精品解析：湖南省郴州市永兴县树德初级中学2025-2026学年九年级上学期入学考试数学试题

2025年九年级入学检测数学试卷 一、单选题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形而不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形而不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列命题中真命题的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，特别是从对角线的特征来判定各特殊平行四边形．根据矩形、菱形、正方形的判定即可判断各选项． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形．故A是假命题． B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故B是假命题． C、对角线相等的平行四边形是矩形正确．故C是真命题． D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故D是假命题． 故选：C． 3. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，计算字母“e”在单词“”中出现的频率，需统计其出现次数与总字母数的比值． 【详解】解：∵在“”中，单词共有8个字母，字母“e”的频数为4， ∴字母“e”出现频率是． 故选：D． 4. 如图，在中，，于，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，以及角度和线段长度之间的关系．解题的关键在于确定和的角度，进而求得和的长度，最终计算出的总长．先根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用直角三角形的性质求出的长度，最后求出的长度． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，一般形式为：． 根据一元二次方程的定义与一般形式判断选项即可． 【详解】解：A、当时，才是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 根据反比例函数和一次函数的图象，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， 则A、D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，函数的图象位于第一、三象限，则B选项符合题意；C选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象位于第二、四象限，均不符合题意； 故选：B 7. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）m． A. 12 B. 13 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 8. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，，垂足为E，若，菱形的面积是48，则菱形的边长等于（　　） A. 16 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，利用面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴的面积， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 一客车从甲地开往距甲地的乙地，行驶到达丙地停留，又行驶到达乙地．下列图象中，能大致描述客车行驶过程中距离乙地（单位：）与所用时间（单位：）之间的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据行驶分钟时，客车离乙地距离逐渐减少；停留时，距离不变；继续行驶，距离逐渐变短最后为，据此即可求解，读懂题目信息，明确整个过程分为三阶段进行是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，图象分三段： 第一段：行驶，由到，距离变短，由随的增大而减少； 第二段：停留，由到，距离不变，随的增大而不变； 第三段：行驶，距离变短，随的增大而减少，最后为； 综上可知，符合题意的只有选项， 故选：． 10. 如图，的对角线、相交于点，平分交于点，连接，若，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论成立的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质等知识点，证明是等边三角形是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，，，即；根据角平分线的定义可得，则，即是等边三角形，则、，而，即，所以，由即可求得，由平行线的性质进而得，可判断①正确；由，得，所以，可判断②正确；由“垂线段最短”可知，，可判断③错误；由等腰三角形的性质可得，再结合可得，即可判定④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴、， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即①正确； ∵， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵的对角线、相交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，函数中的自变量x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握分式分母不能为零这一性质． 要使分式函数有意义，需保证分母不为零，据此求解自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 则自变量的取值范围是． 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理与外角和定理，根据多边形的内角和定理与外角和公式列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：设多边形的边数是n， 根据题意得，， 解得． 故答案为：6． 13. 若是反比例函数，那么的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的概念：形如的函数，其中k为常数；掌握此概念是解题的关键；由题意知，结合即可求解． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； 故答案为：． 14. 若是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解，已知方程的解时，将方程的解代入方程求出其他参数即可，正确理解方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得， 故答案为1． 15. 已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的直线上的点的横坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等求出点的横坐标，再分点在点的下边与上边两种情况求出点的纵坐标，即可得解． 【详解】解：∵轴，点的坐标为，， ∴点在点的下边时，纵坐标为， 点在点的上边时，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 16. 如图，函数和的图像相交，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合；根据点A在直线上，可求得点A的坐标，观察图象即可求得不等式的解集． 【详解】解：∵点A在直线上， ∴， ∴ 即点A的坐标为； 由图象知，当时，； ∴不等式的解集为． 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，，点在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点，的对应点分别为点，．当点恰好在线段上时，线段的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，根据勾股定理求得，设，则，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知：，，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，即， 解得； ∴． 故答案为：． 18. 如图，在平行四边形中，平行四边形的面积是32，，点H，G分别是，上的动点，连接，点E，F分别是的中点，则的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理． 连接，过A作，根据点E为的中点，点F为的中点得到，即可得到当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：连接，过A作， ∵， ∴， ∵平行四边形的面积是32， ∴，即， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴， ∴最小时，取得最小值， ∴当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值， ∴的最小值为， 故答案为：2． 三、解答题（19-20题每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题9分，26题12分，共66分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）把看作整体，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 20. 如图，已知平分，于E，于F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程 （2）22 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用证明， 是解题的关键． （1）根据已知条件可得和是直角三角形，然后利用即可证明； （2）利用证明 ，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平分于点于点， ， ∴和是直角三角形， 和中， ， ． 【小问2详解】 解：∵于点于点， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 由（1）知，， ， ∵， ． 21. 如图，中，点在上，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若为的角平分线，且，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）32 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，结合题意可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推得，根据等角对等边可得，求得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵为的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 22. 如图，在边长为1个单位的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点A的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． （1）把向下平移4个单位，再以轴为对称轴，得到，请你画出，并直接写出点，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析，，， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图-平移变换、轴对称、三角形的面积等知识点，掌握平移变换的性质以及运用分割法求三角形的面积成为解题的关键． （1）先根据平移变换、轴对称的性质分别作出、、，然后顺次连接即可作出，再直接写出、、的坐标即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求． 则，，． 【小问2详解】 解：的面积为． 23. 年月日是我国第个“法制宣传日”，某校举行了主题为“学法，知法，懂法，守法”的普法知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了名学生的初赛成绩进行统计，得到如图所示两幅尚未完成的统计图表． 成绩x/分 频数 频率 （1）表中 ， ． （2）请补全频数分布直方图． （3）若分及其以上为优秀，该校现有名学生，则估计该校成绩优秀的学生有多少名？ 【答案】（1）； （2）作图见解析 （3）840名 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图，用样本估计总体，频数（率）分布表．能从图表中提取相关信息进行分析是解题的关键． （1）先求出被调查总人数，再根据样本数量、频率和频数关系计算解题； （2）根据（1）中结果，补全频数分布直方图即可； （3）用样本的优秀率去乘以总人数计算． 【小问1详解】 解∶ ∵（人）， ∴， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 由（1）知：， 补全频数分布直方图如图所示． 【小问3详解】 （名）， 答：估计该校成绩优秀的学生有名． 24. 《义务教育劳动课程标准》提出，将多种劳动技能纳入课程，发挥好劳动教育独特的育人价值，为让学生体验农耕劳动，某校计划购买甲、乙两种树苗种植．已知甲种树苗进价是乙种树苗进价的倍，若用360元购进甲种树苗的数量比用320元购进乙种树苗的数量少8棵． （1）甲、乙两种树苗的进价分别为每棵多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共120棵，设采购甲种树苗a棵，购买这120棵树的总费用为W元．但由于甲种树苗种植成本较高，项目预算要求：①甲种树苗不超过40棵，②甲种树苗的数量不小于乙种树苗的数量的三分之一．请设计采购方案，使得总费用W最小，并求出最小值． 【答案】（1）甲种树苗的价格为15元，则乙种树苗的价格为10元． （2）甲种树苗购买30棵，购买乙种树苗90棵时，费用最低，最低费用1350元． 【解析】 【分析】（1）设乙种树苗的价格为x元，则甲种树苗价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲种树苗购买了棵，则购买乙种树苗数量为棵，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设乙种树苗的价格为x元，则甲种树苗价格为元，根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲种树苗的价格为15元，则乙种树苗的价格为10元． 【小问2详解】 解：根据题意，甲种树苗购买了棵，则购买乙种树苗数量为棵，且， 解得 根据题意，得， 由，得W随a的增大而增大， 故当时，W取得最小值，且最小值为， 故甲种树苗购买30棵，购买乙种树苗90棵时，费用最低，最低费用1350元． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接． （1）m，k，b； （2）求的面积； （3）若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1），， （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合、函数图象上点的坐标特征、三角形面积计算、平行四边形性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）把代入一次函数可求得b的值；把代入可求得k的值，把代入可求得m的值； （2）先确定一次函数与y轴交点C的坐标，得长度，再根据三角形面积公式并结合A、B的坐标列式计算即可； （3）分依据、为邻边，、为邻边和、为邻边三种情况，分别利用平行四边形的对角线相互平分即可解答． 小问1详解】 解：把代入一次函数，得，解得：； 把代入，得，解得：， 把代入，得：，解得． 【小问2详解】 解：∵，当时， ∴， 又∵、， ∴． 【小问3详解】 解：如图：设， 当、为邻边时， 则，解得： ∴； 当、为邻边时，、， 则，解得：， ∴； 当、为邻边时，．、， 则，解得：， ∴． 综上，点坐标可为或或． 26. 如图，正方形，点、分别在、上． （1）如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①如图1，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证得结论； ②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图3，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：①过点作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②在上截取，如图2， 则是等腰直角三角形，， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：如图3，过点作交于点， 则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级入学检测数学试卷 一、单选题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中真命题的是（　　） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3. “深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是（ ） A B. C. D. 4. 如图，在中，，于，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 7. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）m． A. 12 B. 13 C. 17 D. 18 8. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，，垂足为E，若，菱形的面积是48，则菱形的边长等于（　　） A. 16 B. 8 C. 6 D. 4 9. 一客车从甲地开往距甲地的乙地，行驶到达丙地停留，又行驶到达乙地．下列图象中，能大致描述客车行驶过程中距离乙地（单位：）与所用时间（单位：）之间的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，对角线、相交于点，平分交于点，连接，若，，则下列结论：①；②；③；④．其中结论成立的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，函数中的自变量x的取值范围是_________． 12. 一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是______． 13. 若是反比例函数，那么的值是_____． 14. 若是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 15. 已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 16. 如图，函数和的图像相交，则关于的不等式的解集为_________． 17. 如图，在矩形中，，，点在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点，的对应点分别为点，．当点恰好在线段上时，线段的长为_____． 18. 如图，在平行四边形中，平行四边形的面积是32，，点H，G分别是，上的动点，连接，点E，F分别是的中点，则的最小值是______． 三、解答题（19-20题每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题9分，26题12分，共66分） 19 解方程： （1） （2） 20. 如图，已知平分，于E，于F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在中，点在上，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若为的角平分线，且，，求的周长． 22. 如图，在边长为1个单位的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点A的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． （1）把向下平移4个单位，再以轴为对称轴，得到，请你画出，并直接写出点，，的坐标； （2）求的面积． 23. 年月日是我国第个“法制宣传日”，某校举行了主题为“学法，知法，懂法，守法”的普法知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了名学生的初赛成绩进行统计，得到如图所示两幅尚未完成的统计图表． 成绩x/分 频数 频率 （1）表中 ， ． （2）请补全频数分布直方图． （3）若分及其以上为优秀，该校现有名学生，则估计该校成绩优秀的学生有多少名？ 24. 《义务教育劳动课程标准》提出，将多种劳动技能纳入课程，发挥好劳动教育独特的育人价值，为让学生体验农耕劳动，某校计划购买甲、乙两种树苗种植．已知甲种树苗进价是乙种树苗进价的倍，若用360元购进甲种树苗的数量比用320元购进乙种树苗的数量少8棵． （1）甲、乙两种树苗的进价分别为每棵多少元？ （2）学校计划购买甲、乙两种树苗共120棵，设采购甲种树苗a棵，购买这120棵树的总费用为W元．但由于甲种树苗种植成本较高，项目预算要求：①甲种树苗不超过40棵，②甲种树苗的数量不小于乙种树苗的数量的三分之一．请设计采购方案，使得总费用W最小，并求出最小值． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接． （1）m，k，b； （2）求的面积； （3）若在平面内存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 26. 如图，正方形，点、分别在、上． （1）如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $