面积得出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接OD． ∵四边形OBEC是平行四边形， ∴OC∥BE， ∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠DOC=∠AOC， 在△COD和△COA中， ， ∴△COD≌△COA， ∴∠CDO=∠CAO=90°， ∴CF⊥OD， ∴CF是⊙O的切线． 【小问2详解】 解：∵∠F=30°，∠ODF=90°， ∴∠DOF=60°， ∴∠AOD=120° 由（1）得：△COD≌△COA， ∴∠AOC=∠COD=60°，， ∴∠ACO=30°， ∵OC=BE=6， ∴， ∴， ∴S阴=2S△AOC﹣S扇形AOD=2××3×3﹣=9﹣3π． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，平行四边形的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定定理，扇形面积公式，平行四边形的性质等知识是解题的关键． 25. 已知：． （1）尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积． 【答案】（1） 解：如下图所示，O为所求作点， （2）9.1 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作出两个角的角平分线即可； （2）利用割补法，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，这样将△ABC分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∵内切圆的半径为1.3， ∴OD=OF=OE=1.3， ∵三角形ABC的周长为14， ∴AB+BC+AC=14， 则 故三角形ABC的面积为9.1． 【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键． 26. 如图，在气象站台A的正西方向的B处有一台风中心，该台风中心以每小时的速度沿北偏东的方向移动，在距离台风中心内的地方都要受到其影响． （1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？ （2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台多长时间？ 【答案】（1） （2）5小时 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）台风中心在一条直线上运动，台风中心在移动过程中，与气家台A的最短距离即点A到直线的最短距离，求解即可得到答案; （2）作以A为圆心，为半径的圆与直线相交于C，D两点，那么线段就是A受台风的影响的路程，求出台风中心所在直线上与圆A的相交弦长，弦长除以速度即可得到台风影响气象台的时间． 【小问1详解】 如图，过A作于E， 由题意知，， 又∵， 故， 故台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是120km． 【小问2详解】 作以A为圆心，130km为半径的圆与直线相交于C，D两点，那么线段就是A受台风的影响的路程， 连接， 则， 由勾股定理得：， 由垂经定理得：， 故km，（小时）． 答：台风影响气象台的时间会持续5小时． 27. 为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表： 运动鞋 价格 甲 乙 进价（元/双） m m﹣20 售价（元/双） 240 160 已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同． （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】（1）m=10；（2）11种；（3）购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双，可获得最大利润 【解析】 【分析】（1）用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可． （2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答． （3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）依题意得，， 去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100． 经检验，m=100是原分式方程的解． ∴m=100． （2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双， 根据题意得，， 解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105， ∴不等式组的解集是95≤x≤105． ∵x是正整数，105﹣95+1=11， ∴共有11种方案． （3）设总利润为W，则W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105）， ①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大， ∴当x=105时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双． ②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案获利都一样． ③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小， ∴当x=95时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双． 28. 已知直线分别交轴、轴于两点，抛物线经过点，和轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是抛物线上的动点，且在第三象限，求面积的最大值； （3）如图，经过点的直线交抛物线于点，连接分别交轴于点，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求得点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的解析式求得的值即可； （）过点作轴，交于点，设，，然后用含的式子表示的长，接下来，利用配方法求得的最大值，从而可求得， 面积最大值； （）先求得点的坐标，然后设直线的解析式为，的解析式为，接下来求得点和点的横坐标，然后设直线的解析式为，把，代入得，将的解析式为与抛物线解析式联立得到关于的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得，最后由的值可得到的值． 【小问1详解】 解：把代入得，解得， ∴， 把点的坐标代入，得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴，交于点， 设，， ∴， ∴当时，最大，最大值为， 此时 面积最大，最大值为； 【小问3详解】 解：把代入，得，解得，， ∴， 设直线的解析式为，的解析式为， ∴， 解得：或， ∴， 同理：， 设直线的解析式为，把代入，得 ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $